第十一章线段调和分割的性质及应用

第十一章线段调和分割的性质及应用 【基础知识】设两点、内分与外分同一线段成同一比例，即，则称点和调和分割线断，或、、、为调和点列（尤其地，若为的中点时，则为无穷远点）．若从直线外一点引射线、、、，则称该线束为调和线束，且与共轭，或与共轭．性质1如图11-1，设、、、是共线四点，点为的中点，则、调和分割线段的充要条件满足下述六个条件之一：（1）点、调和分割；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．证明（1）由、调和分割．（2）．（3）．（4）．（5）．（6）．性质2（调和点列的角元形式）设、、、是共线四点，过共点直线外一点引射线，，，．令，，，则的充要条件．证明如图11-2，运用三角形正弦定理，有，，，．于是，．从而，故．性质3设、、、是共线四点，过共点直线外一点引射线、、、，则、调和分割线段充要条件是满足下述两个条件之一：（1）其中一射线的任一平行线被其他三条射线截成相等的两线段；（2）另一直线分别交射线、、、于点，，，时，点，调和分割线段．证明（1）如图11-2，不失一般性，设过点作交设线于，交射线于．注意，有．（2）不失一般性，过点作交射线于，交射线于．为的中点注意，知为的中点，调和分割线段．注（2）也可应用性质2来证．性质4如图11-3，对线段的内分点和外分点，以及直线外一点，给出如下四个论断：①是的平分线；②是的外角平分线；③、调和分割线段；④．以上四个论断中，任意选用两个作题设，另两个作结论构成的六个命题均为真命题．证明（1）由①、②推出③、④．此时，有，显然．（2）由①、③推出②、④．此时，可过点作，交射线于点，交射线于点，则由性质2（1）知，从而知，亦知，亦即有平分的外角．（3）由①、④推出②、③．此时，推知是的外角平分线，由此即知、调和分割线段．（4）由②、③推出①、④．此时结论是显然成立，（5）由②、④推出①、③．此时结论亦显然成立．（6）由③、④推出①、②．此时，不妨设，，由，知，．由正弦定理或共角比例定理，有，亦即有．从而知平分．此亦可推知是的外角平分线．推论1三角形的角平分线被其内心和对应的旁心调和分割．推论2不相等且外离的两圆圆心连线被两圆的外公切线交点和内公切线交点调和分割．推论3若、两点调和分割圆的直径、，则圆周上任一点到、两点的距离之比是常数．推论4从圆周上一点做两割线，将它们与圆相交的非公共的两点连线，垂直于这条直线的直径所在直线与两割线相交，则这条直径被这两割线调和分割．证明如图11-4，直径弦有，从而知平分．又，由此，即知被、调和分割，故被、调和分割．推论5一圆的直径被另一圆周调和分割的充要条件是，已知直径的圆周与过两分割点的圆周正交（即交点处的切线互相垂直）．证明如图11-5，与相交于点，过点、、为直径，且、、、共线．、调和分割．推论6设点是的内心，角平分线交边于点，射线交的外接圆于点，则射线上的点为旁心的充要条件是．证明由题设有，即为的圆心，则为的旁心（在内的）在上，且且．推论7设的内角平分线交于，交的外接圆于，则．性质5设点、调和分割线段，从以线段为弦的圆上一点引射线、分别交圆于点、，则．证明如图11-6，联结，，由性质2，知．注意到正弦定理，则上式．注（1）一般地，称对边乘积相等的圆内接四边形为调和四边形．图11-6中的四边形即为调和四边形．这条性质给出了由调和点列得调和四边形的措施．这条性质揭示了调和点列与调和四边形的关系．上述命题的逆命题也是成立的．若为调和四边形，点为弧上一点，联结、分别交于，，则、调和分割线段．（2）调和四边形也可以由下述措施得到．从圆外一点作圆的两条切线、，切点为、，引割线交圆于、，如图11-7，则由，，注意，有．故，四边形为调和四边形．此时，令交于，则由正弦定理及性质2，有．这阐明点、调和分割线段．这也揭示了调和四边形与调和点列的关系，且调和四边形一对顶点与另一对顶点处切线交点共线．于是，我们由如下结论：推论8从园外一点引的割线交于，，若割线与点的切点弦交于点，则弦别、调和分割．证明如图11-8，过作的切线，，切点为，，则为点的切点弦．连交于点，连、、、，则由，知，，，四点共圆．从而，即知为的内角的平分线．又，则由性质3知，被、调和分割．注也可这样证：过作于，为为中点，由、、、、共圆，知，从而，由性质1（4）即知、调和分割．推论9从外一点引圆的两条割线交圆于四点，以这四点为顶点的四边形的对角线相交于点，设直线交于，，则，调和分割．证明可证点在点的切点弦上，参见图11-8，即证、、共线则结论获证．设割线、分别交于、、、，又设为完全四边形的密克尔点，则由第九章性质1知，则知、、、、五点共圆．由，知，有．同理．而，则，即、，共线．性质6三角形的一边被其边上的内（旁）切圆的切点和另一点调和分割的充要条件是，另一点与其他的两个切点三点共线．证明如图11-9，设、、分别是的内（旁）切圆切、、所在直线的切点．对而言，、、共线，调和分割．同理可证、与另一点，或、与另一点的情形．注在此还须指出的是，若过两切点的直线与另一切点所在边平行，则可视为交于无穷远点．此时，结论仍然成立．推论10若凸四边形有内切圆，则一组对边上的两切点分别有关所在边的调和共轭点重叠，则另一组边上的两切点分别有关所在边的调和共轭点也重叠（、调和分割也称是有关的调和共轭点）．性质7梯形的两腰延长线的交点，两对角线的交点，调和分割两底中点的连线段．证明参见图11-10，当时，为题型，则，即、调和分割．性质8完全四边形的一条对角线被其他两条对角线调和分割．证明如图11-10，、、为完全四边形的三角线，设直线交、分别于、．若，则由性质7知，被，调和分割．下设，设直线与相交于点对及截线，及截线，及截线分别应用梅涅劳斯定理，有， ①， ②． ③由①×②÷③，得，故A被，调和分割．连接交于点，并延长交于点，则在完全四边形中，、调和分割．连，则由性质2（2）知，、调和分割，、调和分割．注（1）如图11-11，分别对及截线，及点应用梅涅劳斯定理、赛瓦定理，可证得、和分割；分别对及截线，及点应用梅涅劳斯定理、赛瓦定理，可证得、调和分割；分别对及截线，及点应用梅涅劳斯定理、赛瓦定理，可证得、调和分割．（2）若，则可看作直线与相交于无穷远点．此时，亦有，调和分割，、调和分割．推论11过完全四边形对角线所在直线的交点作另一条对角线的平行线，所作直线与平行的对角线的同一端点所在的边（或其延长线）相交，所得线段被此对角线所在直线上的交点平分．实际上，此结论可由性质3即得．此结论也可称为完全四边形的蝴蝶定理．【经典例题与基本措施】例1（1）已知圆是的内切圆，切点依次为、、，于，如图11-12．求证：（即证）．（2）如图11-13，的边外的旁切圆分别切、、或其延长线、、，于．求证：．我们将上述两个命题统一证明如下：证明设直线与的延长线交于点，则由性质6知，被、调和分割，即、、、为调和线束．而，则平分，故．例2如图11-14，凸四边形中，边、的延长线交于点，边、的延长线交于点．若，求证：．证明设直线交于，交于．在完全四边形中，被、调和分割，即、、、为调和线束，从而被、调和分割（也可直接在完全四边形中应用性质8即得），即、、、为调和线束．而，于是知平分，即．例3已知为外一点，过引的割线交于点，，且点在线段的内部．过点引的两条切线，切点分别为，．设与交于点．证明：．证法1如图11-15，由推论8知、调和分割．由性质1（3），即知有．故．证法2过圆心作于，则为的中点，易证、、、、五点共圆．则，即有，而为中点，由性质1（4）知、调和分割，故，即．例4已知的外心为，为延长线上一点，直线与有关对称，直线与有关对称，与交于点．若在延长线上运动，求的轨迹．证明如图11-16，设与于点，所在直线交于另一点，则，于是、分别是的内、外角平分线．因此，被、调和分割．此时，，平分，设交于点，则被、调和分割，从而与重叠，即、、重叠，故知与的交点的轨迹是线段内部的点．例5过锐角的顶点、、的三条高分别叫对边与点、、，过点平行于的直线分别交、于点、，交于点．证明：的外接圆过的中点．证明如图11-17，由性质8，知、调和分割．设为中点，则由性质1（4），有．又、、、四点共圆，及，有，因此，、、、四点共圆，即有．由相交弦定理的逆定理知，的外接圆过的中点．例6在中，通过点、的圆与边、的另一种交点分别为、，与交于点，与交于点，是边的中点，、不重叠．求证：、、、四点共圆．证明如图11-18，易知与不平行，设它们的延长线交于点，则、调和分割．又为中点，则．由割线定理，得，则，从而、、、四点共圆．例7如图11-19，在中，点在边上，认为直径作圆，交于点，交的延长线于点，连接，作于点，交于点，为外角的平分线．求证：．证明连接，在与中，由，知．由平分的的外角，知平分的的外角．作的平分线交于，则知、调和分割，即有．显然，、调和分割，即有，故．例8如图11-20，为的内角平分线，，点在上，满足，射线、交、于点、．证明：．证明在上取，连，，则由平分知，与有关对称，即有，亦即．又由，知．于是，，从而，．由，知平分．设直线与直线相交于点（因交平分线交成角，必相交），则由完全四边形对角线调和分割的性质，知、调和分割，即、、、为调和点列．亦即、、、为调和线束．而平分，则由性质4．例9如图11-21，过完全四边形的顶点的直线交对角线于点，交对角线于点，交于点，交于点，则．证明设两对角线、所在直线交于点（或无穷远点）．连，直线交于，交于，直线交于，交于．在完全四边形中，知被和调和分割，即知、、、为调和线束．从而知、、、为调和点列，即有．在完全四边形，别和调和分割．即知、、、为调和线束，从而、、、为调和点列，即有．故．例10如图11-22，过圆外一点引圆的三条割线、、，依次交圆于点、、、、、；弦、分别交弦于、；交于，交于，则．证明过点作圆的切线、，、为切点，则由推论9的证明知、与、的交点共线．设直线交于点，则知被、调和分割．即有．由例9知，，，．例11如图11-23，凸四边形的两组对边的延长线分别交于点、，对角线与交于点，过的直线交于，交于，直线交、的边线于点，则、、三点共线．证明延长交于．设直线与的延长线交于点，设直线与直线交于点（或无穷远点）．在完全四边形中，有、调和分割，即知、、、为调和线束．亦知、、、为调和线束，即、、、为调和点列，有．对及截线应用梅涅劳斯定理，有．于是，有．对应用赛瓦定理的逆定理即知点、、共线．【解题思维方略与分析】1．根据题设条件，灵活运用性质例12如图11-24，线段、与相切于点、，割线不过圆心，点在、之间，通过点的的切线交于点，交于点，是线段上一点，且满足，又设与交于点．求证：（1）（2）．证明（1）由于割线不过圆心，则知直线与直线必相交，设交点为．于是由性质6知，、调和分割线段．连，由，运用性质4，即知，即．又由推论10，知过点的的切线必过点，从而有，于是，和重叠．即知为中点，故．（2）由于点在点的弦点弦上，由推论8知，、调和分割．又为的中点，则由性质1（5），即有，故．注对于图11-22，我们可作出的外切四边形，由于为两双对边切点连线的交点，由牛顿定理可知，点在对角线上，也在对角线上．这四线共点可这样证明：首先证明直线、、交于点，设、分别交直线于点、，则显然．因此，易知，即有，同样可得，但，．故，从而和重叠，即直线、、交于一点．同理可证、、交于一点．因此直线、、、交于一点．例13如图11-25，凸四边形内接于，延长、交于点，延长、交于点，、交于点，直线交于．求证：．证明在射线上取一点，使得、、、四点共圆，从而、、、四点共圆．设的半径为，从点向引的切线长为，则，，上述两式相减得．因此，．同理，，即有，故．延长交于，则在完全四边形中，、调和分割，从而、、、为调和线束．而，于是平分，即．延长与直线交于（或无穷远点），则知、调和分割．同样可得，故．例14如图11-26，以锐角的边为半径作半圆交于，交于点，直线与交于点，与交于点，直线交于，连、、、．求证：．证明由题设知点为的垂心，设交于，则在完全四边形，被、调和分割，则、、、为调和线束，而，故平分，即．由、、、共圆，有，从而、、、四点共圆．于是．又，因此．例15如图11-27，设凸四边形的两组对边所在直线分别交于、两点，两对角线的交点为，过作于．求证：．证明延长交于点，在完全四边形中，有被、调和分割，即、、、为调和线束．而，则平分，即．设直线与直线相交于点（或无穷远点），在完全四边形中，知被、调和分割，即、、、为调和线束．而，则平分，即．故．例16如图11-28，的内切圆分别切三边、、于点、、，点时的一种内点，的内切圆也在点处与边相切并与、分别相切于点、．证明：是圆内接四边形．证明当与平行时，可设两直线交于无穷远点．当与不平行时，设两条线交于点，则由性质8，知被点、调和分割．从而点是延长线上的一种定点．当时，有．同理，所在直线与直线的交点也是．从而由，故知四边形是圆内接四边形．例17．在中，，它的内切圆切边于点，连接交内切圆于点（不一样于点），在线段上取异于点的一点，使得．连接并延长交于点．求证：．证明如图11-29，设内切圆切边于，切边于．设直线与直线交于点，则由性质6知被点和调和分割，且为一定点．设过点的内切圆的切线交于点，交于点，由对称知点必在直线上．又由，知．连结，则知、、、为调和线束．由性质3（1）知，有．2．创设条件，灵活运用性质例18如图11-30，、