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文档简介

#离散型随机变量的应用典例分析离散型随机变量的分布列、期望、方差是概率的自然延伸，离散型随机变量的应用题取代了传统意义的应用题，成为新高考的热点问题，这部分试题的综合性强、应用性广，对考生的基础知识、能力要求较高注意阅读能力和运算能力的训练。例1、一名博彩者，放6个白球和6个红球在一个袋子中，定下规矩：凡是愿意摸彩者，每人交1元作为手续费，然后可以一次从袋中摸出5个球，中彩情况如下表：摸5个球中彩发放奖品有5个白球1顶帽子（价值20元）恰有4个白球1张贺卡（价值2元）恰有3个白球纪念品（极值元）其它同乐一次（无任何奖品）试计算：（1）、摸一次能获得20元奖品吗（2）、按摸10000次统计，这个人能否赚钱如果赚钱。求出净赚多少钱分析：在一次摸球中，博彩者获得的收入是不确定的，故可将其作为一个随机变量，他能否赚钱，就要看该随机变量的期望是否大于0。解：（1）、摸一次能获得20元奖品的概率是p=匕=AC5 132’12（2）、如果把取到的白球作为随机变量X,则PX=5=C5=_1_PX=4=C；C6=15_PX=3=C6cC6=J0PX=2PX=1PX=0=C5132' C5 132' C5 132’12 12 1266132,所以博彩者的收入这一随机变量n（可以为负数）的分布列为：n一19一11P1155066132132132132所以收入的随机变量n的期望值为：En=-l9XA+（—1）132X史+XJ0+1X竺=132 132 132故这个人可以赚钱，且摸10000净收入的期望为4318元。点评：本题是随机变量期望的应用问题，解题的关键是正确的设出随机变量，然后求出该随机变量的所有可能的取值，在实际问题中的综合考虑问题的各种情形，如本题中既要考虑到这个人的收入，又要考虑到其支出，因此就一次摸球而言，这个人的收入情况是不确定的，有-19元，-1元，元，1元四种可能。例2、（2022全国）甲乙两对进行一场排球比赛，根据已往的经验，单局比赛甲对胜乙对的概率为，本场比赛采用五局三胜制，即先胜三局的队获胜，比赛结束，设各局比赛相互之间没有影响，令X为本场比赛的局数，求X的概率分布和数学期望。（精确到）解；单局比赛甲队胜乙队的概率为,乙对胜甲队的概率为1比赛3局结束的两种情况是：甲队胜3局或乙对胜3局，因而PX=3=0.63+0.43=0.28比赛4局结束有两种情况：前3局中甲队胜2局，第4局甲队胜；前3局中乙队胜2局，第4局乙队胜，因而PX=4=C2X0.62X0.4X0.6+C2X0.42X0.6x0.4=0.3744.33比赛5局结束的有两种情况：前4局中甲队胜2局、乙队胜2局，第5局甲队胜或乙对胜。因而PX=5=C2X0.62X0.42X0.6+C2X0.62X0.42X0.4=0.3456.44所以X的概率分布为：X345PX的期望EX=3XPX=34XPX

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