2023学年完整公开课版函数单调性

宁乡市实验中学周荣贵131函数单调性学习目标知识与技能过程与方法理解函数的单调性定义，学会运用函数图象理解和研究函数的性质．通过实例，使学生体会到函数的单调性定义，如何借助图形理解。有利于培养以形识数的解题意识．重点函数的单调性定义难点利用函数的单调性解决实际问题问题1画出f=的图像，并观察其图像。2、在区间________上，随着的增大，f的值随着______o5-5-55f(x)=x1、从左至右图象上升还是下降____上升增大1、在区间________上，f的值随着的增大而______问题2画出的图像，并观察图像.o5-5-552、在区间________上，f的值随着的增大而_____-∞,0]0,∞减小增大

对于二次函数，我们可以这样描述“在区间上，随x的增大，相应的f(x)也随着增大”.

在区间上，任取两个，得到，当时，有这时，我们就说函数在区间上是这增函数.

能否仿照前面的描述，说明函数在区间(-∞,0]上是减函数吗？

在区间(-∞,0]

上，任取两个，得到，当时，有这时，我们就说函数在区间上是这减函数.函数单调性的概念：一般地，设函数y=f的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量1，2，当1<2时，都有f1<f2，那么就说f在区间D上是增函数,如图11．增函数一般地，设函数y=f的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量1，2，当1<2时，都有f1>f2，那么就说f在区间D上是减函数,如图2yx0x1x2f(x1)f(x2)y=f(x)图1yx0x1x2f(x1)f(x2)y=f(x)图21、函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质2、必须是对于区间D内的任意两个自变量1，2；当1<2时，总有f1<f2或f1>f2分别是增函数和减函数注意：在某区间上，减函数图象下降。

增函数图象上升xyoxyo如果函数y=f在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f的单调区间函数的单调性定义1填表函数单调区间>0<0>0<0增函数减函数减函数增函数单调性函数单调区间单调性增函数增函数减函数减函数例1下图是定义在区间上的函数y=f，根据图像说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？12345-1-2-3-4-2-323o解：函数y=f的单调区间有[-4，-2，,其中y=f在区间上是增函数，在区间[-2，-1，[1，3上是减函数

例2物理学中的玻意耳定律告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减小时，压强p将增大,试用函数单调性证明之.分析：按题意就是证明函数在区间上是减函数.证明：根据单调性的定义，设V1，V2是定义域0，∞上的任意两个实数，且V1<V2，则由V1，V2∈0，∞且V1<V2，得V1V2>0,V2-V1>0又k>0,于是所以，函数是减函数.也就是说，当体积V减少时，压强p将增大.取值定号作差变形结论用定义证明函数单调性的步骤是：（1）取值（2）作差变形（3）定号（4）判断根据单调性的定义得结论

即取是该区间内的任意两个值且

即求，通过因式分解、配方、有理化等方法

即根据给定的区间和的符号的确定的符号例３求证：函数在区间上是单调增函数．，则证明：在区间（0，+∞）上任取两个值且又因为，，所以说

即函数在区间（0，+∞）上是单调增函数.探究画出反比例函数的图象．

1这个函数的定义域是什么？

2它在定义域I上的单调性怎样？证明你的结论．xy0{∣≠0}分两个区间0，∞，（-∞，0）来考虑其单调性函数f(x)=1/x在(0，+∞)上是减函数.f(x1)-f(x2)=由于x1,x2得x1x2>0,又由x1<x2得x2-x1>0所以f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2).证明：（1）在区间(0，+∞)上，设x1,x2是(0，+∞)上任意两