2023届高考数学二轮复习专项突破09构造函数

构造函数专项突破高考定位构造函数的题型设计能够很好的考察学生的数学抽象素养，同时也培养了学生的创新思维，近些年，试题都多处设计了构造函数，也将是以后每年必考的试题。考点解析（1）分离构造（2）合成构造（3）同构（4）原导混构分项突破类型一、分离构造俩个函数例1-1．（2022·全国·高三专题练习）函数的零点个数为________.【答案】2【分析】先利用诱导公式、二倍角公式化简，再将函数零点个数问题转化为两个函数图象的交点个数问题，进而画出图象进行判定.【详解】，函数f(x)的零点个数可转化为函数与图象的交点个数，在同一坐标系中画出函数与图象的（如图所示）：由图可知两函数图象有2个交点，即f(x)的零点个数为2.故答案为：2.例1-2．（2018·浙江·绍兴市柯桥区教师发展中心高三学业考试）已知函数，函数，若函数恰有4个零点，则实数的取值范围为_______.【答案】【分析】求出函数的表达式，构造函数，作函数的图象，利用数形结合进行求解即可.【详解】∵，∴，∵函数y=f(x)−g(x)恰好有四个零点，∴方程f(x)−g(x)=0有四个解，即f(x)+f(2−x)−b=0有四个解，即函数y=f(x)+f(2−x)与y=b的图象有四个交点，，作函数y=f(x)+f(2−x)与y=b的图象如下，，结合图象可知，<b<2，故答案为:.类型二、同构例2-1．（2021·山西大附中高三月考（理））已知定义域为的奇函数的导函数为，当时，，若，则的大小关系正确的是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据构造函数，利用函数的奇偶性、单调性比较大小．【详解】解：令函数，因为定义域为的是奇函数，所以函数为偶函数；，当时，因为，所以，所以，即，所以在上为减函数，，因为，所以，即.故选：B.练1（2021·天津·南开中学高三月考）已知，，，则a，b，c的大小关系为（）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据题意，构造函数，利用函数单调性比较大小即可.【详解】令，所以所以当时，，单调递增；当时，，单调递减，因为，，，所以，即.故选：C.练2（2021·黑龙江大庆·高三月考（理））设，，，其中是自然对数的底数，则（）A． B． C． D．【答案】A【分析】令，求导函数，分析导函数的符号，得出所令函数的单调性，再由，得出，利用对数的运算性质可得答案.【详解】解：令，则，令，得，所以当时，，所以在单调递减，当时，，所以在单调递增，又，所以，又，，，所以.故选：A.例2-2.（2021·江苏扬州·高三月考）已知且，且，且，则（）A． B． C． D．【答案】A【分析】构造函数，利用导数得出函数单调性，由题可得，，，根据单调性可判断大小.【详解】令，则，当时，，单调递增，当时，，单调递增，画出函数图象如下，由题可得，，，，，，则，，，，，即，.故选：A.练1．（2021·广东·深圳市第七高级中学高三月考）已知，且，，，其中是自然对数的底数，则（）A． B． C． D．【答案】A【分析】设，则，然后分别利用导数判断两个函数的单调性，利用其单调性可求得答案【详解】设，则，又，所以在上单调递增，所以，即，因为，所以在上单调递减，所以，故选：A.例2-3（指对转换同构解方程）．设正实数a，b，c，满足，则a，b，c的大小关系为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】通过构造函数，利用导数判断函数的单调性，并判断的范围，通过变形得，得的大小关系，再直接解方程求的范围，最后三个数比较大小.【详解】设，时，恒成立，在单调递增，时，，而，所以，，故，即，而，所以．故选：B【点睛】关键点点睛：本题的关键是构造函数，并且根据指对互化，这样根据单调性可得.练．（2021·安徽高三开学考试）已知函数（）.若关于x的方程有两个不同的实数解，求a的取值范围.【答案】（1，+∞）.【分析】将原方程化为，进而，即，然后构造函数，根据导数方法得出单调递增，则，再次构造函数，进而通过导数方法得到结论.【详解】∵，∴，∴，∴，令，则，当时，∴在上单调递增，∴，令，，时，，单调递减，时，，单调递增，∴.若，则，没有零点；若，则，当且仅当x=1时取“=”，只有一个零点；若，则，，，令，则，即在单调递增，∴，即.结合函数的单调性可知，在上有一个零点，在上有一个零点.综上：时，方程有两个实数根.【点睛】本题第（2）问，，∴，∴，这几步的处理，我们称为函数的“同构”，有一定的技巧，但可以大大降低运算量，需要自己总结归纳.例2-4（指对互化同构解不等式）．（2021春•淇滨区校级月考）已知函数，当时，恒成立，则的取值范围为A． B． C． D．【解答】解：由题意，若显然不是恒大于零，故．（由4个选项也是显然，可得，则显然在，上恒成立；当时，，令，，在上单调递增．因为，，所以，即，再设，令，则，易得在上单调递增，在上单调递减，所以，故，所以的取值范围为．故选：．练．（2021春•南阳期末）若，不等式在上恒成立，则实数的取值范围是．【解答】解：设，求导可得，在单调递增，，，，，，，，，，，又在单调递增，，即，，，设，，求导可得，令，解得，，解得，在单调递增，在单调递减，在取得极小值点，也为的最小值点，（e），即，可得则实数的取值范围是．故答案为：．练．（2021秋•鼓楼区校级月考）已知对任意的，不等式恒成立，则正数的取值范围是A． B． C． D．【解答】解：由题意，当等式对恒成立，即对恒成立，即对恒成立，令，则有对恒成立，又，令，则，当时，，故单调递增，所以（1），即，故在上单调递增，所以对恒成立，即对恒成立，令，则，当时，，则单调递减，当时，，则单调递增，所以的最小值为（e），则，所以正数的取值范围是．故选：．练．（2021春•东至县校级期中）若对任意，不等式恒成立，则的范围是A． B．， C．， D．【解答】解：由题意可得：，，由可得，即，令，可得，由可得，由可得，如图：可得在单调递增，若，则，可得，令，只需要，对于恒成立，所以在单调递减，所以，所以，实数的范围为，，故选：．类型三、原导混合构造例3-1（含ex的原导混合构造）（2021·江西赣州·高三期中（理））已知定义在上的函数满足且有，则的解集为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】构造函数，求导后确定其单调性，原不等式转化为关于的不等式，再利用单调性得解集．【详解】设，则，因为，所以，所以是上的增函数，，不等式即为，即，所以，故选：D．练（含ex的原导混合构造）26．（2021·广东·揭阳市揭东区教育局教研室高三期中）若定义在上的函数满足，，则不等式的解集为________________．【答案】【分析】构造，由已知结合导数判断函数的单调性，利用函数的单调性解不等式.【详解】构造，则，函数满足，则，故在上单调递增．又∵，则，则不等式⇔，即，根据在上单调递增，可知．故答案为：.例3-2（含x2的原导混合构造）1．（2021·内蒙古·海拉尔第二中学高三期中（理））已知奇函数是定义在上的可导函数，其导函数为，当时，有，则不等式的解集为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用，构造出，会得到在上单调递增，再将待解不等式的形式变成和相关的形式即可.【详解】设，因为为上奇函数，所以，即为上奇函数对求导，得，而当时，有，故时，，即单调递增，所以在上单调递增不等式，又是奇函数，则，即所以，解得，即.故选：A.例3-3（含lnx的原导混合构造）2．（2021·四川遂宁·模拟预测（理））设函数是定义在上的奇函数，为的导函数，当时，，则使得成立的的取值范围（）A． B．C． D．【答案】A【分析】先构造新函数，通过求导，再结合已知条件可判断出当时，，当时，，最后分情况解不等式可得答案.【详解】令，，当时，，，原函数单调递增，又因为，所以当时，，此时，，所以，当时，，此时，，所以，所以当时，，又因为是奇函数，当时，，求，分两种情况求解，当时，，只需，解得，当时，，只需，解得所以的范围是故选：A.练（含lnx的原导混合构造）3．（2021·江苏·无锡市第一中学高三月考）已知是定的奇函数，是的导函数，，且满足：，则不等式的解集为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】令对函数求导可得到函数单调递减，再结合，和的奇偶性，通过分析得到当，，，，故不等式等价于或，求解即可.【详解】令，则，故函数单调递减，定义域为，（1），时，；时，．时，；时，．当，时，，又（1）．当，，又为奇函数，当，．不等式等价于或解得或者故答案为：D.例3-4（含sinx的原导混合构造）（2020·陕西西安市·交大附中）设奇函数的定义域为，且的图象是连续不间断，任意，有，若，则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】构造函数，可知为奇函数，利用导数可判断出函数在区间上为减函数，进而得出在定义域内的单调性，将所求不等式变形为，利用函数的单调性可解出所求不等式.【详解】令，定义域为，因为函数为奇函数，所以，则函数是定义在上的奇函数，，因为任意的，有，所以当时，，则在上单调递增，则函数是上的奇函数并且单调递增，由，因为，所以，，即，所以，又因为，因此.练、已知奇函数的定义域为，其图象是一段连续不断的曲线，当时，有成立，则关于的不等式的解集为（）A． B．C． D．【答案】A【分析】设，则,由条件可得