向量的数乘运算及其几何意义

223向量的数乘运算及其几何意义长沙市周南中学智慧教学云课堂·高一数学湖南省长沙市周南中学高一数学组知识回顾BAbaoOCa+bbaABba+ba1向量加法三角形法则:2向量加法平行四边形法则:首尾相连首尾连起点相同连对角oBAa-bab3向量减法法则:共起点，连终点，方向指向被减数-a-a-aPQMNaaaABCOa已知非零向量a，作a+a+a和(-a)+(-a)+(-a)

当λ>0时,λa的方向与a方向相同；当λ<0时,λa的方向与a方向相反；

|λa|=|λ|·|a|

一般地，我们规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘运算，记作λa。一、向量的数乘运算定义它的长度和方向规定如下：(1)长度(2)方向特别地，当λ=0或a=0时,λa=0二、向量数乘的几何意义a-3a3a几何意义：将的长度扩大（或缩小）倍，改变（或不改变）的方向，就得到了λa

|λ|aa结论:2a+2b=2(a+b)结论:

3(2a)=6a(1)根据定义，求作向量3(2a)和(6a)(a≠0)，并比较。2已知向量a,b，求作向量2ab和2a2b，并比较。=观察总结①λ(μa)=

运算律:设a、b为任意向量，λ、μ为任意实数，则有：②(λ+μ)a=

③λ(a+b)=(λμ)a

λa+μa

λa+λb（-λ）a=-(λa)=λ(-a)特别地，λ(a-b)=λa-λb结合律第一分配律第二分配律三、向量数乘运算满足的运算律：（2）对于任意的向量a,b以及任意实数λ,μ1,μ2恒有λ(μ1a±μ2b)=解:1原式=2原式=3原式=计算：口答1-3×4a23ab–2a-b-a32a3b-c–3a-2bc

(3-2-1)a+(3+2)b=5b

(2-3)a+(3+2)b+(-1-1)c=-a+5b-2c

-12aλμ1a±λμ2b牛刀小试结论：（1）向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算。例1：把下列各小题中的向量b表示为实数与向量a的积.1、如果b=λa,那么，向量a与b是否共线？

对于向量a(a≠0)、b，以及实数λ：2、如果a与b共线，那么是否有λ，使b=λa？？自主探究对于向量a(a≠0)、b，如果有一个实数λ，使得b=λa,那么，由数乘向量的定义知：向量a与b共线。当a与b同方向时，有b=μa;当a与b反方向时，有b=-μa，所以始终有一个实数λ，使b=λa。若向量a与b共线，a≠0，且向量b的长度是a的长度的μ(μ>0)倍，即有|b|=μ|a|,且四、向量共线定理向量b与非零向量a共线当且仅当有唯一一个实数λ，使得b=λa.即：思考：C五、针对性练习解：作图如右OABC依图猜想:A、B、C三点共线∴A、B、C三点共线abbbba例2、已知任意两非零向量a、b，试作OA=a+b,OB=a+2b,OC=a+3b。你能判断A、B、C三点之间的位置关系吗？为什么？∵AB=OB-OA∴

AC=2AB又

AC=OC-OA

=a+3b-(a+b)=2b

=a+2b-(a+b)=b又AB与AC有公共点A，AEDCB解：

=3AC

=3(AB+BC)∵AB+BC=AC

=3AB+3BC又AE=AD+DE∴AC与AE共线如图，已知AD=3AB、DE=3BC，试证明AC与AE共线。摇身一变例3：又AC与AE有公共点A，∴

A、C、E三点共线.定理应用变式1：如图，已知AD=3AB、AE=3AC，试证明BC和DE共线。变式：如图，已知AD=3AB、DE=3BC，试判断A、C、E三点位置关系?结论：向量共线定理可用来解决:向量共线和三点共线问题。