四边形有关计算及证明（17题）

专题05四边形有关计算及证明一．选择题（共3小题）1．（2020•宜兴市校级一模）下列判断错误的是A．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形 B．对角线互相垂直平分的四边形是菱形 C．对角线相等的四边形是矩形 D．对角线互相平分的四边形是平行四边形【分析】根据正方形、菱形，矩形以及平行四边形的判定定理进行判断．【解答】解：、对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，故本选项错误；、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故本选项错误；、对角线相等的四边形不一定是矩形，例如：等腰梯形的对角线相等，故本选项正确；、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故本选项错误；故选：．2．（2020•崇川区校级模拟）如图，在矩形纸片中，，，折叠纸片使点落在边上的处，折痕为．当在边上移动时，折痕的端点，也随着移动．若限定，分别在边，上移动，则点在边上移动的最大距离为A．6 B．7 C．8 D．9【分析】分别利用当点与点重合时，以及当点与点重合时，求出的极值进而得出答案．【解答】解：如图1，当点与点重合时，根据翻折对称性可得，如图2，当点与点重合时，根据翻折对称性可得，在中，，即，解得：，所以点在上可移动的最大距离为．故选：．3．（2020•崇川区校级模拟）如图，正方形中，，是的中点．将沿对折至，延长交于点，则的长是A．1 B． C．2 D．【分析】根据翻折变换的性质和正方形的性质可证；在直角中，根据勾股定理即可求出的长．【解答】解：如图，连接，，，在和中，，，，设，则．为中点，，，在中，根据勾股定理，得：，解得．则．故选：．二．填空题（共5小题）4．（2020•海安市一模）如图，点在正方形的边上，连接，设点关于直线的对称点为点，且点在正方形内部，连接并延长交边于点，过点作交射线于点，连接．若，则的长为．【分析】过作于，则，依据△，△，即可得到，进而得到是等腰直角三角形，再根据，即可得到，再根据勾股定理进行计算即可．【解答】解：如图所示，过作于，则，点关于直线的对称点为点，，，而，△，，，，又，，△，，，又，是等腰直角三角形，，，，又，，，，，中，．故答案为：．5．（2020•启东市一模）如图，在矩形中，是的延长线上一点，连接交于点．如果，，，那么的长为．【分析】由，推出，由此即可解决问题．【解答】解：四边形是矩形，，，，，，，，，故答案为．6．（2020•灌南县一模）如图，在中，点在上，与相交于点，若，则．【分析】先由平行四边形的性质得，，从而，结合对顶角相等，可证，再利用相似三角形的性质得比例式，然后结合已知比例式求得答案．【解答】解：四边形为平行四边形，又故答案为：．7．（2020•灌南县一模）如图，点是矩形的对角线上一点，过点作交于，交于，若，，则图中阴影部分的面积为5．【分析】由矩形的性质可证明，即可求解．【解答】解：作于，延长交于．则有四边形，四边形，四边形，四边形都是矩形，，，，，，，故答案为：5．8．（2020•亭湖区校级一模）如图，在四边形中，、分别是、的中点，若，，，则．【分析】连接，根据中位线的性质得出，且，进而利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形，求解即可．【解答】解：连接，、分别是、的中点，，且，，，，，，，即，是直角三角形，且，，故答案是：．三．解答题（共9小题）9．（2020•海安市一模）已知，矩形中，，，是边上一点，连接，将沿直线翻折得．（1）如图①，点恰好在上，求证：；（2）如图②，当时，延长交边于点，求的长．【分析】（1）由折叠可得．证出．由．即可得出．（2）过点作交于点，延长交于点，则，证明，得出．由勾股定理得出，求出，得出．．由平行线的性质得出，由三角函数定义进而得出答案．【解答】（1）证明：在矩形中，．由折叠可得：．，．．在和中，，．．（2）解：过点作交于点，延长交于点，如图②所示：则，．在矩形中，．由折叠可得：，，．，．．在和中，，，．．．．在中，，，．解得：，或（舍去），．．四边形是矩形，，，，，．．10．（2020•崇川区校级一模）如图，边长为1的正方形中，点、分别在边、上，连接、、，且有．（1）求的值；（2）探究的度数是否为定值，并说明理由．【分析】（1）设，，则，，，由四边形是正方形可得出，利用勾股定理可得出，再将其代入中即可求出结论；（2）将绕点顺时针旋转得到，此时与重合，由旋转的性质结合可得出，，结合可得出，利用全等三角形的性质可得出，再结合可得出．【解答】解：（1）设，，则，，，．四边形是正方形，，，即，，；（2）的度数为定值，理由如下：如图，将绕点顺时针旋转得到，此时与重合．由旋转，可得：，，，，，，点、、在同一条直线上．，，．在和中，，，，又，，．11．（2020•锡山区一模）如图，在中，点、分别是、的中点，分别连接、、．（1）求证：；（2）若四边形是菱形，求的度数．【分析】（1）根据平行四边形的性质和已知条件证明即可；（2）由菱形的性质可得：，因为，所以，问题得解．【解答】（1）证明：四边形是平行四边形，，，．点、分别是、的中点，，．．在与中，，．（2）解：四边形是菱形，．．，．．，．12．（2020•宜兴市校级一模）如图，中，为的中点，直线、相交于点．连接、．（1）求证：；（2）若，求证：四边形是菱形．【分析】（1）由平行四边形的性质和已知条件得出，，由证明即可证得结论；（2）由全等三角形的性质得出，证出四边形是平行四边形，再由，即可得出结论．【解答】（1）证明：四边形为平行四边形，．点在的延长线上，．．是中点，．在和中，，；（2）证明：，．，，四边形是平行四边形．，四边形是菱形．13．（2020•无锡一模）如图，在中，是边上的中线，是的中点，过点作的平行线交的延长线于点，连接．（1）求证：；（2）若，试判断四边形的形状，并说明理由．【分析】（1）欲证明，只要证明即可．（2）结论：四边形是矩形．只要证明四边形是平行四边形，再证明根据三线合一证明即可解决问题．【解答】证明：（1），，是的中点，在和中，，（2）结论：边形是矩形．理由：是边上的中线又四边形是平行四边形，，，四边形是矩形．14．（2020•灌南县一模）折叠矩形，使点落在边上的点处．（1）求证：；（2）若，，求矩形的面积．【分析】（1）根据相似三角形的性质与判定即可求出答案．（2）由折叠性质，得，．设，则，在中，，从而可求出的值，根据，可知，所以，最后根据矩形的面积即可求出答案．【解答】（1）证明：矩形中，．．由折叠性质，得．．．；（2）解：由折叠性质，得，．设，则，在中，，．解得．由（1）得，．．．．15．（2020•灌南县一模）如图，矩形对角线相交于点，，，连接．（1）求证：四边形是菱形；（2）若，，求和的值．【分析】（1）根据菱形的判定证明即可；（2）作交延长线于点，根据菱形的性质和三角函数解答即可．【解答】解：（1），，四边形是平行四边形四边形是矩形，，四边形是菱形，（2）菱形、均为等边三角形作交延长线于点，，，．16．（2020•亭湖区校级一模）将平行四边形纸片按如图方式折叠，使点与重合，点落到处，折痕为．（1）求证：△；（2）连接，判断四边形是什么特殊四边形？证明你的结论．【分析】（1）根据平行四边形的性质及折叠的性质我们可以得到，，，从而利用判定△；（2）四边形是菱形，我们可以运用菱形的判定，有一组邻边相等的平行四边形是菱形来进行验证．【解答】（1）证明：由折叠可知：，，．四边形是平行四边形，，，．，，，即．．在和△中△．（2）解：四边形是菱形．证明：由折叠可知：，．四边形是平行四边形，．．．．，．又，四边形是平行四边形．又，平行四边形是菱形．17．（2020•高邮市