2024届物理一轮复习讲义专题强化五 有约束条件的平抛运动含答案

2024届物理一轮复习讲义专题强化五有约束条件的平抛运动学习目标1.会分析平抛运动与斜面、圆弧面结合的约束条件，并根据约束条件求解相关问题。2.会处理平抛运动的临界、极值问题。考点一与斜面或圆弧面有关的平抛运动角度与斜面有关的平抛运动1.顺着斜面平抛(如图1)图1处理方法：分解位移。x＝v0t，y＝eq\f(1,2)gt2tanθ＝eq\f(y,x)可求得t＝eq\f(2v0tanθ,g)。2.对着斜面平抛(垂直打到斜面上，如图2)图2处理方法：分解速度。vx＝v0，vy＝gttanθ＝eq\f(vx,vy)＝eq\f(v0,gt)可求得t＝eq\f(v0,gtanθ)。例1(2023·湖南长沙模拟)如图3，在倾角为α的斜面顶端，将小球以v0的初速度水平向左抛出，经过一定时间小球发生第一次撞击。自小球抛出至第一次撞击过程中小球水平方向的位移为x，忽略空气阻力，则下列图像正确的是()图3答案D解析小球落在斜面上时，小球位移方向与水平方向夹角为α，则有tanα＝eq\f(y,x)＝eq\f(gt,2v0)，则水平位移x＝v0t＝eq\f(2tanα,g)veq\o\al(2,0)∝veq\o\al(2,0)；小球落在水平面上时，小球飞行时间恒定，水平位移正比于v0，故D正确，A、B、C错误。例2如图4所示，斜面倾角为θ＝30°，在斜面上方某点处，先让小球(可视为质点)自由下落，从释放到落到斜面上所用时间为t1，再让小球在该点水平抛出，小球刚好能垂直打在斜面上，运动的时间为t2，不计空气阻力，则eq\f(t1,t2)为()图4A.eq\f(\r(2),1) B.eq\f(\r(3),\r(2)) C.eq\f(\r(3),2) D.eq\f(\r(5),\r(3))答案D解析设小球水平抛出的初速度为v0，则打到斜面上时，速度沿竖直方向的分速度vy＝eq\f(v0,tanθ)＝gt2，水平位移x＝v0t2，抛出点离斜面的高度h＝eq\f(veq\o\al(2,y),2g)＋xtanθ＝eq\f(veq\o\al(2,0),2gtan2θ)＋eq\f(veq\o\al(2,0),g)＝eq\f(5veq\o\al(2,0),2g)，又h＝eq\f(1,2)gteq\o\al(2,1)，解得t2＝eq\f(\r(3)v0,g)，t1＝eq\f(\r(5)v0,g)，则eq\f(t1,t2)＝eq\f(\r(5),\r(3))，D正确。跟踪训练1.(2022·重庆高三模拟)如图5所示，将一小球从A点以某一初速度水平拋出，小球恰好落到斜面底端B点；若在B点正上方与A等高的C点将小球以相同大小的初速度水平抛出，小球落在斜面上的D点，A、B、C、D在同一竖直面上，则eq\f(AD,AB)为()图5A.eq\f(1,2) B.eq\f(\r(2),2) C.eq\f(\r(2)－1,2) D.eq\f(3－\r(5),2)答案D解析如图，设A、B之间高度差为h，C、D之间高度差为h′，则h＝eq\f(1,2)gteq\o\al(2,1)，h′＝eq\f(1,2)gteq\o\al(2,2)，可得t1＝eq\r(\f(2h,g))，t2＝eq\r(\f(2h′,g))，斜面倾角的正切值tanθ＝eq\f(h,v0t1)＝eq\f(h－h′,v0t2)，解得h′＝eq\f(3－\r(5),2)h，所以eq\f(AD,AB)＝eq\f(h′,h)＝eq\f(3－\r(5),2)，故D正确，A、B、C错误。角度与圆弧面有关的平抛运动1.从圆弧形轨道处平抛，恰好无碰撞地进入圆弧形轨道，如图所示，即已知速度方向沿该点圆弧的切线方向。处理方法：分解速度tanθ＝eq\f(vy,v0)＝eq\f(gt,v0)。2.从圆心处或与圆心等高圆弧上抛出，落到半径为R的圆弧上。情景处理方法x＝v0ty＝eq\f(1,2)gt2x2＋y2＝R水平方向：R±eq\r(R2－h2)＝v0t竖直方向：h＝eq\f(1,2)gt2例3如图6所示，科考队员站在半径为10m的半圆形陨石坑(直径水平)边，沿水平方向向坑中抛出一石子(视为质点)，石子在坑中的落点P和圆心O的连线与水平方向的夹角为37°，已知石子的抛出点在半圆形陨石坑左端的正上方，且到半圆形陨石坑左端的高度为1.2m。取sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，重力加速度大小g＝10m/s2，不计空气阻力。则石子抛出时的速度大小为()图6A.9m/s B.12m/sC.15m/s D.18m/s答案C解析由题意可知，石子竖直方向的位移为h＝h1＋Rsin37°，根据公式可得h＝eq\f(1,2)gt2，代入数据解得t＝1.2s。石子水平方向的位移为x＝R＋Rcos37°，又x＝v0t，代入数据可得石子抛出时的速度大小为v0＝15m/s，故C正确。跟踪训练2.(2023·山东模拟预测)如图7所示，在水平放置的半径为R的圆柱体的正上方的P点将一小球以水平速度v0沿垂直于圆柱体的轴线方向抛出，小球飞行一段时间后恰好从圆柱体的Q点沿切线飞过，测得O、Q连线与竖直方向的夹角为θ，那么小球完成这段飞行的时间是()图7A.eq\f(v0,gtanθ) B.eq\f(gtanθ,v0) C.eq\f(Rsinθ,v0) D.eq\f(Rcosθ,v0)答案C解析根据几何关系可知，水平速度与末速度的夹角为θ，则有tanθ＝eq\f(vy,v0)，解得vy＝v0tanθ，根据vy＝gt，解得t＝eq\f(v0tanθ,g)，A、B错误；在水平方向有Rsinθ＝v0t，解得t＝eq\f(Rsinθ,v0)，D错误，C正确。考点二平抛运动的临界和极值问题1.平抛运动的临界问题有两种常见情形(1)物体的最大位移、最小位移、最大初速度、最小初速度。(2)物体的速度方向恰好达到某一方向。2.解题技巧：在题中找出有关临界问题的关键字，如“恰好不出界”“刚好飞过壕沟”“速度方向恰好与斜面平行”“速度方向与圆周相切”等，然后利用平抛运动对应的位移规律或速度规律进行解题。例4如图8所示，窗子上、下沿间的高度H＝1.6m，竖直墙的厚度d＝0.4m，某人在距离墙壁L＝1.4m、距窗子上沿h＝0.2m处的P点，将可视为质点的小物件以垂直于墙壁的速度v水平抛出，要求小物件能直接穿过窗口并落在水平地面上，不计空气阻力，g＝10m/s2。则可以实现上述要求的速度大小是()图8A.2m/s B.4m/s C.8m/s D.10m/s答案B解析小物件做平抛运动，恰好擦着窗子上沿右侧墙边缘穿过时速度v最大此时有L＝vmaxt1，h＝eq\f(1,2)gteq\o\al(2,1)代入数据解得vmax＝7m/s小物件恰好擦着窗口下沿左侧墙边缘穿过时速度v最小，则有L＋d＝vmint2，H＋h＝eq\f(1,2)gteq\o\al(2,2)代入数据解得vmin＝3m/s，故v的取值范围是3m/s≤v≤7m/s，故B正确，A、C、D错误。跟踪训练3.如图9所示，容量足够大的圆筒竖直放置，水面高度为h，在圆筒侧壁开一个小孔P，筒内的水从小孔水平射出，设水到达地面时的落点距小孔的水平距离为x，小孔P到水面的距离为y。短时间内可认为筒内水位不变，重力加速度为g，不计空气阻力，在这段时间内，下列说法正确的是()图9A.水从小孔P射出的速度大小为eq\r(gy)B.y越小，则x越大C.x与小孔的位置无关D.当y＝eq\f(h,2)时，x最大，最大值为h答案D解析取水面上质量为m的水滴，从小孔喷出时，由机械能守恒定律可知mgy＝eq\f(1,2)mv2，解得v＝eq\r(2gy)，A错误；水从小孔P射出时做平抛运动，则x＝vt，h－y＝eq\f(1,2)gt2，解得x＝veq\r(\f(2（h－y）,g))＝2eq\r(y（h－y）)，可知x与小孔的位置有关，由数学知识可知，当y＝h－y，即y＝eq\f(1,2)h时，x最大，最大值为h，并不是y越小x越大，D正确，B、C错误。A级基础对点练对点练1与斜面或圆弧面有关的平抛运动1.(2023·河北衡水模拟)如图1甲所示，足够长的斜面AB固定放置，一小球以不同初速度v0从斜面A点水平抛出，落在斜面上的位置离A点距离为s，得到s－v02图线如图乙所示，若图乙的斜率为k，不计空气阻力，则k等于()图1A.eq\f(2tanθ,gcosθ) B.eq\f(tanθ,2gcosθ)C.eq\f(2cosθ,gtanθ) D.eq\f(cosθ,2gtanθ)答案A解析根据平抛运动的规律可得scosθ＝v0t，ssinθ＝eq\f(1,2)gt2，得到s＝eq\f(2tanθ,gcosθ)veq\o\al(2,0)，则k＝eq\f(2tanθ,gcosθ)，故A正确。2.(多选)如图2，小球在倾角为θ的斜面上方O点处以速度v0水平抛出，落在斜面上的A点时速度的方向与斜面垂直，重力加速度为g，根据上述条件可以求出()图2A.小球由O点到A点的时间B.O点距离地面的高度C.小球在A点速度的大小D.小球从O点到A点的水平距离答案ACD解析小球速度方向与斜面垂直，根据平行四边形定则知tanθ＝eq\f(v0,gt)，故t＝eq\f(v0,gtanθ)，选项A正确；由时间t可根据h＝eq\f(1,2)gt2求得小球下降高度，但计算不出O点离地面的高度，选项B错误；由平行四边形定则知vA＝eq\f(v0,sinθ)，选项C正确；小球从O点到A点的水平距离x＝v0t＝eq\f(veq\o\al(2,0),gtanθ)，选项D正确。3.如图3所示，B为竖直圆轨道的左端点，它和圆心O的连线与竖直方向的夹角为α。一小球在圆轨道左侧的A点以速度v0水平抛出，恰好沿B点的切线方向进入圆轨道。已知重力加速度为g，不计空气阻力，则A、B之间的水平距离为()图3A.eq\f(veq\o\al(2,0)tanα,g) B.eq\f(2veq\o\al(2,0)tanα,g)C.eq\f(veq\o\al(2,0),gtanα) D.eq\f(2veq\o\al(2,0),gtanα)答案A解析由小球恰好沿B点的切线方向进入圆轨道可知，小球在B点时的速度方向与水平方向的夹角为α。由tanα＝eq\f(gt,v0)，x＝v0t，联立解得A、B之间的水平距离为x＝eq\f(veq\o\al(2,0)tanα,g)，选项A正确。4.如图4所示，P是水平面上的圆弧凹槽，从高台边B点以某速度v0水平飞出的小球，恰能从固定在某位置的凹槽的圆弧轨迹的左端A点沿圆弧切线方向进入轨道，O是圆弧的圆心，θ1是OA与竖直方向的夹角，θ2是BA与竖直方向的夹角，则()图4A.eq\f(tanθ2,tanθ1)＝2 B.eq\f(1,tanθ1tanθ2)＝2C.tanθ1tanθ2＝2 D.eq\f(tanθ,tanθ2)＝2答案C解析由题意知，速度方向与水平方向的夹角为θ1，则tanθ1＝eq\f(vy,v0)＝eq\f(gt,v0)，位移方向与竖直方向的夹角为θ2，则tanθ2＝eq\f(x,y)＝eq\f(v0t,\f(1,2)gt2)＝eq\f(2v0,gt)，所以tanθ1tanθ2＝2，所以C正确。对点练2平抛运动的临界与极值问题5.如图5所示，一圆柱形容器高为L，底部直径也为L，一小球离地高为2L，球到容器左侧的水平距离也为L，现将小球水平抛出，要使小球直接落在容器底部，小球抛出的初速度大小范围为()图5A.eq\r(\f(1,2)gL)＜v＜2eq\r(\f(1,2)gL)B.eq\r(\f(1,2)gL)＜v＜eq\r(gL)C.eq\f(1,2)eq\r(gL)＜v＜eq\r(gL)D.eq\r(\f(1,2)gL)＜v＜eq\r(\f(3,2)gL)答案B解析要使小球直接落在容器的底部，设最小初速度为v1，则有2L－L＝eq\f(1,2)gteq\o\al(2,1)，v1＝eq\f(L,t1)，联立解得v1＝eq\r(\f(1,2)gL)，设最大速度为v2，则有2L＝eq\f(1,2)gteq\o\al(2,2)，v2＝eq\f(2L,t2)，联立解得v2＝eq\r(gL)，因此小球抛出的初速度大小范围为eq\r(\f(1,2)gL)＜v＜eq\r(gL)，故B正确。6.某科技比赛中，参赛者设计了一个轨道模型，如图6所示。模型放到0.8m高的水平桌子上，最高点距离水平地面2m，右端出口水平。现让小球在最高点由静止释放，忽略阻力作用，为使小球飞得最远，右端出口距离桌面的高度应设计为()图6A.0 B.0.1m C.0.2m D.0.3m答案C解析小球从最高点到右端出口，满足机械能守恒，有mg(H－h)＝eq\f(1,2)mv2，从右端出口飞出后小球做平抛运动，有x＝vt，h＝eq\f(1,2)gt2，联立解得x＝2eq\r(（H－h）h)，根据数学知识知，当H－h＝h时，x最大，即h＝1m时，小球飞得最远，此时右端出口距离桌面高度为Δh＝1m－0.8m＝0.2m，故C正确。7.(2022·陕西宝鸡市高三模拟)如图7所示，猴子在地面与竖直墙壁之间跳跃玩耍，直杆AB与水平地面之间的夹角为45°，A点到地面的距离为5m，已知重力加速度g取10m/s2，空气阻力不计，若猴子从竖直墙上距地面3.2m的C点以水平速度v0跳出，要到达直杆，水平速度v0至少为()图7A.3m/s B.4m/s C.5m/s D.6m/s答案D解析运动轨迹与杆相切时如图所示，AC之间的距离为5m－3.2m＝1.8m，由图可知x＝y＋1.8m，根据平抛运动规律有x＝v0t，y＝eq\f(1,2)gt2，平抛运动的轨迹与直杆相切，则v0tan45°＝gt，解得v0＝6m/s，故D正确。8.如图8所示是排球场的场地示意图，设排球场的总长为L，前场区的长度为eq\f(L,6)，网高为h，在排球比赛中，对运动员的弹跳水平要求很高。如果运动员的弹跳水平不高，运动员的击球点的高度小于某个临界值H，那么无论水平击球的速度多大，排球不是触网就是越界。设某一次运动员站在前场区和后场区的交界处，正对网前竖直跳起垂直网将排球水平击出，关于该种情况下临界值H的大小，下列关系式正确的是()图8A.H＝eq\f(49,48)h B.H＝eq\f(16（L＋h）,15L)hC.H＝eq\f(16,15)h D.H＝eq\f(L＋h,L)h答案C解析将排球水平击出后排球做平抛运动，排球刚好触网到达底线时，有eq\f(L,6)＝v0eq\r(\f(2（H－h）,g))，eq\f(L,6)＋eq\f(L,2)＝v0eq\r(\f(2H,g))，联立解得H＝eq\f(16,15)h，故选项C正确。B级综合提升练9.如图9所示，长木板AB倾斜放置，板面与水平方向的夹角为θ，从B端以大小为v0的初速度水平向左抛出一个小球，小球能打在板面上，小球做平抛运动的水平位移为x，打在板面上时速度大小为v，当θ变小后，让小球仍从B端以相同的初速度水平抛出，则()图9A.x变小，v变小 B.x变小，v变大C.x变大，v变大 D.x不变，v不变答案A解析小球抛出后做平抛运动落在倾角为θ的木板上，有x＝v0t，h＝eq\f(1,2)gt2，tanθ＝eq\f(h,x)，联立解得t＝eq\f(2v0tanθ,g)，x＝eq\f(2veq\o\al(2,0),g)tanθ，v0不变，当θ变小时，x变小；又由v＝eq\r(veq\o\al(2,x)＋veq\o\al(2,y))＝eq\r(veq\o\al(2,0)＋4veq\o\al(2,0)tan2θ)知，当θ变小时，v变小，故A正确。10.如图10，两小球P、Q从同一高度分别以v1和v2的初速度水平抛出，都落在了倾角θ＝53°的斜面上的A点，其中小球P垂直打到斜面上，已知sin53°＝0.8，cos53°＝0.6。则v1、v2大小之比为()图10A.2∶1 B.3∶2 C.9∶16 D.32∶9答案D解析两小球抛出后都做平抛运动，两球从同一高度抛出落到同一点，两球在竖直方向上的位移相等，小球在竖直方向上都做自由落体运动，由t＝eq\r(\f(2h,g))可知，两球的运动时间相等，对Q球，有tan53°＝eq\f(y,x)＝eq\f(\f(1,2)gt2,v2t)＝eq\f(gt,2v2)，解得v2＝eq\f(3gt,8)，球P垂直打在斜面上，则有v1＝vytan53°＝gttan53°＝eq\f(4gt,3)，所以eq\f(v1,v2)＝eq\f(32,9)，A、B、C错误，D正确。11.(多选)如图11所示，一半径为R的圆环固定于竖直平面内，圆心为O。现从圆环上距离圆心O竖直高度为0.5R的A点以水平初速度v0向右抛出一个质量为m的小球，一段时间后，小球落在圆环上的B点(图中未画出)；当v0大小不同时，小球的落点B也不同。重力加速度为g，不计空气阻力，小球可视为质点。以下说法正确的是()图11A.当v0大小不同时，小球从A点运动到B点的时间可能相同B.当v0＝eq\r(gR)时，小球可以经过O点C.当v0＝eq\f(\r(6gR),2)时，A、B两点位于一条直径上D.当v0＝eq\f(\r(gR),2)时，小球从A到B的运动过程中速度变化量最大答案ACD解析当v0大小不同时，小球的落点B可能位于同一水平面上，所以运动时间可能相同，故A正确；运动过程中经过O点，满足eq\f(R,2)＝eq\f(1,2)gt2，eq\f(\r(3)R,2)＝v0t，解得v0＝eq