米散射理论基础

#如果在任意角度下S］、S2的实部和虚部的相对误差超过1°-5时，认为对S］和S2的向后递推失败。（而此时，并不受影响，因为当S］，S2的相对误差达到10-5时，纭的相对误差总维持在心0以下。）•对S］和S2血戚渤=13.78mL-10.8mRe+3.9•对S］和S2Zz一八炕庄”—对散射强度am，和偏正度（|圖屮）/（|S屮+昂円连分式算法总结：Mie散射计算的核心是计算an和bnanin(凤)血if咖J-用Mi(a)叽fma)-TOC\o"1-5"\h\zff和叽丫砒叽f瞅淇丿-讥3飢(切血b11=*^*.,*觀爲仏丿0,)(uia)-(a)0„(m^)其中W”(a)=aJn(a),En(a)=aJ”(a)+iaYn(a),J”和Yn分别是第一和二类贝塞耳函数,a"”"""”称为当量直径,a=2nr/X,r是球形颗粒的真实半径，入是入射光的波长m为折射率叫(第)=显闻述悅⑷&⑹=(彩/2)叫琮注⑵斗(-1F込加⑵］-y-丘］©/,屮*PDn(fi)=dh.M=h(p)式中p为函数任一自变量。贝塞耳函数递推关系式：f-.<.屛訂刃u严z菸/引少“f购=站一1f的・„；=-^_x(a)・“_mi明叮■/川一ma］較〔旳・血一1了z”fDrif臥仪丿/川一打/可二f唧・B一1『加［MrfH仞+曲久J上f耳丿-Cl_1『耳丿

"［州DJ谀丿一m/aj^n(a)-fn_!<a)Mie散射计算中Jn、Yn、Dn的计算是关键和难点。对于Dn,我们采用的是Lentz的连分式的算法：Dn（嗣=艸*丁H-1f用加

片』Dn（嗣=Lentz证明有如下关系:JH-1f川曲_「日1"心心/f如…旳/Ju(ma)［化］■［弧…心丿其中，心=」1厂一匚，-•「：」■・。我们注意到当上s时,I心…小厂…心。所以可以利用上式累积相乘直到满足精度要求。何根据精度要求例如10-来确定所要达到的k值)对于j、y的生成本文也采用连分式的算法。具体方案如下：nn令Cn=J”-1(a)/Jn(a)，根据贝塞耳差积公式：J,.ifg-1心丿・J-」刘Y昇创=久一由以上二式整理得：仃―15"G*丿门\一1©丿・/上式中Cn的计算是采用类似于Dn的连分式的形式，计算中可调用同一函数计算。若已知初值：丁D=Sill刘耳「丁1f耳丿=Sill也耳‘-2曲册；2Yc-=-co5a；Yi(=-cos£</-sin区/〔傅；这样就可计算出各级Jn和Yn。WilliamJ.Lentz关于连分式的文章：鸣(刃二(帖/刃山几神盘⑴M=⑺/2)叫吗曲⑵+{-i)nun.^U)l辺M=里出口=+占皿边其中拧丨也=儿7=仆。以几,J为基础，采用贝塞尔函数比值的连分式表示法:…'叽2,利用此法可产生所有的八」：|，尽管耗时，但能减少存储需求。同时可通过计算高阶h』、2值，使用下面的递推公式，从后往前算出其他值。„)=纲J-1「九(刃不像一般的函数，贝塞尔函数的比值一旦超过可控制的边界，就不再增长，初始的高阶此值决定了所有低阶值的准确性，因此，采用新方法计算准确的初始比值是必要的。

十一熱工10十一熱工10+一2b+$址T十.・处于分母位置的+号表示分母上加上一个特殊的连分式。类似于上式丿中的表示形式。定义一种新的符号：/片（X）=［口］.旳,*/片（X）=［口］.旳,*Lentz给出了n阶部分收敛值为:［旳!……・*抚1一-住卅・*-tffl］I…［碍-Lj■-■J^2-.%….，包|$3=1•+叫例如：实变量7I•门,虚数严二止亍计算过程:a„=(T)"临®卜n—l)^_in=1,2,3,...19［旳］=-21［闵应J:旳+*二-^20.94736842(19)(-30.94736842)(22.95220131)(-24.95643131)(26.95993017)J(-21)l^2+95230D95)(-241564J154)(26.95993017J=18.95228138.米散射学习目前所遇到的困难：到底怎样的计算结果才算正确，如何能找到一个米散射计算结果准确又有效的数据库，来验证自己算法及程序的正确性。倒退式算法的总结：山于幅级数的牧越速度随蒔征值无的増尢而减慢耳忌此环同的庫俏即使左相同的卄算宿度要求下所需级数顼数叫也不一样.丹用年美闫学甘W在大量计笄的基础上，券考前人的工作总结出个畋的经验讣算公式.利用该公式给出的项数可以便整个计算误差小于10!，.Wiscnmtse公式是IX+4.13IX+4.13+1您=^+4」05詁+1■工■++20.02=工vS5n—8<%<42004200兰工兰2ZXXJ0当龙小于0,02时，可以制用Rayleigh公式计算’而当X比20000更大时，几何光学即可适用-Dn的计算采用Dave的倒推式:][][MF胪—Drif屈区丿丿由于Dn函数有很强的收敛性，对于Dn的倒推计算的初值的选取有很强的随意性。因为当n-g时Dn(ma)-0,所以可以取0作为初值。倒推起点选取大一些，可以保证Dn函数的收敛完全,但是同时却增加了计算时间。所以必须选取一个最佳的选择标准。通过试算，作者认为最佳的上限为N魄=1■5肌1皿+10这里ml是复折射率的实部.同样，对于贝塞耳函数Jn的计算也可以用倒推的方法计算产生：*■”2h■1*J-2f剜=%J-I-1仏丿・Jh5上式是一个普通的Jn的递推式,知道了Jn和Jn-1,可以顺利地计算出所有的Jn序列值。为了避免计算Jn的繁琐而又能发挥递推式的快速的优点，采用下面的办法:假设N时，取某一个递推初始值为：JN*(a)二0,JN+1*(a)二8,其中£是一个很小的数,如可取10-6。将初值代入上式，就可以算出所有的J*。观察同一自变量的J*和J序列，发现它们对应项之间有固定的倍数关系。如定义这个倍数为B,那么J昇血=B旳「(觀由于J](a)的计算是非常便利的(J]=sina/a2-cosa/a)，所以B=J1/J1*,计算出Jn*(a)可以算出Jn(a)。和Dn的计算一样,Jn的倒推起始点的公式为：A'&tcP=1-5^-10关于贝塞尔函数的倒退过程在另一文献中的描述：

v<101.0x<4545I<250Des®函数的计算厉来被视为数值计算的难题，用其两项递推公式从低阶往往得不出所需正确的高阶值•蜒豔表明，当阶数找大于X时”从零阶与「阶函数向上递椎岀得人完全不可靠，就时我们说递推时产生了所谓的循环误差⑷，因此对虚宗量的球BemT隔数只能用逆推法或级数展开注来计算.v<101.0x<4545I<250p.5\第丰门1.4x+25M=*L,Ix+401・03f+65250s兀此时起始高阶函数近似值选为旅I=QA10'1用两项递