逻辑学 命题逻辑

・・#•要么p，要么q，要么r具有n个选言支的不相容的选言命题的形式可表示为：要么P1要么p2要么…要么pn不相容的选言命题的联结词可用符号“▽”表示。这样，上述形式也可分别表示为：pgpVqVrPiVp2S・7pn这里的“•”可称为不相容析取词，pVq称为不相容析取式，可读作“p不相容析取q”。区别相容的选言命题和不相容的选言命题，可根据其联结词。从逻辑含义上说，不相容的选言命题比相容的选言命题多了一层含义，即选言支不同真。“或者”没有表示这层含义（“或者”本身并未表明选言支表示的事物情况事实上能否同真），而“要么”则表明了这层含义。在日常语言中，“或者……或者……，二者不可得兼”的含义相当于“要么……要么……”，前者表达的命题与后者表达的命题是逻辑等值的。2．不相容的选言命题的真假值不相容的选言命题断定的是若干事物情况中只有一种情况存在，其真假取决于其各个选言支所表示的事物情况事实上是不是只有一种存在，即其各个选言支中是否只有一个是真的。如果一个不相容的选言命题只有一个选言支为真，那么，这个不相容的选言命题就是真的；如果有不止一个选言支为真，或者全部选言支都是假的，那么，这个不相容的选言命题就是假的。不相容选言命题与其选言支之间的真假值关系可概括为：一个不相容选言命题是真的，当且仅当其有一个选言支为真，而其他选言支都是假的。对于只有两个选言支的不相容选言命题就是：pVq真，当且仅当p和q—真一假。与相容的选言命题一样，不相容的选言命题的真假值也仅是就其逻辑含义而言的，它同样忽略了选言命题在语言表达上的特点。这些特点前面已说过，不再重复。（四）运用选言命题时需注意的问题1.关于两种选言命题的区分问题关于如何区分两种不同的选言命题，目前在逻辑界有两种不同意见：一是完全按照联结词来区分，联结词为“或者”的是相容的选言命题，联结词为“要么……要么……”的是不相容的选言命题。二是部分地按照联结词但不完全按照联结词来区分，联结词为“要么……要么……”的是不相容的选言命题，但联结词为“或者”的是哪一种选言命题要根据选言支的内容决定（选言支从内容上看可能同真的为相容的选言命题，选言支从内容上看不可能同真的为不相容的选言命题）。以上两种意见分歧的焦点是：联结词为“或者”时，能否按照选言支的内容来确定选言命题的种类。我认为，按照选言支的内容来确定选言命题的种类的做法是不可取的。主要理由是：第一，这种做法从理论上说是没有根据的。一个命题的逻辑含义并不决定于该命题的具体内容，而只取决于该命题中相当于逻辑常项的部分。因此，我们只能根据联结词“或者”本身的含义，来确定选言命题的种类。“或者”本身并不具有选言支不同真的意思，因而并不能表达出不相容的选言命题的逻辑含义。至于选言支事实上能否同真，与命题的逻辑含义并无关系。第二，这种做法从实践上说也会造成种种困难。相容的选言命题按其含义，并不要求选言支一定能够同真。但这种做法却把选言支不能同真的选言命题一概排斥在相容的选言命题之外，这不符合人们运用选言命题的实际情况，而且可能引起不必要的麻烦。另外，对于那些人们无法或难以判断其选言支能否同真的命题，这种做法也不具有可操作性。2.关于选言支的穷尽问题人们运用选言命题，往往是针对有关某一问题的若干可能情况做出断定的。一个选言命题，如果其各个选言支反映了有关某一问题的全部可能情况，那么其选言支就是穷尽的，反之就是不穷尽的。在恰当地使用联结词的情况下，一个选言支穷尽的选言命题一定是真实的，因为其选言支反映了有关某一问题的全部可能情况，在这全部可能情况中一定包含着（至少包含着或只包含着）一个真的情况。当然，一个选言支不穷尽的选言命题并不一定就是假的，因为其选言支虽然只反映了有关某一问题的一部分可能情况，但在这一部分情况中也可能包含着一个真的情况。一般说来，我们是在不知道哪个选言支为真的情况下运用选言命题的。因此，为了保证选言命题的真实性，我们必须充分考虑到各种可能，力求或尽可能使选言支穷尽，以免因遗漏了唯一真实的选言支而造成选言命题的虚假。分析与思考】下面是从《北京晚报》上摘录的两段话，其中包含的联言命题是真实的吗？（1）IT产品自上市的第一天起，就与摩尔法则（18个月计算机性能提高一倍，价格下降一倍）连在一起……（2）奥斯卡奖是美国电影工业的最高荣誉，也是世界范围内最受关注的现场秀节目之一，在过去大明星和大片的缺席意味着电视收视率的下降，但是新面孔同样会带来新鲜的刺激。四、假言命题（一）什么是假言命题假言命题是断定一事物情况是另一事物情况的条件的命题，即断定两种事物情况之间的条件关系的命题。假言命题由两个支命题经“如果……那么……”或“只有……才……”等联结词联结而成。这两个支命题，一个是表示某种条件的，称为前件，另一个是表示依某种条件而存在的情况的，称为后件。假言命题与联言命题和选言命题不同。联言命题和选言命题可以由两个支命题构成，也可以由三个或更多的支命题构成，而假言命题只由两个支命题构成。联言命题和选言命题注重的是支命题本身的真假，在支命题都假的情况下，无论是联言命题还是选言命题都不可能是真的；而假言命题注重的则是支命题（前后件）之间的联系，即使前后件都假，只要确实具有一定的条件关系，整个假言命题也可以是真的。所以，人们运用假言命题，可以针对某种假设的、事实上并不存在（或可能不存在）的事物情况来做出断定。这对于科学探索、日常论辩等都有重要作用。这是假言命题的特殊之处。例：（1）发展旅游事业好不好（2）丘吉尔反讥女议员假言命题按照其断定的不同的条件关系，可分为充分条件假言命题、必要条件假言命题和充分必要条件假言命题三种。（二）充分条件假言命题1．什么是充分条件假言命题充分条件假言命题是断定一事物情况的存在是另一事物情况必然存在的条件的命题。一事物情况的存在是另一事物情况必然存在的条件，这种条件称为充分条件。用p和q分别表示两个事物情况，p是q的充分条件即是说，只要有p存在，必然有q存在。用《墨经》上的说法，就是“有之必然”。充分条件假言命题由“如果……那么……”等联结两个支命题构成。在日常语言中，与“如果……那么……”类似的关联词很多，如“如果……就……”、“如果……则……”、“若……则……”、“倘若……则……”、“只要……就……”、“假如……就……”、“要是……那么……”等等。这些关联词所表达的逻辑含义相同，在表示充分条件假言命题的形式时，我们仅以“如果……那么……”作为代表，即将其形式表示为：如果p，那么q我们也可用符号“T”代替“如果……那么……”，即将上述形式表示为：PTq这里的“T”称为蕴涵词，pTq称为蕴涵式，可读作“p蕴涵q”。在日常语言中，有时表达充分条件假言命题的联结词的词语可以省略。2．充分条件假言命题的真假值充分条件假言命题断定的是一事物情况的存在是另一事物情况必然存在的条件，其真假取决于其前、后件表示的事物情况事实上是不是具有这样的条件关系，即是不是当其前件真时后件必真。如果当一个充分条件假言命题前件真时其后件必真，即当其前件真时其后件不可能假，那么这个充分条件假言命题就是真的；如果当一个充分条件假言命题前件真时其后件不必真，即当其前件真时其后件可能假，那么这个充分条件假言命题就是假的。（三）必要条件假言命题1．什么是必要条件假言命题必要条件假言命题是断定一事物情况的不存在是另一事物情况必然不存在的条件的命题。一事物情况的不存在是另一事物情况必然不存在的条件，这种条件称为必要条件。用p和q分别表示两个事物情况，p是q的必要条件即是说，只要没有p存在，必然没有q存在。用《墨经》上的说法，就是“无之必不然”。必要条件假言命题由“只有……才……”等联结两个支命题构成。在日常语言中，与“只有……才……”类似的关联词还有“必须……才……”、“除非……才……”、“除非……不……”等。在表示必要条件假言命题的形式时，我们仅以“只有……才……”作为代表，即将其形式表示为：只有P,才q我们也可用符号代替“只有……才……”，即将上述形式表示为：pjq这里的称为反蕴涵词，pjq称为反蕴涵式，可读作“p反蕴涵q”。我们不难看出，蕴涵和反蕴涵是两种相反的关系。当pTq真时，q~p必真；反之亦然。也就是说，当p是q的充分条件时，q—定是p的必要条件；反之亦然。2．必要条件假言命题的真假值必要条件假言命题断定的是一事物情况的不存在是另一事物情况必然不存在的条件，其真假取决于其前、后件表示的事物情况事实上是不是具有这样的条件关系，即是不是当其前件假时后件必假。如果当一个必要条件假言命题前件假时其后件必假，即当其前件假时其后件不可能真，那么这个必要条件假言命题就是真的；如果当一个必要条件假言命题前件假时其后件不必假，即当其前件假时其后件可能真，那么这个必要条件假言命题就是假的。（四）充分必要条件假言命题1．什么是充分必要条件假言命题充分必要条件假言命题是断定一事物情况的存在和不存在分别是另一事物情况必然存在和必然不存在的条件的命题。一事物情况的存在和不存在分别是另一事物情况必然存在和必然不存在的条件，这种条件称为充分必要条件。用p和q分别表示两个事物情况，p是q的充分必要条件即是说，只要有p存在，必然有q存在；同时，只要没有p存在，必然没有q存在。也就是“有之必然，无之必不然”。显然，充分必要条件就是既充分又必要的条件。充分必要条件假言命题由“当且仅当……才……”等联结两个支命题构成，其形式可表示为：当且仅当p,才q我们也可用符号“㈠”代替“当且仅当……才……”，即将上述形式表示为：poq这里的“分”称为等值词，poq称为等值式，可读作“p等值于q”。在日常语言中，人们很少用“当且仅当……才……”之类的说法，而是常常用“如果……那么……，并且，只有……才……”来表达与“当且仅当……才……”相同的意思。2．充分必要条件假言命题的真假值充分必要条件假言命题断定的是一事物情况的存在和不存在分别是另一事物情况必然存在和必然不存在的条件，其真假取决于其前、后件表示的事物情况事实上是不是具有这样的条件关系，即是不是当其前件真时后件必真，并且当其前件假时后件必假。如果当一个充分必要条件假言命题前件真时其后件必真，并且当其前件假时其后件必假，即当其前件真时其后件不可能假，并且当其前件假时其后件不可能真，那么这个充分必要条件假言命题就是真的；如果当一个充分必要条件假言命题前件真时其后件不必真，或者当其前件假时其后件不必假，即当其前件真时其后件可能假，或者当其前件假时其后件可能真，那么这个充分必要条件假言命题就是假的。（五）在运用假言命题时需注意的问题在运用假言命题时，应注意以下问题：第一，要正确区分三种不同的假言命题。假言命题的种类是依据其断定的不同条件关系来区分的，而一个假言命题断定了什么样的条件关系，是由其联结词的逻辑含义决定的。因此，一个假言命题是充分条件假言命题、必要条件假言命题还是充分必要条件假言命题，仅取决于它具有什么样的联结词，而不取决于它具有什么样的前后件。在运用假言命题时，联结词的搭配适当也是十分重要的，不能将不同的联结词混用。第二，要如实地断定事物情况之间的条件关系。事物情况间的条件关系是客观存在的，我们运用假言命题的时候，必须按照事物情况之间实际具有的条件关系做出断定，不能强加条件关系或混淆不同的条件关系。所谓强加条件关系，就是把本来没有条件关系的两个事物情况主观任意地联系起来，错误地断定它们具有条件关系。例：（1）“四人帮”横行时期的错误口号（2）封建迷信中的说法所谓混淆不同的条件关系，就是把充分条件误当成必要条件，或者把必要条件误当成充分条件。例：（1）贪污腐化与犯大错误（2）熟悉农村生活与写出反映农村生活的好作品（3）婚姻纠纷案另外，在运用假言命题时，联结词的搭配适当也是十分重要的，不能将不同的联结词混用。例：“人最重要是找到属于自己的世界，只要找到属于自己的世界，人生才有意义。”（影片《头文字D》中男主角拓海的女友夏树讲的一段话）五、复合命题的较复杂的形式以上我们介绍了几种基本的复合命题，从我们上面所举的那些复合命题的例子看，它们的支命题都是简单命题，因而在表示它们的形式时，每一种形式中只出现了一个联结词。但是实际上，一个复合命题的支命题不一定是简单命题，它也可以是复合命题。例：（1）并非张工程师既去过英国也去过法国。（2）小余在上海工作，去年或前年到过北京。（3）如果他报考GRE或TOEFL，他就去“新东方”学习。（4）只有甲队战胜了乙队或者丙队战胜了乙队，甲队和丙队才能都出线。不难看出，以联结词和命题变项作各种组合，可以构成许许多多较复杂或相当复杂的复合命题形式。但不管一个复合命题形式怎样复杂，从其主联结词看，仍可将其归入否定式、合取式、析取式、不相容析取式、蕴涵式、反蕴涵式和等值式这七种基本的复合命题形式。六、复合命题之间的等值转换复合命题的形式是多种多样的，但一些不同的复合命题形式之间却存在着等值关系，即是说，它们的真假值总是相同：当其中一个的值为真时，另一个的值必真；当其中一个的值为假时，另一个的值必假。我们把命题形式之间存在的等值关系称为逻辑等值关系。如果两个命题存在着形式上的等值关系，我们就说这两个命题具有逻辑等值关系（简称等值关系）。具有逻辑等值关系的命题，实际上是形式不同而逻辑含义相同的命题。因此，掌握了命题之间的逻辑等值关系，我们就可以把一些命题转换为与之逻辑含义相同的其他命题。这种根据命题之间的逻辑等值关系进行的转换，称为等值转换。下面介绍几种常用的对复合命题进行等值转换的规律。（一）双重否定律双重否定律反映了一个命题的负命题的负命题（即在一个命题前面加上两个否定词构成的命题）与这个命题之间的逻辑等值关系。这个规律可以表示为：-1-1AoA这里的A表示任一命题变项或命题形式，例如它可以是p、q、pAq、pTq等等。“o”是表示逻辑等值关系的符号，读作“逻辑等值于”（或“等值于”）。双重否定律表明，否定的否定等于肯定。其正确性显而易见。运用双重否定律，可以消去一个命题前面的重叠的否定词，或在一个命题前面加上两个重叠的否定词。例：（1）并非不是中国人发明了火药（2）所有进口商品都要缴纳关税（二）德摩根律德摩根律包括两条规律，可分别称为否定合取律和否定析取律。1．否定合取律否定合取律反映了一个联言命题的负命题（在一个联言命题前面加上否定词构成的负命题）和相应的相容选言命题之间的逻辑等值关系。这个规律可表示为：-1（AaB）o-1Av-B这里的A和B分别表示任一命题变项或命题形式。这条规律的正确性是很容易理解的。「（AAB）可理解为合取式AAB的值为假，而要使AAB的值为假，A和B应至少有一个为假，这正是「AV^B的意思。运用否定合取律，可以把一个联言命题的负命题转换为与之逻辑等值的相容选言命题，或者相反。例：（1）并非这种商品既物美又价廉（2）他不买国库券，或者不买股票2．否定析取律否定析取律反映了一个相容选言命题的负命题（在一个相容选言命题前面加上否定词构成的负命题）和相应的联言命题之间的逻辑等值关系。这个规律可表示为：-1（AvB）o-1Aa-B这条规律的正确性也是很容易理解的。「（AVB）可理解为析取式AVB的值为假，而要使AVB的值为假，A和B必须都为假，这正是「AA^B的意思。运用否定析取律，可以把一个相容选言命题的负命题转换为与之逻辑等值的联言命题，或者相反。例：（1）并非他会英语或者会日语（2）张丽和李薇都不是会计系的德摩根律包括的两条规律，可以结合起来这样来记：否定合取得析取，两个支命题分别被否定；否定析取得合取，两个支命题分别被否定。（三）假言变形律假言变形律反映了不同的假言命题之间的逻辑等值关系。它包括前后件换质律、前后件换位律和前后件换质位律。1．前后件换质律所谓前后件换质，就是同时改变一个假言命题前件和后件的质（即肯定变否定或否定变肯定）。表示前后件换质律的逻辑等值关系表达式较多，主要有：）AtBo「A——B）A—B-A—》―B）AoBo「Ao「B运用前后件换质律，可以把一个充分条件假言命题转换成与之逻辑等值的必要条件假言命题，也可以把一个必要条件假言命题转换成与之逻辑等值的充分条件假言命题，还可以把一个充分必要条件假言命题转换成与之逻辑等值的另一个充分必要条件假言命题。例：（1）如果明天有课，我就去学校（2）他只有会英语，才能翻译英文著作（3）当且仅当今天是星期六，明天才是星期日2．前后件换位律所谓前后件换位，就是交换一个假言命题前件和后件的位置（即前件变后件，后件变前件）。表示前后件换位律的逻辑等值关系表达式有两个：）AtBoBjA）AoBoBoA与运用前后件换质律一样，运用前后件换位律，也可以把一个充分条件假言命题转换成与之逻辑等值的必要条件假言命题，或者把一个必要条件假言命题转换成与之逻辑等值的充分条件假言命题，或者把一个充分必要条件假言命题转换成与之逻辑等值的另一个充分必要条件假言命题。例：（1）如果他是影星，那么他就演过电影（2）他只有会英语，才能翻译英文著作（3）当且仅当今天是星期六，明天才是星期日3．前后件换质位律所谓前后件换质位，就是既同时改变一个假言命题前件和后件的质，又交换其前件和后件的位置。表示前后件换质律的逻辑等值关系表达式较多，主要有：）AtBo「Bt「A）A—B-B—A）AoBo「Bo「A前后件换质位律实际上可看作前后件换质律与前后件换位律的结合或连续运用。运用前后件换质位律，可以把一个充分条件假言命题转换成与之逻辑等值的另一个充分条件假言命题，或者把一个必要条件假言命题转换成与之逻辑等值的另一个必要条件假言命题，或者把一个充分必要条件假言命题转换成与之逻辑等值的另一个充分必要条件假言命题。例：（1）如果他是影星，那么他就演过电影（2）某数只有能被3整除，它才能被9整除（3）当且仅当今天是星期六，明天才是星期日前后件换质律、前后件换位律和前后件换质位律的逻辑等值关系表达式不必死记硬背。我们只需记住运用这些规律对假言命题进行等值转换的方法即可。通过前后件换质、前后件换位和前后件换质位对假言命题进行等值转换的方法可总结如下：前后件换质，充分变必要，必要变充分；前后件换位，充分变必要，必要变充分；前后件换质位，充分得充分，必要得必要；前后件换质、换位或换质位，充要得充要。掌握假言变形律，能使我们深入理解各种假言命题的含义，并在各种假言命题之间进行等值转换，这对于正确认识事物情况之间的条件联系和有效地进行论证，都有重要的实际意义。在数学中，常采用通过证明一个假言命题的逆否命题来证明该假言命题的方法，这里所谓逆否命题，即是通过对原假言命题进行前后件换质位得出的命题。第二节复合命题推理复合命题推理是至少含有一个复合命题，并根据复合命题的逻辑含义进行的推理。它可以由复合命题和简单命题共同构成，也可以完全由复合命题构成。复合命题推理种类繁多，主要包括联言推理、选言推理、假言推理、二难推理以及根据双重否定律进行的推理、根据德摩根律进行的推理等。一、联言推理（一）什么是联言推理联言推理是以一个联言命题为前提或结论，并根据联言命题的逻辑含义进行的推理。例：（1）公司的休息日（2）李白和杜甫联言推理有两种不同形式，一种是分解式，一种是组合式。（二）联言推理的分解式联言推理的分解式是从一个联言命题推出做其联言支的一个命题的推理形式。运用联言推理的分解式，可以起到突出、强调事物的某一方面的作用。例：（1）尊重知识（2）古代中国有逻辑学说（三）联言推理的组合式联言推理的组合式是从两个或两个以上命题推出由这些命题做联言支构成的联言命题的推理形式。运用联言推理的组合式，可以把人们对事物各个方面的认识集中起来，形成一个较全面的认识。例：（1）《天龙八部》和《神雕侠侣》（2）黄老师哪天有课二、选言推理（一）什么是选言推理选言推理是以一个选言命题和若干否定或肯定其选言支的命题为前提，并根据选言命题的逻辑含义进行的推理。例：（1）电灯灭了的原因（2）投影仪色彩失真的原因选言推理按照其选言前提是相容的选言命题，还是不相容的选言命题，可以分为相容选言推理和不相容选言推理两种。（二）相容选言推理相容选言推理是前提中有一个相容的选言命题，并根据相容的选言命题的逻辑含义进行的选言推理。相容的选言命题断定的是若干事物情况中至少有一种情况存在，即其选言支中至少有一个为真。按照这种含义，一个相容的选言命题的选言支不能都假，但有几个为真则不确定。因此，在运用相容选言推理时须遵守以下规则：1．否定除一个以外的其他全部选言支，就要肯定那个剩下的选言支。2．肯定一个或一部分选言支不能得出结论。根据上述规则，相容选言推理只有一种有效形式，称为否定肯定式。所谓否定肯定式，就是从否定到肯定的形式，即前提中否定选言命题除一个以外的其他全部选言支，结论肯定那个剩下的选言支。例：（1）买房（2）学习成绩不好的原因（三）不相容选言推理不相容选言推理是前提中有一个不相容的选言命题，并根据不相容的选言命题的逻辑含义进行的选言推理。不相容的选言命题断定的是若干事物情况中只有一种情况存在，即选言支中只有一个为真。按照这种含义，一个不相容的选言命题的选言支不能都假，也不能有两个或两个以上同真。因此，在运用不相容选言推理时须遵守以下规则：1．否定除一个以外的其他全部选言支，就要肯定那个剩下的选言支。2．肯定一个选言支，就要否定其他全部选言支。根据上述规则，不相容选言推理有两种有效形式，即否定肯定式和肯定否定式。不相容选言推理的否定肯定式与相容选言推理的否定肯定式类似，只不过其选言前提是一个不相容的选言命题。例：（1）住宿生与走读生（2）投票不相容选言推理的肯定否定式是从肯定到否定的形式，即前提中肯定选言命题的一个选言支，结论否定其他全部选言支。例：（1）合法的与违法的2）历史文化遗产（四）运用选言推理时需注意的问题在运用选言推理时，需注意以下两个问题：第一，要注意相容选言推理和不相容选言推理的区别。相容选言推理的选言前提是相容的选言命题，不相容选言推理的选言前提则是不相容的选言命题。不相容选言推理有否定肯定式和肯定否定式两种有效形式，而相容选言推理却只有否定肯定式一种有效形式。如果一个相容选言推理的形式为肯定否定式，那么该推理就是无效的。例：（1）质量差的影片（2）郑人买履第二，要注意选言前提的选言支是否穷尽。前面我们介绍了选言推理的几种有效形式，运用这些推理形式只有在前提真实的情况下，才能必然得出真实的结论。而要保证选言前提真实，选言支的穷尽问题是一个不可忽视的问题。如果选言前提的选言支不穷尽，而遗漏的又恰恰是真实的选言支，那么，就可能得出虚假的结论。例：（1）持竿进城（2）赵海之死三、假言推理（一）什么是假言推理假言推理是以一个假言命题和一个肯定或否定其前件或后件的命题为前提，并根据假言命题的逻辑含义进行的推理。例：长生不老之术假言推理按照其假言前提是充分条件假言命题、必要条件假言命题还是充分必要条件假言命题，可分为充分条件假言推理、必要条件假言推理和充分必要条件假言推理。（二）充分条件假言推理充分条件假言推理是以一个充分条件假言命题为假言前提构成的假言推理，它是以充分条件假言命题的逻辑含义作为依据的。充分条件假言命题断定的是其前件表示的事物情况是后件表示的事物情况的充分条件，即有前者必有后者，亦即前件真后件必真。按照这种含义，一个充分条件假言命题不能前件真而后件假。也就是说，一个充分条件假言命题，当其前件真时，后件不能为假；当其后件假时，前件不能为真。但当其前件假时，后件的真假则不能确定；当其后件真时，前件的真假也不能确定。因此，在运用充分条件假言推理时，须遵守以下规则：1．肯定前件就要肯定后件。2．否定后件就要否定前件。3．否定前件不能得出结论。4．肯定后件不能得出结论。根据这些规则，充分条件假言推理有肯定前件式和否定后件式两种有效形式。例：（1）张思德（2）吸烟（3）清明上河图（4）女人与鸭子（5）无作案时间（6）非典（7）算命运用充分条件假言推理时，不能从否定假言前提的前件或肯定其后件推出结论，否则就会导致无效的推理。例：（1）有作案时间（2）全勤为什么不能评一等奖（三）必要条件假言推理必要条件假言推理是以一个必要条件假言命题为假言前提构成的假言推理，它是以必要条件假言命题的逻辑含义作为依据的。必要条件假言命题断定的是其前件表示的事物情况是后件表示的事物情况的必要条件，即无前者必无后者，亦即前件假后件必假。按照这种含义，一个必要条件假言命题不能前件假而后件真。也就是说，一个必要条件假言命题，当其前件假时，后件不能为真；当其后件真时，前件不能为假。但当其前件真时，后件的真假则不能确定；当其后件假时，前件的真假也不能确定。因此，在运用必要条件假言推理时，须遵守以下规则：1．否定前件就要否定后件。2．肯定后件就要肯定前件。3．肯定前件不能得出结论。4．否定后件不能得出结论。根据这些规则，必要条件假言推理有否定前件式和肯定后件式两种有效形式。例：（1）申报高级职称（2）选举权（3）反映农村生活的好作品（4）翻译英文著作运用必要条件假言推理时，不能从肯定假言前提的前件或否定其后件推出结论，否则就会导致无效的推理。例：（1）高考语文答卷（2）录取与分数线（四）充分必要条件假言推理充分必要条件假言推理是以一个充分必要条件假言命题为假言前提构成的假言推理，它是以充分必要条件假言命题的逻辑含义作为依据的。充分必要条件假言命题断定的是其前件表示的事物情况是后件表示的事物情况的充分必要条件，即有前者必有后者，同时无前者必无后者，亦即前件真后件必真，同时前件假后件必假。按照这种含义，一个充分必要条件假言命题不能前件真而后件假，也不能前件假而后件真。也就是说，一个充分必要条件假言命题，当其前件真时，后件不能为假；当其后件假时，前件不能为真；当其前件假时，后件不能为真；当其后件真时，前件不能为假。简言之，一个充分必要条件假言命题，其前件和后件的真假只能相同，不能相反。因此，在运用充分必要条件假言推理时，须遵守以下规则：1．肯定前件就要肯定后件。2．否定前件就要否定后件。3．肯定后件就要肯定前件。4．否定后件就要否定前件。根据这些规则，充分必要条件假言推理有肯定前件式、否定前件式、肯定后件式和否定后件式四种有效形式。例：（1）触犯刑律与犯罪（2）三角形三内角相等与三边相等运用充分必要条件假言推理，无论是肯定假言前提的前件、否定假言前提的前件、肯定假言前提的后件还是否定假言前提的后件，都能得出结论。只要注意对前件和后件的肯定或否定保持一致（肯定前件时不要否定后件，否定前件时不要肯定后件，肯定后件时不要否定前件，否定后件时不要肯定前件）即可。四、二难推理（一）什么是二难推理二难推理是假言选言推理的一种。假言选言推理是由若干假言命题和一个选言命题（其选言支的数目与假言命题的数目相同）为前提，根据假言命题和选言命题的逻辑含义进行的推理。其中由两个充分条件假言命题和一个二支的（即有两个选言支的）选言命题为前提构成的假言选言推理，称为二难推理。这种推理之所以被称为二难推理，是因为它常常令人面临两种选择，而无论做出哪种选择，都会引出对自己不利的结果，从而陷入进退两难的境地。例：上帝能不能造出一块自己举不起的石头二难推理常使人陷入进退两难的境地，这只是就一部分二难推理而言的。实际上并不是所有二难推理都使人进退两难。（二）二难推理的形式与规则二难推理有四种有效形式：1．简单构成式两个假言前提前件不同、后件相同，选言前提的两个选言支分别肯定两个假言前提的前件，结论肯定两个假言前提共同的后件，这样的二难推理形式称为简单构成式。例：（1）毛泽东《论人民民主专政》（2）松赞干布巧答文成公主（3）一部不可不读的小说2．简单破坏式两个假言前提前件相同、后件不同，选言前提的两个选言支分别否定两个假言前提的后件，结论否定两个假言前提共同的前件，这样的二难推理形式称为简单破坏式。例：（1）缺水或者缺肥的花（2）正确的省略推理3．复杂构成式两个假言前提前、后件均不相同，选言前提的两个选言支分别肯定两个假言前提的前件，做结论的选言命题的两个选言支分别肯定两个假言前提的后件，这样的二难推理形式称为复杂构成式。例：（1）寄征衣（2）农民与皇帝（3）宰相刘罗锅（4）大宋提刑官4．复杂破坏式两个假言前提前、后件均不相同，选言前提的两个选言支分别否定两个假言前提的后件，做结论的选言命题的两个选言支分别否定两个假言前提的前件，这样的二难推理形式称为复杂破坏式。例：勇气和智慧对二难推理，我们可制定以下规则：1．肯定前件就要肯定后件。2．否定后件就要否定前件。3．否定前件不能得出结论。4．肯定后件不能得出结论。这些规则在表述上与充分条件假言推理的规则相同，但含义有所不同。二难推理的规则中的肯定或否定，指的是选言前提的两个选言支分别对两个假言前提的前件或后件的肯定或否定，以及结论（或其两个选言支）对两个假言前提的后件或前件的肯定或否定。（三）破斥错误的或不恰当的二难推理的方法二难推理是一种有力的论辩武器，它常常可以使人陷入进退两难的境地。但是，如果一个二难推理是错误的、有缺陷的或有破绽的，则是可以加以破斥的。破斥的方法有三种：1．指出其形式无效。2．指出其前提不真实。例：（1）阿马火烧图书馆（2）走投无路的老汉3．构造一个相反的二难推理。（1）半费之讼（2）青年演说家错误的、有缺陷的或有破绽的二难推理是可以破斥的，但如果一个二难推理没有任何错误、缺陷或破绽，就无法破斥了。面对这样的二难推理，人们不得不做出选择，当然选择的原则是两害相权取其轻。例：三打白骨精二难推理只是假言选言推理的一种。假言选言推理的假言前提不一定是充分条件假言命题，也不一定只有两个。比如，由三个充分条件假言命题和一个三支的选言命题就可构成三难推理。例：阿凡提讲道五、复合命题的较复杂的推理上面介绍了各种常用的复合命题推理，这些推理各有自己不同的特点。在实际思维活动中，这些推理可以结合起来运用，形成较复杂的推理过程。将各种复合命题推理结合起来运用，不但能解决许多较复杂的认识问题，以满足实际需要，而且也是一种很好的思维训练。下面我们就来谈谈综合运用各种复合命题推理的一般方法。这些方法主要包括：（一）直接推导法直接推导法是仅依靠已知前提来推导出某个命题的方法，即从已知前提出发，运用有关的推理知识，一步一步地进行推导，直至推出所需要的结论。例：公安人员审理一件盗窃案。现已查明：（1）甲或乙是盗窃犯；（2）如果甲是盗窃犯，则作案时间不会发生在午夜前；（3）如果乙的证词正确，则在午夜时屋里灯光未灭；（4）只有作案时间发生在午夜前，乙的证词才不正确；（5）在午夜时屋里灯光灭了。请问：谁是盗窃犯？（二）推翻假设法推翻假设法是通过提出和推翻某个假设来确立某个命题的方法，即先提出一个假设，再从这个假设和已知前提出发，运用有关的推理知识进行推导，直至推出矛盾，从而推翻假设，得出与假设相反的结论。为了使推翻假设法的推导过程具有严格性，我们先引入一个规则，即反证规则。反证规则是通过从一个命题的负命题推出矛盾来确立该命题的推理规则。这个规则可以表述为：如果厂,「A|—B人「B,贝忙|—A。这里的厂表示任一有穷的命题形式集（允许是空集），A和B分别表示任一命题形式（包括命题变项，我们可以把命题变项也看作是命题形式）。其意思是：如果从一个命题形式集和命题形式「A可推出矛盾（BA「B）,则从该命题形式集就可推出A。这里的命题形式集厂可以由一个、两个或两个以上命题形式组成，也可以是不含任何命题形式的空集。当厂为空集时，实际上是说，如果从命题形式「A可推出矛盾，则A可无前提地推出，即A是一个其值必为真的命题形式。运用反证规则的结果是推翻了「A,而确立了A,这等于消去了「A前面的否定词。所以，反证规则也称为否定消去规则。反证规则看似复杂，运用起来并不复杂。在日常思维、科学研究和论辩活动中，人们常运用反证法进行证明，即先假设要证明的命题为假，然后从这个假设出发，再依据若干已知真实的命题，推出矛盾，从而推翻假设，使要证明的命题得以确立。反证法实际上就是对反证规则的运用。在这里，人们要证明的命题即是反证规则中的A，A为假的假设即「A,作为推理依据的若干已知真实的命题即几例：甲、乙、丙三个球队参加了某次足球赛，并被分在同一个小组。现已知：（1）如果甲队不能出线或乙队不能出线，则丙队就能出线；（2）只有丙队不能出线，甲队才不能出线。请问：甲队能否出线？在运用推翻假设法进行推导时，除了可依据反证规则，还可以依据归谬规则。归谬规则是一个与反证规则相近的规则，它是通过从一个命题推出矛盾来确立该命题的负命题的推理规则。这个规则可以表述为：如果厂,A|—BA「B，贝忙|一A。这里的厂仍表示任一有穷的命题形式集（允许是空集），A和B仍分别表示任一命题形式。其意思是：如果从一个命题形式集和命题形式A可推出矛盾（BA「B），则从该命题形式集就可推出「A。与反证规则不同的是，运用归谬规则的结果是推翻了A，而确立了「A,这等于引入了「A前面的否定词。所以，归谬规则也称为否定引入规则。归谬规则虽与反证规则相近，却具有不同作用。在日常思维、科学研究和论辩活动中，人们常运用归谬法进行反驳，即先假设要反驳的命题为真，然后从这个假设出发，再依据若干已知真实的命题，推出矛盾，从而推翻假设，使要反驳的命题被否定。归谬法实际上就是对归谬规则的运用。在这里，人们要反驳的命题即是归谬规则中的A,作为推理依据的若干已知真实的命题即r,运用归谬法的结果是A被否定，即得到「A。需要说明的是，在已有反证规则的情况下，归谬规则并不是必需的。凡在运用了归谬规则的地方，都可以改用反证规则。（三）条件证明法条件证明法是为推导出一个假言命题而采用的方法。运用这种方法，也要先提出一个假设，然后再从这个假设和已知前提出发，运用有关的推理知识进行推导，直至推出某个命题，最后以假设为前件，以推出的那个命题为后件，构成一个充分条件假言命题。作为条件证明法依据的是条件证明规则。这个规则可以表述为：如果r,A|—B，则口—AtB。这里对厂、A和B的解释同反证规则和归谬规则。这个规则的意思是，如果从一个命题形式集和命题形式A可推出B,则从该命题形式集就可推出AtB。这里的命题形式集厂允许是空集，当厂是空集时，AtB可无前提地推出，即AtB是一个其值必为真的命题形式。运用条件证明规则的结果是确立了蕴涵式AtB,即在A与B之间引入了一个蕴涵词。所以，条件证明规则也称为蕴涵引入规则。例：甲、乙两个工厂签订了一个经济合同。现已知：（1）只有银行给甲厂贷款，甲厂才能履行合同；（2）如果甲厂不能履行合同，乙厂就不能按时交货；（3）乙厂要么按时交货，要么会受到罚款；（4）银行或者不给甲厂贷款，或者不给丙厂贷款；请问：由以上前提能否推出“如果银行给丙厂贷款，那么乙厂就会受到罚款”？第三节真值表及简化真值表方法我们已了解了各种复合命题和常用的几种复合命题推理。逻辑学研究复合命题，关心的是它们的逻辑含义和由此决定的它们的真假值，以及它们相互之间的真假值关系；逻辑学研究复合命题推理，关心的则是推理的有效性。无论是复合命题，还是复合命题推理，都是形式繁多。面临着纷繁复杂的复合命题形式和复合命题推理形式，人们希望找到一种能刻画复合命题形式的含义，判定复合命题形式的真假值，判定复合命题形式之间的真假值关系，判定复合命题推理形式的有效性的一般方法。真值表就提供了这样的方法。下面我们就介绍一下真值表，然后再介绍一种建立在真值表基础之上的简化真值表方法。一、真值表（一）什么是真值表真值表是数理逻辑（经典逻辑）在研究复合命题以及复合命题推理时，用来反映复合命题形式与组成部分之间的真值关系的一种图表。所谓真值，就是真假值。数理逻辑的经典逻辑将复合命题形式与其组成部分之间的关系，看成是一种真值函项关系，即一个复合命题形式的真值完全由其组成部分的真值来决定。比如，「P的真值由p的真值决定，pAq和pVq的真值由p和q的真值决定。对于p的每一个取值，「P都有一个确定的值与之对应；对于p和q的每一组取值，pAq和pVq都有一个确定的值与之对应。这种关系类似于数学上的函数关系，不过不是从数值到数值的函数关系，而是从真值到真值的函数关系，因而称作真值函数或真值函项。将负命题、联言命题和选言命题与其支命题之间的关系看成真值函项关系，是符合直观的。但假言命题则不同。从直观上说，假言命题断定的并不是其前后件本身的真假，因而假言命题的真假也就不能简单地由其前后件的真假决定。不过数理逻辑的经典逻辑却将假言命题与其前后件之间的关系也同样看成一种真值函项关系。于是，真值函项理论便涵盖了所有的复合命题形式。在数理逻辑中，用命题变项和联结词符号组成的复合命题形式，如「p、pAq、pVq、pTq、p^q等等，都是表达真值函项的，常被称为真值形式。而真值形式中的联结词可称为真值联结词。如果把我们已学过的七种联结词「、A、V、V、T、〜和㈠都看作真值联结词，则真值形式「p、pAq、pVq、pVq、pTq、pjq和poq与其所含变项之间的真值关系可分别用真值表表示如下（用T表示真，用F表示假）：（略）以上真值表可称为基本真值表。它们实际上起着定义真值联结词的作用。也就是说，如果把基本真值表中的命题变项p或q用任一真值形式代替，原有的真假值关系仍然成立。因此，在基本真值表的基础上，我们就可以做出任意一个较复杂的真值形式的真值表。下面我们来谈谈做出任一真值形式的真值表的方法。（二）真值表的作法要作出任一真值形式的真值表，须按照下列步骤：1．列出真值形式中所含命题变项的所有可能的取值。真值形式的真值是由其组成部分的真值决定的，最终是由其所含命题变项的真值决定的。要完整地反映出真值形式与其组成部分之间的真值关系，就必须考虑到命题变项的一切可能的取值情况。为了把命题变项的所有可能的取值情况既无遗漏，又不重复地列举出来，并排列整齐，以便于比较，我们可首先确定命题变项总共有几种可能的取值，即真值表除“表头”以外的部分有多少行（为叙述上的方便，以下我们把真值表除“表头”以外的部分有多少行，称为真值表的行数）。如果用n表示一个真值形式中所含命题变项的个数，则我们可以有下述计算公式：真值表的行数=2n按此公式计算，当一个命题形式中只含有一个命题变项时，真值表的行数为21即2行；当一个命题形式中含有两个命题变项时，真值表的行数为22即4行；当一个命题形式中含有三个命题变项时，真值表的行数为23即8行；其余依此类推。在确定了真值表的行数以后，我们可以从左到右一竖列一竖列地列出命题变项的各种可能的取值：在第一列的前一半写“真”（可用T表示），后一半写假（可用F表示）；在第二列的第一个1/4部分写“真”，第二个1/4部分写“假”，第三个1/4部分写“真”，第四个1/4部分写“假”；在第三列的第一个1/8部分写“真”，第二个1/8部分写“假”，第三个1/8部分写“真”……；其余依此类推。2．根据命题变项的真值列出真值形式的真值。一个较复杂的真值形式不是仅由一个真值联结词联结一个或两个命题变项构成，而是还包含着其他真值形式，其真值只有在先确定了作为其组成部分的其他真值形式的真值后才能确定。因此，确定一个真值形式的真值，应按照从命题变项到最简单的真值形式，再从最简单的真值形式到较复杂的真值形式，再从较复杂的真值形式到更复杂的真值形式的顺序，逐步来完成。这个过程实际上是一个由简单到复杂、由部分到整体的计算（逻辑计算）过程。例：（1）（2）（pVq）T「r(三)真值表的应用真值表主要有以下作用：1．运用真值表，可以根据命题变项的真值，确定一个真值形式的真值。任何一个真值形式的真值，都可以按照真值表所反映的真值关系，由命题变项的真值来确定。例：当p和q的值都为真时，根据真值表，pAq的值为真。p的值为真，而q的值为假时，根据真值表，pTq的值为假。(3)p和q的值都为假，而r的值为真时，根据真值表，「pA(qvr)的值为真。2．运用真值表，可以判定真值形式的一些特殊性质。有些真值形式无论其中的命题变项取何值，其值总为真，这样的真值形式称为永真式，或重言式。一个真值形式是不是永真式，可以通过真值表判定：如果在真值表中，该真值形式的值每一行均为真，则该真值形式即为永真式。永真式常常体现着一定的逻辑规律。例：(1)pv「p(2)(pAq)Tp(3)pv(pTq)(4)(pT「q)Aq也有些真值形式无论其中的命题变项取何值，其值总为假，这样的真值形式称为永假式，或矛盾式。一个真值形式是不是永假式，也可以通过真值表判定：如果在真值表中，该真值形式的值每一行均为假，则该真值形式即为永假式。永假式体现着一定的逻辑谬误。例：(1)pA「p(2)「(pv「q)Ap(3)pA「(pAq)3．运用真值表，可以判定两个真值形式之间的真假值关系。两个真值形式之间是否有等值关系或者矛盾关系，两个真值形式的值能否同真或能否同假等，都可以运用真值表来判定。当我们做出两个真值形式的真值表后，如果它们的每一行对应的值均相同，则它们具有等值关系；如果它们的每一行对应的值均相反，则它们具有矛盾关系。判定是否具有等值关系例：(1)pTq和「pvq(2)pA^q和「(「pvq)(3)「(pAq)和「pA「q(4)pT「q和qT「p(5)pv(^pAq)和「pTq判定是否具有矛盾关系例：(1)pv「q和「pAq(2)pTq和pT「q判定能否同真或能否同假例：(1)pAq和「pAq(2)pTq和pv「q4．运用真值表，可以判定一个复合命题推理形式是否有效。要运用真值表判定一个复合命题推理形式是否有效，可按照下列步骤：(1)如果该推理形式只有一个前提，就以该推理形式的前提为前件，结论为后件，构成一个蕴涵式；如果该推理形式有不止一个前提，就先将该推理形式的前提依次用人联结起来构成一个合取式，再以这个合取式为前件，以结论为后件，构成一个蕴涵式。(2)做出上述蕴涵式的真值表，并检查该蕴涵式是不是永真式。如果该蕴涵式是永真式，则要判定的推理形式有效；如果该蕴涵式不是永真式，则要判定的推理形式无效。为什么如果一个蕴涵式是永真式，则相应的推理形式就是有效的呢？因为如果一个蕴涵式是永真式，就说明它不可能前件真而后件假(按照真值表，当一个蕴涵式前件真而后件假时，该蕴涵式的值便为假)，也就是说，相应的推理形式不可能出现前提真而结论假的情况。反之，如果一个蕴涵式不是永真式，就说明它有可能前件真而后件假，也就是说，相应的推理形式有可能出现前提真而结论假的情况。例：(1)并非小李买了股票而没买基金；小李没买基金；所以，小李没买股票。(2)老赵会下象棋，或者会下围棋；所以，并非老赵既会下象棋，也会下围棋。5．运用真值表，可解决一些比较复杂的逻辑问题例1：某次数学竞赛初赛结束后，参赛者甲和乙在一起议论。甲说：“如果你不能进入复赛，那么我也不能进入复赛。”乙说：“我肯定能进入复赛。”事实证明，甲的判断和乙的判断之中有且只有一个是正确的。请问：甲和乙是否进入了复赛？（用p表示“乙进入了复赛"，用q表示“甲进入了复赛”）例2：某班推举校级三好生，赵军和周玲被定为候选人。名单上报后，甲、乙、丙三个学生在一起