2023届高考数学二轮复习专项突破07抽象函数

抽象函数专项突破高考定位抽象函数型综合问题，一般通过对函数性质的代数表述，综合考查学生对于数学符号语言的理解和接受能力，考查对于函数性质的代数推理和论证能力，考查学生对于一般和特殊关系的认识.函数的周期性、对称性一般与抽象函数结合，综合函数的其它性质一起考查.函数的周期性要紧扣周期函数的定义.要注意，函数的周期性只涉及到一个函数.函数的对称性比较复杂，要分清是一个函数的对称性，还是两个函数的对称性；分清是轴对称还是中心对称.题型解析目标一、图像法例1-1（2021·江西·高三）若定义在上的奇函数在区间上单调递增，且，则满足的的取值范围为（）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据函数的单调性、奇偶性、函数图象变换，结合图象求得正确答案.【详解】依题意是上的奇函数，且在递增，且，所以在递增，且.的图象是由的图象向右平移个单位得到，画出的大致图象如下图所示，由图可知，满足的的取值范围为.故选：C.例1-2（2022·全国·高三专题练习）定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，且在[0，1]上是减函数，则有（）A．f<f<fB．f<f<fC．f<f<fD．f<f<f【答案】C【分析】首先判断函数的周期，以及对称性，画出函数的草图，即可判断选项.【详解】因为f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋2＋2)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以函数的周期为4，并且，所以函数关于对称，作出f(x)的草图(如图)，由图可知<<，故选：C.例1-3（2021·江西九江市·高三）已知定义在R上的偶函数满足在上单调递增，，则关于x的不等式的解集为（）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用函数的奇偶性将不等式化简，利用数形结合进行求解即可．【详解】解：是偶函数，不等式等价为，即，则，且，或者，且，偶函数满足在，上单调递增，（2），，则对应的图象如图，则由，且，得，得，由，且，得，即，得，综上,不等式的解集为，，，例1-4．（2021·江西·九江市柴桑区第一中学高三月考（文））已知函数是定义在上的奇函数，且在上单调递增，则满足的m的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据奇函数的定义可知定义域关于原点对称可得，即可解出，由奇函数的性质可得函数在上递增，再将等价变形为，然后根据单调性即可解出．【详解】依题意可得，解得，而函数在上单调递增，所以函数在上单调递增，又函数连续，故函数在上递增，不等式即为，所以，解得．故选：B．目标二、构造法例2-1．设函数是奇函数的导函数，.当时，，则使得成立的的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】令，由已知条件可得，所以在上单调递增，由和为奇函数，可得为奇函数，且，从而由的单调性可得答案【详解】由，可得，令，则，故在上单调递增.因为，所以，又因为为奇函数，所以为奇函数，所以，且在区间上，单调递增.所以使得，即成立的的取值范围是.故选：B练（2021·江苏·海安高级中学高三月考）已知定义在上的可导函数，对任意的实数x，都有，且当时，恒成立，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】由题意可得，令，根据奇偶性的定义，可得为偶函数，利用导数可得的单调性，将题干条件化简可得，即，根据的单调性和奇偶性，计算求解，即可得答案.【详解】由，得，记，则有，即为偶函数，又当时，恒成立，所以在上单调递增，所以由，得，即，所以，即，解得，故选：D.练（2021·广东南海中学）设是偶函数的导数，，当时，，则使成立的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】构造函数，利用导数得到，在是减函数，再根据为偶函数，根据，解得的解集．【详解】令，，时，,在上是减函数，为偶函数，为奇函数,在上单调递减,，所以，,因此，,因此使得成立的的取值范围是,目标三、赋值法例3-1（2021·湖南省邵东市第一中学高三月考）已知函数满足对恒成立，且，则（）A．1010 B． C．1011 D．【答案】B【分析】利用赋值法找出规律，从而得出正确答案.【详解】令，则，令，则，由于，所以.令，则，令，则，令，则，以此类推，可得.故选：B.例3-2（2021·宁夏·海原县第一中学高三月考（文））已知是定义域为的奇函数，满足，若，则（）A．2022 B． C．3 D．【答案】C【分析】由条件可得是周期为4的周期函数，然后利用算出答案即可.【详解】因为是定义域为的奇函数，所以，因为，所以所以，所以是周期为4的周期函数因为，，，所以故选：C.例3-3．（2021·安徽·高三月考（文））已知定义在上的函数满足：关于中心对称，是偶函数，且，则的值为（）A．0 B．-1C．1 D．无法确定【答案】B【分析】由于关于中心对称，又将函数向左平移1个单位后为，所以关于中心对称，即是奇函数；又是偶函数，又将函数向右平移1个单位后为，所以关于直线对称，可得函数的周期，由此即可求出结果.【详解】由于关于中心对称，又将函数向左平移1个单位后为，所以关于中心对称，即是奇函数；又是偶函数，又将函数向右平移1个单位后为，所以关于直线对称，即；所以，所以，所以，所以函数的周期，.故选：B.例3-4（2021·江西·赣州市赣县第三中学高三期中（理））函数对任意都有成立，且函数的图象关于点对称，，则（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】根据函数的图象关于点对称，得到函数是奇函数，然后结合，得到函数的周期为求解.【详解】因为函数的图象关于点对称，所以函数的图象关于点对称，即，又因为，所以，即，所以函数的周期为，又，所以.故选：D.例3-5（2021·遵义市第五中学）已知函数是定义在R上的奇函数，对任意实数x，恒有成立，且，则下列说法正确的是（）①是函数的一个对称中心；②函数的一个周期是4；③；④A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④【答案】B【分析】根据可判断①；根据和是奇函数可判断②；根据可判断③；根据可判断④.【详解】由知，所以函数的图象关于直线对称，故①错误；由得，由是奇函数得，则，所以，即函数的一个周期是4，故②正确；由得，故③正确；因为是上的奇函数，所以，由得，故④正确.故选：B.例3-6【2021年天津市南开中学】设函数fx是定义在R若f2>1,f3=【答案】-∞,-【解析】【分析】根据函数是以5为周期的奇函数，得f2=f-3，结合函数为奇函数，得f-3=-【详解】∵函数fx以5为周期，∴f2=f-3，又∵因此f2=-a2+a+3a-【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性和周期性，以及不等式的解法等知识，熟练运用函数的性质是关键，属于基础题．例3-7．已知偶函数满足，且在处的导数，则曲线在处的切线方程为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据已知条件可得是周期为4的函数，即可求出，得出切线方程.【详解】由条件知，所以，从而，即函数的周期为4.在中，令得，所以，又，所以曲线在处的切线方程为，即.故选：A.目标四、定义法判断单调性例4-1（2021·全国·高三期中）已知是偶函数，当时，恒成立，设，，，则、、的大小关系为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】分析可知函数在为增函数，由已知条件可得，结合函数的单调性可得出、、的大小关系.【详解】当时，恒成立，则，所以在为增函数.又因为是偶函数，所以，，即，所以，即.故选：A.例4-2（2021·北京通州·高三期中）已知函数的定义域为，，是偶函数，，有，则（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据条件可得关于直线对称，在上单调递增，结合可判断出答案.【详解】由是偶函数可得关于直线对称因为，有，所以在上单调递增因为，所以，，无法比较与0的大小故选：B.例4-3．已知函数满足，且对任意的，都有，则满足不等式的的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】可化为，构造函数，再结合奇偶性可知该函数在R上单调递增，又将所求不等式变形，即可由单调性解该抽象不等式.【详解】根据题意可知，可转化为，所以在[0，+∞)上是增函数，又，所以为奇函数，所以在R上为增函数，因为，，所以，所以，解得，即x的取值范围是.故选：A.【关键点点睛】本题的关键是将不等式化为，从而构造函数，再根据奇偶性和单调性解抽象不等式.例4-4（2021·上海·格致中学高三月考）已知函数的定义域，且对任意，恒有，当时，，若，则的取值范围是______________．【答案】【分析】根据给定条件探求出函数在上的单调性，再利用单调性解即得.【详解】，且，则，而当时，，于是得，因对任意，恒有，因此，，从而得在上的单调递减，由得：，解得：，解，即得，则有，所以的取值范围是.故答案为：例4-4、定义法判断奇偶性（2021·河南·模拟预测（文））已知非常数函数满足，则下列函数中，不是奇函数的为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据奇函数的定义判断．【详解】因为，所以，则，是奇函数，同理也是奇函数，，则，是奇函数，，为偶函数，故选：D．练．【百校联盟2021届高三普通高中教育教学质量监测考试（全国卷11月）理科】数已知函数，若，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据奇偶性的定义可判断出为奇函数；根据单调性的性质，结合奇偶性可确定在上单调递增，由此可将所给不等式化为，解不等式可求得结果.【详解】当时，，，同理，当时，，且，可知函数为奇函数；，在上单调递增，在上单调递增，由奇函数性质知：在上单调递增，由得：，即，，，解得：，即，，即实数的取值范围为.故选：.练.【河南省十所名校2020-2021学年高三上学期第二次考试数学（理）】设函数在上存在导数，对于任意的实数，都有，当时，，若，则实数的最大值为（）A．-1 B．1 C．-2 D．2【答案】B【分析】构造函数，根据题意可得为奇函数，且为递减函数，将化为，利用单调性可解得结果.【详解】令，则，又，，为奇函数，且，当时，，单调递减，所以当时，为递减函数，由，得，即，得.故选：B【点睛】关键点点睛：构造函数，判断出其奇偶性和单调性，并利用单调性求解是解题关键.目标五、推理法例5-1（2021·安徽·池州市江南中学高三月考（理））已知定义域为R的函数f(x)满足f(－x)＝－f(x＋4)，且函数f(x)在区间(2，＋∞)上单调递增，如果x1<2<x2，且x1＋x2>4，则f(x1)＋f(x2)的值（）A．可正可负 B．恒大于0 C．可能为0 D．恒小于0【答案】B【分析】首先根据条件转化为，再根据函数在区间上单调递增，将转换为，从而，都在的单调区间内，由单调性得到它们的函数值的大小，再由条件即可判断的值的符号．【详解】解：定义域为的函数满足，将换为，有，，且，，函数在区间上单调递增，，，，即，，故选：B．练.已知f(x)是定义在R上的函数，若y＝f(x＋1)为偶函数，且f(2＋x)＝－f(2－x)，则f(x)是()A．周期为2的奇函数 B．周期为4的奇函数C．周期为2的偶函数 D．周期为4的偶函数【答案】B【解析】因为y＝f(x＋1)为偶函数，所以f(x＋1)＝f(－x＋1)，即f(x＋2)＝f(－x)，又f(2＋x)＝－f(2－x)，所以f(4＋x)＝－f(－x)，所以f(4＋x)＝－f(x＋2)＝f(x)，即f(x)的周期为4；由f(2＋x)＝－f(2－x)，f(2＋x－4)＝f(2＋x)，得f(x－2)＝－f(2－x)，即有f(x)＝－f(－x)，所以f(x)为奇函数．练、（多选题）（2021·重庆巴蜀中学高三月考）已知定义在上的函数满足：是奇函数，是偶函数.则下列选项中说法正确的有（）A． B．周期为2C．的图象关于直线对称 D．是奇函数【答案】ACD【分析】由已知条件可得关于和直线对称，从而的周期，，进而可判ABC，对于D，由于关于和直线对称，可得关于对称，再结合周期可得结论【详解】由是奇函数，是偶函数，可得关于和直线对称，从而的周期，所以选项错误，选项正确；对选项：由对称性及奇函数的性质可知正确；对选项：有已知关于和直线对称，从而关于对称，又因为的周期，可得关于对称，所以是奇函数，D正确，达标测试1．（2021·黑龙江大庆实验中学）已知是上的奇函数，且满足，当时，，则等于（）A． B．2 C． D．98【答案】A【分析】依题意求得是以4为周期的函数，进而可求得结果.【详解】对任意，由是奇函数得①，由得②.由①②得，则，所以是以4为周期的函数.故.2．（2021·四川省蒲江县蒲江中学），分别是定义在上的奇函数和偶函数，当时，且，则的解集为（）A． B．C． D．【答案】A【分析】构造，易知为奇函数，在、上递减，结合已知即可求的解集.【详解】若，则，即在上递减；∵，分别是定义在上的奇函数和偶函数，∴，即为奇函数，综上，在上递减，且，∴的解集为.3．【2021河北辛集中学】已知f（x）是定义在实数集R上的偶函数，且在（0，+∞）上递增，则（）A．f（20.7）＜f（﹣log25）＜f（﹣3）B．f（﹣3）＜f（20.7）＜f（﹣log25）C．f（﹣3）＜f（﹣log25）＜f（20.7）D．f（20.7）＜f（﹣3）＜f（﹣log25）【答案】A【解析】【分析】利用f3=f-3，f-log【详解】因为fx是偶函数，故f3=f-3，f-log25=flog2【点睛】一般地，如果fx是R上偶函数，那么fx在0,+∞与-∞,0上单调性相反；如果fx是R上奇函数，那么fx4.【2021江苏省南通市】已知函数fx是定义在R上的偶函数，且对于任意的x∈fx+4=fx+f2，【答案】4【解析】【分析】令x=-2，可以求得f-2=f2=0，从而可得fx【详解】∵函数fx是定义在R上的偶函数，∴fx=f令x=-2，可得f2=f-2+f2∴fx是以4为周期的函数，∴f则f3【点睛】本题主要考查了抽象函数及其基本性质的应用，重点考查了赋值法，求得f2=05．【2021河南省信阳高级中学】若对任意的x∈