数学人教A版必修4问题导学2.3.3平面向量的坐标运算

2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示2.3.3平面向量的坐标运算问题导学一、平面向量及点的坐标表示活动与探究1已知A(－2,1)，B(1,3)，求线段AB的中点M和三等分点P，Q的坐标．迁移与应用1．已知两点A(1,0)，B(1，eq\r(3))，O为坐标原点，点C在第二象限，且∠AOC＝120°，设＝－2＋λ(λ∈R)，则λ等于()A．－1B．2C．1D．－2．已知点M(5，－6)和向量a＝(1，－2)，若＝－3a，则点N的坐标为()A．(2,0)B．(－3,6)C．(6,2)D．(－2,0)对于向量坐标的线性运算，关键是掌握向量的线性运算法则及坐标运算的特点，要充分理解向量坐标运算中点的坐标与向量的坐标之间的关系．事实上，当点O为坐标原点时，向量与终点P的坐标是相同的．二、平面向量的坐标运算活动与探究2已知点A，B，C的坐标分别为A(2，－4)，B(0,6)，C(－8,10)，求向量＋2－eq\f(1,2)的坐标．迁移与应用1．已知a＝(－2,3)，b＝(1,5)，则3a＋b等于(A．(－5,14)B．(5,14)C．(7,4)D．(5,9)2．在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，＝(2,4)，＝(1,3)，则＝()A．(2,4)B．(3,5)C．(－1，－1)D．(－2，－4)向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行．若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标．三、用基底表示的坐标运算活动与探究3已知A(1，－2)，B(2,1)，C(3,2)和D(－2,3)，以，为一组基底来表示＋＋．迁移与应用已知a＝(10，－4)，b＝(3,1)，c＝(－2,3)，试用b，c表示a．用基底a，b表示指定向量p时，可由平面向量基本定理设p＝λa＋μb，然后借助于坐标运算列方程(组)求解待定的系数．当堂检测1．已知A(1,3)，B(2,1)，则的坐标是()A．(－1,2)B．(2，－1)C．(1，－2)D．(－2,1)2．已知平面向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，则向量eq\f(1,2)a－eq\f(3,2)b＝()A．(－2，－1)B．(－2,1)C．(－1,0)D．(－1,2)3．若向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，c＝(－1,2)，则c＝()A．－eq\f(1,2)a＋eq\f(3,2)bB．eq\f(1,2)a－eq\f(3,2)bC．eq\f(3,2)a－eq\f(1,2)bD．－eq\f(3,2)a＋eq\f(1,2)b4．已知向量a＝(1,2)，b＝(2,3)，c＝(3,4)，且c＝λ1a＋λ2b，则λ1＋λ2＝__________5．已知平行四边形OABC，其中O为坐标原点，若A(2,1)，B(1,3)，则点C的坐标为__________．提示：用最精炼的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记．答案：课前预习导学【预习导引】1．两个互相垂直2．(x，y)(x，y)预习交流1提示：i＝(1,0)，j＝(0,1)，0＝(0,0)．3．(x1＋x2，y1＋y2)(x1－x2，y1－y2)相应坐标的和(差)(λx，λy)相应坐标(x2－x1，y2－y1)终点起点预习交流2提示：与x轴平行的向量的纵坐标为0，即a＝(x,0)；与y轴平行的向量的横坐标为0，即b＝(0，y)．课堂合作探究【问题导学】活动与探究1思路分析：可先求出，利用向量加法的法则，求出向量，，进而得到P，Q，M点的坐标．解：∵＝－＝(1,3)－(－2,1)＝(3,2)，∴＝eq\f(1,2)(＋＝eq\f(1,2)[(－2,1)＋(1,3)]＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，2))，＝＋＝＋eq\f(1,3)＝(－2,1)＋eq\f(1,3)(3,2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(5,3)))，＝＋＝＋eq\f(2,3)＝(－2,1)＋eq\f(2,3)(3,2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(7,3)))．∴Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，2))，Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(5,3)))，Qeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(7,3)))．迁移与应用1．C解析：设||＝r(r＞0)且点C的坐标为(x，y)，则由∠AOC＝120°，得x＝rcos120°＝－eq\f(1,2)r，y＝rsin120°＝eq\f(\r(3),2)r．即点C的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)r，\f(\r(3),2)r))．又∵－2＋λ，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)r，\f(\r(3),2)r))＝－2(1,0)＋λ(1，eq\r(3))＝(－2＋λ，eq\r(3)λ)．∴解得2．A解析：＝－3a＝－3(1，－2)＝(－3,6)，设N(x，y)，＝(x－5，y＋6)＝(－3,6)．∴即故选A．活动与探究2思路分析：由点A，B，C的坐标，求出，，的坐标，再利用向量的加法、减法、实数与向量的积的坐标运算求解．解：由A(2，－4)，B(0,6)，C(－8,10)，得＝(－2,10)，＝(－8,4)，＝(－10,14)，∴＋2－eq\f(1,2)＝(－2,10)＋2(－8,4)－eq\f(1,2)(－10,14)＝(－2,10)＋(－16,8)－(－5,7)＝(－13,11)．迁移与应用1．A解析：3a＋b＝(－6,9)＋(1,5)＝(－5,14)2．C解析：∵＝＋，∴＝－＝(1,3)－(2,4)＝(－1，－1)．活动与探究3思路分析：设＋＋＝m＋n，由坐标运算求待定的m，n．解：∵＝(1,3)，＝(2,4)，＝(－3,5)，＝(－4,2)，＝(－5,1)，∴＋＋＝(－3,5)＋(－4,2)＋(－5,1)＝(－12,8)．根据平面向量基本定理，一定存在实数m，n，使得＋＋＝m＋n，∴(－12,8)＝m(1,3)＋n(2,4)，即(－12,8)＝(m＋2n,3m＋4n)．可得解得∴＋＋＝32－22．迁移与应用解：设a＝λb＋μc(λ，μ∈R)，则(10，－4)＝λ(3,1)＋μ(－2,3)＝(3λ，λ)＋(－2μ，3μ)＝(3λ－2μ，λ＋3μ)．依题意，得解得所以a＝2b－2c【当堂检测】1．A解析：∵一个向量的坐标等于终点坐标减去始点坐标，∴＝(1,3)－(2,1)＝(－1,2)，故选A．2．D解析：eq\f(1,2)a－eq\f(3,2)b＝eq\f(1,2)(1,1)－eq\f(3,2)(1，－1)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，－\f(3,2)))＝(－1,2)．故选D．3．B解析：由题意，设c＝xa＋yb，∴(－1,2