人教B版（2023）必修第一册《第二章 等式与不等式》单元测试（word含解析）

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一、单选题（本大题共8小题，共40分）

1.（5分）已知，，，则的最小值是

A.B.C.D.

2.（5分）已知函数，，若对于，，使得，则的取值范围是

A.B.

C.D.

3.（5分）已知实数，，且，则的最小值为

A.B.C.D.

4.（5分）设，且，则下列不等式正确的是

A.B.C.D.

5.（5分）已知，则的取值范围是

A.B.C.D.

6.（5分）已知函数，且，则

A.B.C.D.

7.（5分）在中，已知，，，则等于

A.B.C.D.

8.（5分）若集合，，则

A.B.C.D.

二、多选题（本大题共5小题，共25分）

9.（5分）若，则下列不等式中正确的是

A.B.

C.D.

10.（5分）下列不等式正确的有

A.B.C.D.

11.（5分）下列说法正确的是

A.若，，则B.若，，则

C.若，则D.函数的最小值是

12.（5分）下列说法正确的有

A.若，则B.若，则

C.若，则D.若，则

13.（5分）下列说法正确的是

A.若且，则B.若且，则

C.若，则D.若，，则

三、填空题（本大题共5小题，共25分）

14.（5分）已知，，则的最小值是______.

15.（5分）比较大小______．

16.（5分）已知，，且，则的最大值为______．

17.（5分）已知恒成立，则实数的最大值为．

18.（5分）不等式对恒成立，则的取值范围是______．

四、解答题（本大题共5小题，共60分）

19.（12分）已知函数．

若，求不等式的解集；

若函数的最小值为，求实数的值．

20.（12分）已知定义域为的函数，是奇函数．

求，的值；

判断单调性并证明；

若，不等式恒成立，求的取值范围．

21.（12分）已知关于的不等式的解集为．

求实数，的值；

解关于的不等式：为常数．

22.（12分）已知关于的不等式的解集是，或，求不等式的解集．

已知是关于的不等式的解集，且中的一个元素是，求实数的取值范围，并用表示出该不等式的解集．

23.（12分）已知函数，．

若关于的不等式的解集为，求的值；

解关于的不等式．

答案和解析

1.【答案】A;

【解析】

此题主要考查基本不等式的性质与对数的运算，注意基本不等式常见的变形形式与运用，如本题中，的代换．

由对数的运算性质，，结合题意可得，，进而由基本不等式的性质可得最小值.

解：，

又由，

则，

进而由基本不等式可得，

，当且仅当时等号成立.

则的最小值是，

故选

2.【答案】A;

【解析】解：，，

令，则，

则，，

因为在上单调递减，在上单调递增，

所以，又，，

所以，

所以，，

因为对于，，使得，

所以，，

函数，，图象开口向上，对称轴，

当，即时，则，解得；

当时，则，解得；

当时，则，解得；

当时，则，解得

综上可得，的取值范围是

故选：

求出的最值，由题意可得，，由二次函数的图象与性质，对分类讨论，求出的最值，列不等式组，即可求解的取值范围．

此题主要考查函数恒成立问题，考查分类讨论思想与转化思想的运用，考查运算求解能力，属于中档题．

3.【答案】B;

【解析】解：实数，，且，

可得，

则当且仅当时取等号．

则的最小值为；

故选：．

利用“乘法”与基本不等式的性质即可得出．

该题考查了“乘法”与基本不等式的性质，属于基础题．

4.【答案】D;

【解析】解：，且，，

．

故选：．

利用不等式的基本性质即可得出．

该题考查了不等式的基本性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

5.【答案】D;

【解析】解：由题意，，得，且，．

，

那么：

当且仅当时取等号．

的取值范围是，

故选：．

化简构造基本不等式的性质即可得出．

该题考查了“对数的运算”和构造基本不等式的性质的运用，属于基础题．

6.【答案】C;

【解析】由题意知化简得解得所以，所以，解得故选

7.【答案】C;

【解析】解：由正弦定理可知，

，

故选C

由和的度数分别求出和的值，再由的值，利用正弦定理即可求出的值．

这道题主要考查了正弦定理的应用．正弦定理常用来运用：：：：解决边角之间的转换关系，利用正弦定理是解三角形问题常用的方法，故应熟练记忆．

8.【答案】D;

【解析】解：集合，

可得或；．

可知：．

故选：．

利用不等式的解法求出集合，函数的值域求解集合，然后判断两个集合的关系．

该题考查函数值域的求法，不等式的解法，集合的关系，是基本知识的考查．

9.【答案】ABD;

【解析】

此题主要考查不等式性质，基本不等式，属基础题.

由已知条件可得，利用不等式的性质，逐一分析各选项，从而确定正确答案．

解：，

对，，，即正确；

对，，，，，即正确；

对，，由上可知，，

即错误；

对，、同号且，、均为正．即正确．

故选：

10.【答案】ACD;

【解析】解：构造函数，导数为，

当时，，单调递增，当时，，单调递减，

可得当时，取得最大值

，

由可得，故正确，

，由，

可得，故错误，

由可推导出，

即，，，

，显然成立，故正确，

，

由的最大值为，故正确．

故选：

构造函数，利用导数分析其单调性，然后由，，，得出每个选项的正误．

此题主要考查了构造函数，利用函数的单调性比较大小，解答该题的关键是函数的构造和自变量的选择，属于较难题．

11.【答案】BC;

【解析】解：若，则与的大小关系不确定，因此不正确；

B.若，根据在上单调递增，则，又，则，正确；

C.若，则，正确；

D.函数，但是等号取不到，因此不正确．

故选：

A.若，则与的大小关系不确定，即可判断出正误；

B.由，根据在上单调递增，结合不等式的基本性质即可判断出正误；

C.若，根据不等式的基本性质即可判断出正误；

D.利用基本不等式即可判断出正误．

此题主要考查了不等式的基本性质、基本不等式、函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

12.【答案】BD;

【解析】解：对于，当时，，故A错误；

对于，若，左右两端同时乘以，可得，故B正确；

对于，若，则，故C错误；

对于，若，显然，故D正确．

故选：．

由不等式的基本性质逐一判断即可．

这道题主要考查不等式的基本性质，属于基础题．

13.【答案】BD;

【解析】解：对于，若且，则，故，故A错误；

对于，若，则，又，则，故B正确；

对于，若，则，则，即，故C错误；

对于，若，，则，则，所以，故D正确．

故选：．

由不等式的基本性质逐一判断即可．

这道题主要考查不等式的基本性质，属于基础题．

14.【答案】3;

【解析】

此题主要考查了利用基本不等式求最值，结合题干条件利用基本不等式研究最小值即可.

解：，

由题意得，，，

当且仅当即等号成立，

所以的最小值是，

故答案为

15.【答案】＜;

【解析】解：因为为增函数，且，

所以小，

故答案为：

根据函数单调性即可比较．

该题考查了指数函数的单调性，属于基础题

16.【答案】1;

【解析】解：知，，且，

，

即．

当且仅当，即，时，取等号．

，

即最大值为．

故答案为：．

利用基本不等式先求出的范围，再根据对数的运算性质进行化简即可求得最大值，注意等号成立的条件．

这道题主要考查了函数的最值及其几何意义，最值问题是函数常考的知识点，属于基础题．

17.【答案】10;

【解析】

试题分析：由于，由基本不等式得，即，

，由于恒成立，只需，，，实数的最大值为

考点：基本不等式的应用．

18.【答案】或;

【解析】

这道题主要考查了函数的恒成立问题求解参数的取值，解题关键是由已知不等式构造关于的一次函数，体现了转化与化归思想的应用，属于中档题．

由于已知的范围，考虑构造关于的一次函数令，由在恒成立，结合一次函数的单调性可转化为，解不等式即可．

解：令，，

由题意可得在恒成立，结合一次函数的单调性可得：

即，

解不等式可得或，

故答案为：或

19.【答案】解：（1）当a=1时，f（x）=2|x+1|+|x-1|=，

当x≥1时，3x+1≥5，即x≥，∴x≥；

当-1＜x＜1时，x+3≥5，即x≥2，此时x无实数解；

当x≤-1时，-3x-1≥5，即x≤-2，∴x≤-2．

综上所述，不等式的解集为{x|x≤-2，或x≥}．

（2）当a=-1时，f（x）=3|x+1|最小值为0，不符合题意，

当a＞-1时，f（x）=，

∴f（x）min=f（-1）=1+a=3，此时a=2；

当a＜-1时，f（x）=，

∴f（x）min=f（-1）=-1-a=3，此时a=-4．

综上所述，a=2或a=-4;

【解析】

把写成分段函数的形式，分类讨论，分别求得不等式的解集，综合可得结论．

分当时、当时、当时三种情况，分别求得的值，综合可得结论．

这道题主要考查带有绝对值的函数，分段函数的应用，体现了分类讨论数学思想，属于中档题

20.【答案】解：（1）由于定义域为R的函数是奇函数，

则即，解得，

即有f（x）=，经检验成立；

（2）f（x）在（-∞，+∞）上是减函数．

证明：设任意＜，

f（）-f（）=-=，

由于＜，则2＜2，即有＞0，

则有f（）＞f（），

故f（x）在（-∞，+∞）上是减函数；

（3）不等式f（+2）+f（2-kt）＜0，

由奇函数f（x）得到f（-x）=-f（x），

f（2-kt）＜-f（2+）=f（--2），

再由f（x）在（-∞，+∞）上是减函数，

则2-kt＞--2，即有3-kt+2＞0对t∈[-1，4]恒成立，

当t=0时，2＞0，显然成立；

当0＜t≤4时，k＜=3t+，

3t+≥2，当且仅当t=时，取得等号，

则k＜2；

当-1≤t＜0时，k＞=3t+，

又3t+=-[（-3t）+]≤-2，

当且仅当t=-∈[-1，0）时，取得等号，

则k＞-2；

综上可得k的范围是（-2，2）．;

【解析】

由奇函数的条件可得，且，解方程即可得到，；

运用单调性的定义，结合指数函数的单调性，即可得证；

不等式，由奇函数得到，可得，再由单调性，即可得到对恒成立，由参数分离和基本不等式求得最值，可得所求范围．

此题主要考查函数的性质和运用，主要是函数的奇偶性和单调性的判断和运用，以及函数恒成立问题解法，考查运算能力，属于中档题．

21.【答案】解：（1）由题意知1，b为关于x的方程a-3x+2=0的两根，

则，∴a=1，b=2．

（2）不等式等价于（x-c）（x-2）＞0，

所以：当c＞2时解集为{x|x＞c或x＜2}；

当c=2时解集为{x|x≠2，x∈R}；

当c＜2时解集为{x|x＞2或x＜c}．;

【解析】

由题意知，为关于的方程的两根，由韦达定理可得方程组，解出即可；

不等式等价于，按照对应方程的根、的大小关系分三种情况讨论可得；

该题考查一元二次不等式的解法，属基础题，深刻理解“三个二次”间的关系是解题关键．

22.【答案】解：（1）关于x的不等式a+bx+c＜0的解集是{x|x＜-2，或x＞-}，

∴a＜0，且方程a+bx+c=0的两实数根为-2和-，

由根与系数的关系知，；

解得=，=1；

∴不等式a-bx+c＞0可化为-x+1＜0，

解得＜x＜2，

∴所求不等式的解集为（，2）；

（2）根据题意，把x=0代入不等式2+（3a-7）x+3+a-2＜0，

得3+a-2＜0，

即2-a-3＞0，

解得a＜-1或a＞；

∴实数a的取值范围是（-∞，-1）∪（，+∞）；

二次不等式对应的方程为2+（3a-7）x+（3+a-2）=0，

其两根为3-2a，a+，

当a＜-1时，3-2a＞a+，

∴不等式2+（3a-7）x+（3+a-2）＜0的解集为{x|a+＜x＜3-2a}；

当a＞时，3-2a＜a+，

∴不等式2+（3a-7）x+（3+a-2）＜0的解集为{x|3-2a＜x＜a+}．;

【解析】

不等式的解集得出，且对应方程的两实数根，利用根与系数的关系求出和的值，再化不等式，从而求出它的解集；

代入不等式，求出的取值范围；再求对应二次不等式的解集．

该题考查了二次不等式的解法与应用问题，也考查了分类讨论的数学思想方法，是中档题．

23.【答案】解：（1）函数f（x）=-ax-a-1，不等式f（x）≤0化为-ax-a-1≤0，

因为不等式f（x）≤0的解集为[-1，2]，所以方程-ax-a-1=0的根为-1和2，

所以，解得a=1．

（2）由-ax-a-1=0，得（x-a-1）（x+1）=0，

所以方程的两根为x=a+1或x=-1．

当a+1＞-1时，即a＞-2时，不