七年级数学上册专题12 一元一次方程的实际应用(人教版)(解析版)

/专题12一元一次方程实际应用【思维导图】一元一次方程解决实际问题的一般步骤列方程解应用题的基本思路为：问题方程解答．由此可得解决此类题的一般步骤为：审、设、列、解、检验、答．备注：（1）“审”是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，以及它们之间的关系，寻找等量关系；（2）“设”就是设未知数，一般求什么就设什么为x，但有时也可以间接设未知数；（3）“列”就是列方程，即列代数式表示相等关系中的各个量，列出方程，同时注意方程两边是同一类量，单位要统一；（4）“解”就是解方程，求出未知数的值．（5）“检验”就是指检验方程的解是否符合实际意义，当有不符合的解时，及时指出，舍去即可；（6）“答”就是写出答案，注意单位要写清楚．◎考点题型1配套问题例．（2022·四川广元·七年级期末）有一所寄宿制学校，开学安排宿舍时，如果每间宿舍安排住4人，就会空出5间宿舍；如果每间宿舍安排住3人，就有100人没床位，那么在学校住宿的学生有多少人？设在学校住宿的学生有x人，根据题意可列方程为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】根据宿舍间数一定即可列出方程．【详解】解：根据题意得：故选：A．【点睛】本题考查了一元一次方程的实际应用，理解题意，找准等量关系，列出方程是解决本题的关键．变式1．（2022·福建三明·模拟预测）用200张彩纸制作圆柱，每张彩纸可制作圆柱侧面20个或底面60个，一个圆柱侧面与两个底面组成一个圆柱．为使制作的圆柱侧面和底面正好配套，设把x张彩纸制作圆柱侧面，则方程可列为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】根据题意列出一元一次方程求解即可．【详解】解：设把x张彩纸制作圆柱侧面，则有（200-x）张纸作圆柱底面，根据题意可得：，故选：D．【点睛】题目主要考查一元一次方程的应用，理解题意，列出方程是解题关键．变式2．（2022·辽宁阜新·七年级期末）某服装厂要生产同一种型号的服装，已知3m长的布料可做上衣2件或裤子3条，一件上衣和一条裤子为一套．(1)列一元一次方程解决问题：现库内存有布料200m，应如何分配布料做上衣和做裤子才能恰好配套？可以生产多少套衣服？(2)如果恰好有这种布料327m，最多可以生产多少套衣服？本着不浪费的原则，如果有剩余，余料可以做几件上衣或裤子？【答案】(1)用120米布做上衣，80米布做裤子才能恰好配套，可以生产80套衣服(2)布料327m，最多可以生产130套衣服，余料可以做1件上衣或2条裤子【解析】【分析】（1）设做上衣的布料用x米，则做裤子的布料用

(200-x)米，根据3米长的某种布料可做上衣2

件或裤子3条，得出做上衣与裤子所用的布料关

系，进而得出方程求解即可；（2）由已知先求出一套衣服用料2.5米，用327÷2.5＝130...2，再根据本着不浪费的原则

可以得出结论．(1)解：设做上衣用x米布，则做裤子用（200-x）米布，依题意有：，解得：x=120，则：200-x=80，答：用120米布做上衣，80米布做裤子才能恰好配套，可以生产80套衣服．(2)∵做一件上衣用米布，做一条裤子用1米布，∴一套服装用2.5米布，3272.5=130剩余2米布，∴布料327米，最多可以生产130套衣服，余料可以做1件上衣或2条裤子．【点睛】本题主要考查的是一元一次方程应用题中的配套问题，根据题意列出对应的方程是解题的关键．变式3．（2021·山东烟台·期末）列方程解应用题某啤酒公司的啤酒车间先将散装啤酒灌装成瓶装啤酒，再将瓶装啤酒装箱出车间．该车间有灌装、装箱生产线共21条，每条灌装生产线每小时装350瓶，每条装箱生产线每小时装450瓶．某日，生产前车间内已有未装箱的瓶装啤酒5200瓶，8:00开始，车间内的生产线全部投入生产．(1)若当日到10:00时，该车间内未装箱的瓶装啤酒达到5500瓶.设灌装生产线有x条，当日到10:00时，灌装生产线共装多少瓶啤酒（用含x的代数式表示）？该车间内灌装生产线有多少条？(2)若该日车间工作8小时，灌装生产线设计多少条时？该日车间内的瓶装啤酒恰好全部装箱？【答案】(1)灌装生产线共装（350×2x）瓶啤酒，灌装生产线有12条；(2)灌装生产线设计13条时，该日车间内的瓶装啤酒恰好全部装箱．【解析】【分析】（1）灌装生产线2小时共装（350×2x）瓶啤酒，根据题意列一元一次方程，求解即可；（2）设灌装生产线设计y条时，该日车间内的瓶装啤酒恰好全部装箱，根据题意列一元一次方程，求解即可．(1)解：当日到10:00时，灌装生产线共装（350×2x）瓶啤酒，根据题意，得5200+350×2x=450×2（21-x）+5500，解这个方程，得：x=12答：灌装生产线共装（350×2x）瓶啤酒，灌装生产线有12条；(2)解：设灌装生产线设计y条时，该日车间内的瓶装啤酒恰好全部装箱，根据题意，得5200＋350×8y=450×8（21-y），解这个方程，得：y=11．答：灌装生产线设计11条时，该日车间内的瓶装啤酒恰好全部装箱．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．◎考点题型2工程问题如果题目没有明确指明总工作量，一般把总工作量设为1．基本关系式：（1）总工作量=工作效率×工作时间；（2）总工作量=各单位工作量之和．例．（2022·山东济宁·七年级期末）一项工程由甲工程队单独完成需要12天，由乙工程队单独完成需要16天．甲工程队单独施工5天后，为加快工程进度，又抽调乙工程队加入该工程施工，问还需多少天可以完成该工程？如果设还需x天可以完成该工程，则可列方程为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】设还需x天可以完成该工程，该工程为单位1，根据题意可得，甲施工（x+5）天+乙施工x天的工作量=单位1，据此列方程．【详解】解：设还需x天可以完成该工程，由题意得，．故选：A．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程．变式1．（2022·福建三明·七年级期末）某车间原计划用15小时生产一批零件，实际每小时多生产了10件，用了13小时不但完成了任务，而且还多生产了80件，设原计划每小时生产个零件，那么下列方程正确的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】根据题意可得等量关系用了13小时不但完成了任务，而且还多生产了80件列出方程解答即可．【详解】解：设原计划每小时生产x个零件，依题意可得：13（x+10）=15x+80，故选：D．【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，然后再列出方程．变式2．（2022·河南三门峡·七年级期末）整理一批快递，如果由一个人单独做要用20小时，现先安排一部分人用1小时整理，随后又增加4人和他们一起做了2小时，恰好完成整理工作，假设每个人的工作效率相同，那么应先安排多少人整理这批快递？【答案】应先安排4人整理这批快递【解析】【分析】设应先安排x人整理这批快递，根据等量关系式：开始x人1小时的工作量+后来（x+4）人2小时的工作量=1，列出方程，解方程即可．【详解】解：设应先安排x人整理这批快递，依题意得：解得，

答：应先安排4人整理这批快递．【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．此题用到的公式是：工作效率×工作时间=工作量．变式3．（2023·江苏·七年级专题练习）在防疫政策的指导下，疫情得到了全面控制某医疗器械厂计划在规定时间内完成一批防护服的生产任务，如果每天生产防护服300套，那么就比原计划生产任务少生产100套；如果每天生产350套，那么可提前一天完成任务，并且还超过原计划生产任务50套，求这批防护服原计划生产任务是多少？【答案】3100套【解析】【分析】设这批防护服原计划生产任为x套，根据完成的时间关系列出等量关系式即可．【详解】解：设这批防护服原计划生产任为x套，依题意得：，解得：x＝3100，答：这批防护服原计划生产任为3100套．【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用，解答的关键是理解清楚题意找到等量关系．◎考点题型3销售盈亏问题（1）(2)标价＝成本(或进价)×(1＋利润率)(3)实际售价＝标价×打折率(4)利润＝售价－成本(或进价)＝成本×利润率注意：“商品利润＝售价－成本”中的右边为正时，是盈利；当右边为负时，就是亏损.打几折就是按标价的十分之几或百分之几十销售．例．（2022·河北保定·七年级期末）一件上衣标价为225元，若以标价的八折（即标价的80%）出售，仍可获利20%，则该件上衣的进价为（

）元．A．140 B．150 C．160 D．180【答案】B【解析】【分析】设这件上衣的进价为x元，根据利润=销售价格-进价，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．【详解】解：设这件上衣的进价为x元，依题意，得：225×0.8-x=20%x，解得：x=150．故选：B．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．变式1．（2022·广东·汕头市金平区金园实验中学七年级期末）某商店以120元一件购进一批上衣，提价25%后出售，以8折售出，则在这次买卖中每件上衣（

）A．赚了5元 B．赚了13元 C．赔了9元 D．不赔不赚【答案】D【解析】【分析】根据公式计算出打折后的售价，与进价进行比较，即可判断．【详解】售价：（元）利润：120-120=0（元）所以不赔不赚，故选D．【点睛】本题考查了打折销售的应用题，计算出售价是本题的关键．变式2．（2022·河南驻马店·七年级期末）某超市用4900元购进甲、乙两种商品，且购买乙种商品的数量比甲种商品数量的2倍还多10件．甲、乙两种商品的进价和标价如表：甲乙进价（元/件）3422标价（元/件）5035(1)该超市购进甲、乙两种商品各多少件？(2)若甲商品打9折销售，乙商品打8折销售，这批商品全部售完可获利多少元？【答案】(1)该超市购进甲种商品60件，购进乙种商品130件(2)这批商品全部售完可获利1440元【解析】【分析】（1）设该超市购进甲种商品x件，则购进乙种商品（2x+10）件，根据总价=单价×数量，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．（2）利用总利润=每件的销售利润×销售数量，即可求出结论．（1）设该超市购进甲种商品x件，则购进乙种商品（2x+10）件，依题意得：22（2x+10）+34x＝4900，解得：x＝60．2×60+10＝130，答：该超市购进甲种商品60件，购进乙种商品130件；（2）（50×0.9﹣34）×60+（35×0.8﹣22）×130＝11×60+6×130＝1440（元）．答：这批商品全部售完可获利1440元．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）利用总利润=每件的销售利润×销售数量，求出总利润．变式3．（2022·广东·汕头市金平区金园实验中学七年级期末）某市两超市在元旦节期间分别推出如下促销方式：甲超市：全场均按八八折优惠；乙超市：购物不超过200元，不给于优惠；超过了200元而不超过500元一律打九折；超过500元时，其中的500元打九折，超过500元的部分打八折；已知两家超市相同商品的标价都一样．(1)当一次性购物总额是400元时，甲、乙两家超市实付款分别是多少？(2)某顾客在乙超市购物实际付款482元，试问该顾客的选择划算吗？试说明理由．【答案】(1)甲超市实付款是352元、乙超市实付款是360元(2)该顾客的选择不划算【解析】【分析】（1）根据甲乙两超市的促销方式代入计算即可；（2）根据计算可得该顾客原购物金额超过500元，设原购物金额为未知数，根据乙超市的促销方式列方程即可求得，再将求出的金额用甲超市促销方式进行计算后比较，即可判断．（1）解：由题意可知，一次性购物总额是400元时：甲超市实付款：400×0.88=352（元），乙超市实付款：400×0.9=360（元），答：甲超市实付款是352元、乙超市实付款是360元．（2）解：∵500×0.9=450（元），450＜482，∴该顾客购物实际金额多于500元，设该顾客购物金额为y元，由题意得：500×0.9+0.8（y-500）=482，解得：y=540，若顾客在甲超市购物，则实际付款金额为：540×0.88=475.2元，475.2元＜482元，答：该顾客的选择不划算．【点睛】本题考查一元一次方程的实际应用，为常见基础题型，在做题时要把握清楚题目中描述的促销方式．◎考点题型4比赛积分问题例．（2022·陕西咸阳·七年级期末）某校举办班级篮球比赛，每场比赛都要决出胜负，每队胜一场得2分，负一场得1分．如果七年级（1）班在8场比赛中共得13分，设获胜的场数是x场，则可列方程为（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】【分析】根据题意，找出等量关系式：胜场分数+负场分数=13，列出方程，得出结论．【详解】解：等量关系式：胜场分数+负场分数=13，由题意，得，故选：C．【点睛】本题考查一元一次方程的实际问题，根据题意找到等量关系式是解决问题的关键．变式1．（2021·河南安阳·七年级开学考试）在一次数学抢答竞赛中，共有20道题，规定每答对一道得10分、答错一道扣5分，奋斗组最后得分是155分．那么，奋斗组共答错了（

）道题A．3 B．6 C．9 D．17【答案】A【解析】【分析】设答错x道，则答对(20-x)道，列出方程-5x+10(20-x)=155求解即可．【详解】解：设答错x道，则答对(20-x)道，由题意可得：-5x+10(20-x)=155，解得x=3，故奋斗组在这次比赛中共答错3道题，故选：A．【点睛】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是找到等量关系，列出等式．变式2．（2022·新疆克拉玛依·七年级期末）利用二元一次方程组解应用题：为有效落实双减工作，切实做到减负提质，很多学校高度重视学生的体育锻炼，并不定期举行体育比赛．已知在一次足球比赛中，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，某队在已赛的11场比赛中保持连续不败，共得25分，求该队获胜的场数．【答案】该队获胜7场【解析】【分析】设该队获胜x场，则平（11−x）场，利用总得分＝3×获胜场次数＋1×平的场次数，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．【详解】解：设该队获胜x场，则平（11−x）场，依题意得：3x＋（11−x）＝25，解得：x＝7，∴11−x＝11−7＝4，答：该队获胜7场．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．变式3．（2022·浙江绍兴·八年级期末）为增强同学们垃圾分类意识，某学校举行了垃圾分类知识竞赛，一共有25道题，满分100分，每一题答对得4分，答错扣1分，不答得0分．(1)若某参赛同学只有1道题没有作答，最后他的总得分为86分，则该参赛同学一共答对了多少道题？(2)若规定参赛者每道题都必须作答且总得分大于或等于90分才可以被评为“垃圾分类小达人”，则参赛者至少需答对多少道题才能被评为“垃圾分类小达人”？【答案】(1)该参赛同学一共答对了22道题(2)参赛者至少需答对23道题才能被评为“垃圾分类小达人”【解析】【分析】（1）设该参赛同学一共答对了x道题，根据题意列出相应的方程，然后求解即可；（2）设参赛者需答对a道题才能被评为“垃圾分类小达人”，根据题意列出不等式，然后求解即可．（1）解：设该参赛同学一共答对了x道题，则答错了25﹣x﹣1＝（24﹣x）道题，由题意可得：4x﹣（24﹣x）×1＝86，解得x＝22，答：该参赛同学一共答对了22道题；（2）解：设参赛者需答对a道题才能被评为“垃圾分类小达人”，由题意可得：4a﹣（25﹣a）≥90，解得a≥23，答：参赛者至少需答对23道题才能被评为“垃圾分类小达人”．【点睛】本题考查一元一次方程的应用、一元一次不等式的应用，详解本题的关键是明确题意，写出相应的方程和不等式．◎考点题型5方案选择问题选择设计方案的一般步骤：（1）运用一元一次方程解应用题的方法求解两种方案值相等的情况．（2）用特殊值试探法选择方案，取小于（或大于）一元一次方程解的值，比较两种方案的优劣性后下结论．例．（2021·江苏苏州·七年级期末）商店将标价为6元的笔记本，采用如下方式进行促销；若购买不超过3本，则按原价付款；若一次性购买3本以上，则超过的部分打七折．小明有54元钱，他购买笔记本的数量是（）A．11本 B．最少11本 C．最多11本 D．最多12本【答案】C【解析】【分析】易得54元可购买的商品一定超过了3本，关系式为：3×原价+超过3本的本数×打折后的价格≤54，把相关数值代入计算求得最大的正整数解即可．【详解】解答：解：设他购买笔记本的数量是x本，依题意有3×6+（x﹣3）×6×0.7≤54，解得x≤．故他购买笔记本的数量是最多11本．故选：C．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意列出一元一次方程不等式即可．变式1．（2022·云南文山·七年级期末）某班参加“3.12”植树活动，若每人植棵树，则余棵树；若每人植棵树，则差棵树，求该班有多少名学生？若设该班有名学生，则可列方程是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】根据题意找出等量关系列出方程即可得到答案.【详解】解：∵若每人植2棵树，则余21棵树；若每人植3棵树，则差24棵树∴2x+21=3x-24故选D.【点睛】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，解题的关键在于能够根据题意准确找到等量关系求解.变式2．（2022·山东潍坊·八年级期末）某校开展校园艺术节系列活动，派小明到文体超市购买若干个文具袋作为奖品．这种文具袋标价每个10元，请认真阅读结账时老板与小明的对话：(1)结合两人的对话内容，求小明原计划购买文具袋多少个？(2)学校决定，再次购买钢笔和签字笔共60支作为补充奖品，两次购买奖品总支出不超过500元．其中钢笔标价每支10元，签字笔标价每支6元，经过沟通，这次老板给予8折优惠，那么小明最多可购买钢笔多少支？【答案】(1)17个(2)18支【解析】【分析】（1）设小明原计划购买文具袋x个，则实际购买文具袋(x+1)个，根据实际打折后比原计划少花17元，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；（2）设小明购买m支钢笔，则购买(60－m)支签字笔，利用总价=单价×数量，结合两次购买奖品总支出不超过500元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，再取其中的最大整数值即可得出结论．（1）解：设小明原计划购买文具袋x个，则实际购买了（）个，依题意得：，解得：．答：小明原计划购买文具袋17个．故答案为：17个（2）解：设小明购买钢笔m支，则购买签字笔（）支，依题意得：，解得：，∵m是正整数，∴m最大值为18．答：小明最多可购买钢笔18支．故答案为：18支【点睛】本题考查了一元一次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．变式3．（2022·湖北孝感·七年级期末）一种商品按销售量分三部分制定销售单价，如下表：销售量单价不超过100件的部分3元/件超过100件不超过200件的部分2.5元/件超过200件的部分2元/件如购买120件这种商品，则需100×3＋（120－100）×2.5＝350（元）(1)求购买100件、200件和260件这种商品，分别需要多少元？(2)某人购买这种商品花了400元，求他购买了这种商品多少件？(3)若某人花了n（n＞0）元，恰好购买了件这种商品，求n的值．【答案】(1)购买100件需要300元，购买200件需要550元，购买260件需要670元(2)他购买了这种商品140件(3)650【解析】【分析】（1）根据总价＝单价×数量结合表格中的数据，即可求出分别购买100件、200件、260件时花费的总钱数；（2）设他购买了这种商品x件，由可得出，根据300＋（购买件数−100）×2.5＝总钱数（400元），即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；（3）分、及三种情况，列出关于n的一元一次方程，解之即可得出结论；(1)解：购买100件商品需：（元），购买200件商品需：（元），购买260件商品需：（元）；(2)设他购买了这种商品x件，因为，所以，依题意有：，解之得：，故他购买了这种商品140件；(3)若，则，解之得：，因为n＞0，此种情况不合题意，舍去，若，则，解之得：，因为，所以此种情况不合题意，舍去，若，则，解之得：，综上所述，．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用．判断购买商品所在的范围，并能根据不同的范围计算花费是解决本题的关键．◎考点题型6数字问题已知各数位上的数字，写出两位数，三位数等这类问题一般设间接未知数，例如：若一个两位数的个位数字为a，十位数字为b，则这个两位数可以表示为10b+a．例．（2022·四川眉山·七年级期末）如图，三阶幻方中每行、每列及每条对角线上的各数和都相等，则t的值为（

）A．18 B．16 C．12 D．10【答案】A【解析】【分析】根据三阶幻方的特点，可得三阶幻方的和，根据三阶幻方的和，根据有理数的加法，可得答案．【详解】根据题意得9+t+12=12+11+16，解得t=18．故选：A．【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，解决此题的关键利用三阶幻方的特点列出方程．变式1．（2022·浙江湖州·七年级期末）数学魔术：魔术师请观众心想一个数，然后将这个数按以下步骤操作：魔术师能立刻说出观众想的那个数．小玲告诉魔术师的数是2，那么她心里想的数是（

）A．0 B． C． D．【答案】D【解析】【分析】设这个数为x，根据程序列出关于x的方程，解方程即可．【详解】解：设这个数为x，则根据题意可得：，解得：，即她心里想的数是-3，故D正确．故选：D．【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据题意列出关于x的方程，是解题的关键．变式2．（2022·河北·石家庄市第二十八中学二模）数轴上有不同两点、，点A表示的数是：2+3．

点B表示的数是：3-2．(1)若点表示的数是-1，求点表示的数；(2)若点在点的左侧，求的取值范围．【答案】(1)点B表示的数是-8(2)当x＜5时，点在点A的左侧【解析】【分析】（1）根据点A表示的数，列一元一次方程，解方程求出x的值，然后求代数式的值即可；（2）根据点在点A的左侧，列不等式3-2＜2+3，然后解不等式即可．(1)解：∵点A表示的数是-1，∴2+3=-1，解得x=-2,当x=-2时，3-2=3×（-2）-2=-6-2=-8，∴点B表示的数是-8；(2)解：∵点在点A的左侧，∴3-2＜2+3，移项得3x-2x＜3+2，合并得x＜5，∴当x＜5时，点在点A的左侧．【点睛】本题考查数轴上点表示数，一元一次方程，一元一次不等式，掌握数轴上点表示数的大小与位置关系，一元一次方程解法，一元一次不等式解法是解题关键．变式3．（2022·江苏·七年级专题练习）已知一列数2，0，﹣1．﹣．(1)求最大的数和最小的数的差；(2)若再添上一个有理数m，使得五个有理数的和为0，求m的值．【答案】(1)3；(2)m=-．【解析】【分析】（1）首先得出最大数和最小数，进而得出答案；（2）根据题意列出方程，解方程即可求解．(1)解：∵最大的数是2，最小的数是-1，∴最大的数与最小的数之差为2-（-1）=2+1=3；(2)解：根据题意得：2+0+(-1)+(-)+m=0，解得：m=-．【点睛】本题考查有理数的运算，一元一次方程的应用；熟练掌握解一元一次方程的方法和步骤是解本题的关键．◎考点题型7几何问题例．（2022·河南许昌·七年级期末）在如图所示的数轴上，，A、B两点对应的实数分别是和-1，则点C所对应的实数是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】设点所对应的实数是，根据和数轴的性质建立方程，解方程即可得．【详解】解：设点所对应的实数是，由题意得：，解得，故选：D．【点睛】本题考查了实数与数轴、一元一次方程的应用，熟练掌握数轴的性质是解题关键．变式1．（2022·辽宁大连·七年级期末）一个长方形的周长为28cm，若把它的长减少1cm，宽增加3cm，就变成一个正方形，则这个长方形的面积是（

）A．48 B．45 C．40 D．33【答案】B【解析】【分析】设这个长方形的长为xcm，宽为（14-x）cm．则根据题意列出方程组，解可得到长方形的长，进而得到正方形的边长，再计算面积即可．【详解】解：设这个长方形的长为xcm，宽为（-x）cm，即（14-x)cm，依题意得：x-1=14-x+3，解得x=9．所以-x=14-9=5（cm），故该长方形的面积=9×5=45（cm2）．故选：B．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．变式2．（2022·河南平顶山·七年级期末）如图所示，有甲、乙两个容器，甲容器盛满水，乙容器里没有水，现将甲容器中的水全部倒入乙容器，问：水会不会溢出？如果不会溢出，请你求出倒入水后乙容器中的水深；如果水会溢出，请你说明理由．（容器壁厚度忽略不计，图中数据的单位：cm）【答案】水不会溢出，理由见解析【解析】【分析】根据两个圆柱体的体积进行计算即可解答本题．【详解】解：水不会溢出．设甲容器中的水全部倒入乙容器后，乙容器中的水深，由题意，得，解得，所以甲容器中的水全部倒入乙容器后，乙容器中的水深，因为，所以水不会溢出．【点睛】本题考查圆柱体的体积，有理数的运算，关键是分别求出两个圆柱体的体积进行比较，然后再根据体积相等进行计算．变式3．（2023·江苏·七年级专题练习）用一根长为10米的铁丝围成一个长方形，若该长方形的长比宽多2米，长方形的长、宽各为多少？【答案】长是3.5米，宽是1.5米【解析】【分析】设长方形的宽为x米，则长为（x＋2）米．根据题意列一元一次方程,求出x的值即可求出长、宽的值．【详解】设长方形的宽为x米，则长为（x＋2）米．由题意可列出方程，，解得x=1.5，则x+2=3.5．答：这个长方形的长是3.5米，宽是1.5米．【点睛】本题考查了列一元一次方程解应用题，正确的列方程是解题的关键．◎考点题型8和差倍分问题（1）基本量及关系：增长量＝原有量×增长率，现有量＝原有量+增长量，现有量＝原有量-降低量．（2）寻找相等关系：抓住关键词列方程，常见的关键词有：多、少、和、差、不足、剩余以及倍，增长率等．例．（2022·黑龙江黑河·七年级期末）逊克县中小学校的第二课堂活动开展的有声有色．某校合唱团30人，舞蹈队20人要共同外出表演，现根据演出需要，从舞蹈队中抽调了部分同学参加合唱团，使合唱团的人数恰好是舞蹈队人数的4倍．设从舞蹈队中抽调了x人参加合唱团，可列方程为（

）．A．4（30﹣x）＝20＋x B．30＋x＝4（20﹣x）C．30﹣4x＝20＋x D．30﹣x＝4（20﹣x）【答案】B【解析】【分析】设从舞蹈队中抽调了x人参加合唱团，根据“合唱团的人数恰好是舞蹈队人数的4倍”列出一元一次方程即可求解．【详解】解：设从舞蹈队中抽调了x人参加合唱团，根据题意得，30＋x＝4（20﹣x），故选B.【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找到等量关系列出方程是解题的关键．变式1．（2022·重庆市第七中学校七年级期中）学校在举办“读书月”的活动中，将一些图书分给了七年级一班的学生阅读，如果每人分2本，则剩余15本；如果每人分3本，则还缺20本．若设该校七年级一班有学生人，则下列方程正确的是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】【分析】根据“每人分2本，则剩余15本；如果每人分3本，则还缺20本”列出一元一次方程即可．【详解】解：∵该校七年级一班有学生人，∴由题意可知，根据图书总数相等，列出方程：，故选：A．【点睛】本题考查列一元一次方程，读懂题目意思是解答本题的关键．变式2．（2022·河南郑州·七年级期末）某校组织七年级（）班学生分成甲、乙两队参加社会劳动实践，其中甲队人数是乙队人数的倍，后因劳动需要，从甲队抽调人支援乙队，这时甲队人数是乙队人数的一半，则甲、乙两队原来各有多少人？【答案】甲队有人，乙队有人【解析】【分析】设乙队有人，则甲队有人，根据“从甲队抽调人支援乙队，这时甲队人数是乙队人数的一半”列方程求解即可．【详解】解：设乙队有人，则甲队有人，根据题意的，得：，解得：，所以，答：甲队有人，乙队有人．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，列出一元一次方程是解题的关键．变式3．（2022·吉林·东北师大附中七年级期中）请根据图中提供的信息，回答下列问题：(1)分别求每个水瓶和每个水杯的钱数．(2)王老师购买了6个水瓶和20个水杯，商家打八折，求王老师花的钱数．【答案】(1)一个水瓶40元，一个水杯是8元(2)王老师花的钱为320元【解析】【分析】（1）设一个水瓶x元，表示出一个水杯为（48-x）元，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果；（2）直接列式即可计算出费用．(1)设一个水瓶x元，表示出一个水杯为（48﹣x）元，根据题意得：3x+4（48﹣x）＝152，解得：x＝40，答：一个水瓶40元，一个水杯是8元；(2)由题意得：（元）．答：王老师花的钱为320元．【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，根据题意得出正确的等量关系是解题关键．◎考点题型9电费水费问题例．（2022·云南文山·七年级期末）为鼓励居民节约用水，某市对居民用水实行“阶梯收费”，规定每户每月用水量不超过10吨，水价为每吨2元；超过10吨的部分每吨3.5元．已知小莉家某月交水费34元，则小莉家该月用水多少吨？若设小莉家该月用水x吨，则可列方程为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】设小莉家该月用水x吨，根据水费的计算方法，每户每月用水量不超过10吨，水价为每吨2元，超过10吨的部分每吨3.5元，将x吨水分为两部分，10吨和超过10吨的部分，分别算出水费相加，列出关于x的方程即可．【详解】解：设小莉家该月用水x吨，根据题意得：，故D正确．故选：D．【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据题意找出等量关系，是解题的关键．变式1．（2022·山东·潍坊市寒亭区教学研究室二模）潍坊出租车采用阶梯式的计价收费办法如下表：行驶里程计费方法不超过3公里起步价8元超过3公里且不超过7公里的部分每公里按标准租费收费超过7公里且不超过25公里的部分每公里再加收标准租费的50%超过25公里且不超过100公里的部分每公里再加收标准租费的75%超过100公里的部分每公里再加收标准租费的100%说明：行驶里程不足1公里，按1公里计算；行驶里程超过3公里时的标准租费为1.8元/公里．若某人一次乘车费用为26元，那么行驶里程为（

）A．13公里 B．12公里 C．11公里 D．10公里【答案】C【解析】【分析】设行驶里程为x公里，乘车费用为26元．根据题意列出一元一次方程求解即可．【详解】解：设行驶里程为x公里，乘车费用为26元．若，根据题意得，不成立．若，根据题意得．解得（舍）．若，根据题意得．解得．若，根据题意得．解得（舍）．若时，根据题意得．解得（舍）．∴若某人一次乘车费用为26元，那么行驶里程为11公里．故选：C．【点睛】本题考查一元一次方程的实际应用，熟练掌握该知识点是解题关键．变式2．（2022·江苏·七年级专题练习）某市收取水费按以下规定：若每月每户不超过20立方米，则每立方米水价按1.2元收费；若超过20立方米，则超过部分按每立方米2元收费，那么(1)如果某户居民在某月用水x立方米，且x≤20，则所交水费为；(2)如果某户居民在某月用水x立方米，且x＞20，则所交水费为元；(3)如果某户居民在某月所交水费的平均水价为每立方米1.5元，设这户居民这个月共用了x立方米的水，请写出x的范围，并列出方程．【答案】(1)1.2x(2)（2x﹣16）元(3)x＞20，20×1.2+2（x﹣20）＝1.5x【解析】【分析】（1）根据“若每月每户不超过20立方米，则每立方米水价按1.2元收费”即可得出答案；．（2）根据题意列出代数式，化简即可得出答案；（3）根据“平均水价为每立方米1.5元”可知，用水量x＞20，根据题意列出方程即可得出结果（1）由题意得：x≤20时，所交水费为1.2x元，故答案为：1.2x；（2）由题意得：x＞20时，所交水费：20×1.2+2（x﹣20）＝（2x﹣16）元；故答案为：（2x﹣16）（3）由题意可得：x＞20，设这一月共用水x立方米，根据题意得：20×1.2+2（x﹣20）＝1.5x，化简可得2x﹣16＝1.5x，解得：x＝32．即他这一个月共用了32立方米的水．【点睛】本题考查代数式、一元一次方程，根据题意列出方程是解题的关键．变式3．（2022·浙江宁波·七年级期末）一家电信公司推出两种移动电话计费方法，如下表所示：计费方法A计费方法B每月基本服务费（元/月）58元88元每月免费通话时间（分）150分350分超出后每分钟收费（元/分）0.25元0.20元(1)若月通话时间是3小时，则使用计费方法A的用户话费为_______元，使用计费方法B的用户话费为_______元；(2)若月通话时间是x分钟（x>350），则按A、B两种计费方法的用户话费分别是多少？（用含x的代数式表示）(3)当通话时间为多长时，按A、B两种计费方法所需的用户话费相等？【答案】(1)65.5；88(2)按计费方法A的用户话费为（0.25x+20.5）元，按计费方法B的用户话费为（0.2x+18）元；(3)270分钟【解析】【分析】（1）利用使用计费方法A的用户话费=58+0.25×超过150分的时间，可求出使用计费方法A的用户话费；由3小时=180分<350分，可得出使用计费方法B的用户话费为88元；（2）利用按计费方法A的用户话费=58+0.25×超过150分的时间，即可用含x的代数式表示出按计费方法A的用户话费；利用按计费方法B的用户话费=88+0.2×超过350分的时间，即可用含x的代数式表示出按计费方法B的用户话费；（3）设当通话时间为y分钟时，然后分150<y≤350及y>350两种情况考虑，根据按A、B两种计费方法所需的用户话费相等，即可得出关于y的一元一次方程，解之即可得出结论．(1)解：依题意得：使用计费方法A的用户话费为58+0.25×（60×3-150）=65.5元，3小时=180分<350分，所以使用计费方法B的用户话费为88元．故答案为：65.5；88(2)解：依题意得：按计费方法A的用户话费为58+0.25（x-150）=（0.25x+20.5）元，按计费方法B的用户话费为88+0.2（x-350）=（0.2x+18）元；(3)解：设当通话时间为y分钟时，按A、B两种计费方法所需的用户话费相等．若150<y≤350，58+0.25（y-150）=88，解得：y=270；若y>350，0.25x+20.5=0.2x+18，解得：y=-50（不合题意，舍去）．答：当通话时间为270分钟时，按A、B两种计费方法所需的用户话费相等．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用以及列代数式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，列式计算；（2）根据各数量之间的关系，用含x的代数式表示出各数量；（3）找准等量关系，正确列出一元一次方程．◎考点题型10行程问题（1）三个基本量间的关系：路程=速度×时间（2）基本类型有：①相遇问题（或相向问题）：Ⅰ．基本量及关系：相遇路程=速度和×相遇时间Ⅱ．寻找相等关系：甲走的路程+乙走的路程＝两地距离．②追及问题：Ⅰ．基本量及关系：追及路程=速度差×追及时间Ⅱ．寻找相等关系：同地不同时出发：前者走的路程＝追者走的路程；第二，同时不同地出发：前者走的路程+两者相距距离＝追者走的路程．③航行问题：Ⅰ．基本量及关系：顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度－水流速度，顺水速度－逆水速度＝2×水速；Ⅱ．寻找相等关系：抓住两地之间距离不变、水流速度不变、船在静水中的速度不变来考虑．解此类题的关键是抓住甲、乙两物体的时间关系或所走的路程关系，并且还常常借助画草图来分析．例．（2021·湖北黄石·七年级期末）汽车以72千米/时的速度在公路上行驶，开向寂静的山谷，驾驶员按一下喇叭，4秒后听到回响，这时汽车离山谷多远？已知空气中声音的转播速度约为340米/秒．设按喇叭时，汽车离山谷x米，根据题意，可列出方程为（）A．2x+4×72＝4×340 B．2x﹣4×72＝4×340C．2x+4×20＝4×340 D．2x﹣4×20＝4×340【答案】C【解析】【分析】设听到回响时，汽车离山谷x米，首先理解题意找出题中存在的等量关系：汽车离山谷距离的2倍+汽车前进的距离=声音传播的距离，根据等量关系列方程即可．【详解】解：设汽车离山谷x米，则汽车离山谷距离的2倍即2x，因为汽车的速度是72千米/时即20米/秒，则汽车前进的距离为：4×20米/秒，声音传播的距离为：4×340米/秒，根据等量关系列方程得：2x+4×20=4×340，故选：C．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，关键是找出题目中的相等关系，列方程．变式1．（2022·河北邢台·七年级期末）某学校七年级进行一次徒步活动，带队教师和学生们以4km/h的速度从学校出发，20min后，小王骑自行车前去追赶．如果小王以12km/h的速度行驶，那么小王要用多少小时才能追上队伍？设小王要用xh才能追上队伍，那么可列出的方程是（

）A．12x＝4（x+20） B．12x＝4（+x）C．12x＝4×+x D．4x＝12（x）【答案】B【解析】【分析】由小王比队伍晚出发h，可得出小王追上队伍时队伍出发了（+x）h，利用路程=速度×时间，结合小王追上队伍时他们的路程相等，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．【详解】解：∵小王比队伍晚出发h（20min），且小王要用xh才能追上队伍，∴小王追上队伍时，队伍出发了（+x）h．依题意得：12x＝4（+x）．故选：B．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．变式2．（2022·山东潍坊·七年级期末）甲车和乙车分别从A，B两地同时出发相向而行，分别去往B地和A地，两车匀速行驶2小时相遇，相遇时甲车比乙车少走了20千米．相遇后，乙车按原速继续行驶1.8小时到达A地．(1)乙车的行驶速度是多少千米/时？(2)相遇后，甲车先以100千米/时的速度行驶了一段路程后，又以120千米/时的速度继续行驶，刚好能和乙车同时到达目的地，试求相遇后，甲车以100千米/时的速度行驶的路程和以120千米/时的速度行驶的路程各是多少千米？【答案】(1)100千米/小时(2)甲车以100千米/时的速度行驶的路程为80千米，以120千米/时的速度行驶的路程为120千米【解析】【分析】（1）设乙车速度为x千米/时，根据题意列方程求解即可；（2）设甲车以100千米/时的速度行驶的路程为m千米，则以120千米/时的速度行驶的路程为千米，根据“甲车先以100千米/时的速度行驶了一段路程后，又以120千米/时的速度继续行驶，刚好能和乙车同时到达目的地，”列方程求解即可．（1）解：设乙车速度为x千米/时，依题意得：1.8x＝2x－20，解得，答：乙车速度为100千米/小时．（2）设甲车以100千米/时的速度行驶的路程为m千米，则以120千米/时的速度行驶的路程为千米，则依题意得：解得∴（千米）答：甲车以100千米/时的速度行驶的路程为80千米，以120千米/时的速度行驶的路程为120千米．【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，列出方程是解题的关键．变式3．（2022·陕西咸阳·七年级期末）已知甲、乙两地相距80千米，小明从甲地出发，开车去乙地．小军从乙地出发，开车去甲地．若小明与小军同时出发，且小明的平均车速是每小时45千米，小军的平均车速是每小时55千米，问经过多少小时两人相遇？（请列方程并求解）【答案】方程为，经过0.8小时两人相遇【解析】【分析】设经过x小时两人相遇，根据“小明走的路程+小军走的路程=80”列出一元一次方程求解即可．【详解】解：设经过x小时两人相遇，∴列方程为：，解得：．答：经过0.8小时两人相遇．【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是正确分析出题目中的等量关系．◎考点题型11比例分配问题寻找相等关系的方法：抓住调配后甲处的数量与乙处的数量间的关系去考虑．例．（2023·福建·泉州五中三模）明代数学家程大位的《算法统宗》中有这样一个问题：“隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤.”其大意为：有一群人分银子，如果每人分七两，则剩余四两，如果每人分九两，则还差半斤（注：明代时1斤＝16两，故有“半斤八两”这个成语）．设总共有x个人，根据题意所列方程正确的是（

）A．7x-4=9x+8 B．7x+4=9x-8C． D．【答案】B【解析】【分析】直接根据题中等量关系列方程即可．【详解】解：根据题意，7x+4=9x－8，故选：B．【点睛】本题考查一元一次方程的应用，理解题意，正确列出方程是解答的关键．变式1．（2021·江苏·七年级专题练习）“和尚分馒头”问题是我国古代的数学名题之一，它出自明代数学家程大位写的《算法统宗》．书中的题目是这样的：一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚得几丁？设有小和尚人，根据题意可列方程为（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】【分析】设有小和尚人，则大和尚的人数为（）人，然后根据三个小和尚一个馒头，一个大和尚三个馒头即可列出方程．【详解】解：设有小和尚人，则大和尚的人数为（）人，由题意得，故选B．【点睛】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，解题的关键在于能够根据题意找到等量关系列方程．变式2．（2021··期中）六年级和七年级分别有192人和133人，现在需要从两个年级选出133人参加“读书节”活动，并且要使六年级，七年级剩余学生数之比为2：1，问应从六年级，七年级各选出多少人？【答案】从六年级抽出64人，从七年级抽出69【解析】【分析】总人数不变，抽出的人数加上为抽出的人数等于总人数，设未知数，由题意列出一元一次方程即可．【详解】解：设从六年级抽出x人，则应从七年级抽出（133-x），由题意得：（192-x）：[133-（133-x）]=2：1，即（192-x）：x=2：1，解得：x=64，∴133-64=69（人）．答；应从六年级抽出64人，从七年级抽出69人．【点睛】本题是一元一次方程的应用，考查的是人员调配问题，关键知道调配后的数量关系从而可列方程求解．变式3．（2022·山东泰安·期末）白菜是泰安特产之一，去年泰安白菜大丰收．某乡镇要把116吨白菜运往某市的A，B两地，用大、小两种货车共10辆，恰好能一次性运完这批白菜，已知这两种货车的载重量分别为14吨/辆和10吨/辆，求这两种货车各有多少辆？【答案】大货车用4辆．小货车用6辆【解析】【分析】设载重量为14吨的大货车x辆，根据两种车型共10辆则需要载重量为10吨的小货车为(10-x)辆，然后再根据所有车辆一共运输白菜等于116吨这个等量关系列出一元一次方程求解即可．【详解】解：设