水利工程测量误差及数据处理知识丨

水利工程测量

第6章

测量误差及数据处理的基本知识主讲教师：高飞9/26/2023

1合肥工业大学第6章测共量土误稠差芝及较数订据损处佳理哑的绩基泽本忆知象识§度6详.暮1概叠述§锁6冒.率2测课量智误币差蛙的柳种蛮类§安6搬.暂3偶晒然姻误弄差江的汗特客性蝇及族其穴概袍率祸密艇度棒函星数§动6控.酷4衡护量险观晓测杀值浴精锐度夫的砍指雪标§它6堪.竭5误惰差但传合播偶定舰律§全6捆.寻6同淡精擦度盼直射接峡观祸测侦平斯差§时6议.镰7不凯同萍精己度纯直慎接旱观刘测型平葡差§些6件.枣8最剧小托二享乘闸法摊原柜理摸及较其红应旨用9号/效2暖4保/泰2迈0眉2编32合原肥帅工加业萝大酸学◆测确量婆与愤观完测风值◆速观乡丰测与纤观痰测翠值朵的请分逮类●观柄测破条敲件●等镇精滨度设观词测锁和怜不钞等者精熊度腿观已测●直群接握观班测着和冶间匀接狭观巧测●独碧立观子测泪和哲非幼独旬立葵观抹测§乏6疮.纽奉1测抽量捧误领差拐概械述9故/肺2啦4酸/炼2党0蓝2幅33合妇肥售工温业更大触学§谊6锈.材1测材量凳误团差命概既述◆测勿量芝误候差锻及赠其婶来达源●测东量级误艰差晋的旷来慢源（1）仪尘器叛误我差哥：仪惹器承精覆度奔的炸局佛限吐、五轴售系际残截余纸误岔差景等茎。（2）人拍为跃误乓差昏：判及断封力肾和奥分秆辨邻率言的皆限扔制烟、从经身验霞等各。（3）外驰界狱条赌件石的棵影逆响扬：温点度船变顷化躺、询风掏、较大铲气起折坐光斜等●测积量窄误愉差哪的蹲表其现妻形浑式●测巾量证误盟差鸟（看真韵误架差=观认测催值-真活值）（膛观凶测炮值忌与城真碍值锈之蚕差个）（朋观职测额值恨与秀观温测道值白之宋差拌）9蛋/你2辜4灰/柿2刷0跪2长34合扶肥骨工俯业挖大括学例幕：坐误疮差远处恳理陪方握法钢话尺恩尺感长着误款差ld计昂算茎改净正钢漆尺舰温虫度取误找差lt计谋算啦改址正水槐准颤仪松视芳准亮轴晋误霸差I操甚作夹时绣抵醒消(前竹后水视扮等袖距)经吵纬弟仪晃视我准谢轴准误钥差C操挣作态时沃抵置消(盘润左疗盘晋右魔取额平贷均)…什…便…乳…2岔.系受统欧误忌差—岸—误质差甩出错现丝式的岂大纹小呆、耳符楚号并相趟同们，边或长按规夜律捡性尼变售化侍，鼻具凉有积游累秃性。●系茶统饰误加差茧可麻以傲消僻除违或踪蝶减献弱。(计亩算宿改阔正阻、品观蛾测挪方锋法呢、今仪虏器物检否校)测酷量良误蛮差鹅分零为俱：粗理差、系简统搅误签差和偶望然蓄误男差§塞6马.匆2测剖量刻误哗差宴的泻种削类1竿.粗院差(错栋误)—镜—超探限药的症误廊差9秃/庆2婶4作/棋2挠0复2假35合塞肥弓工吓业门大痛学3屯.偶方然货误剪差—算—误侧差敬出战现距的柜大榨小朋、存符摆号重各百不痒相狮同虏，表态面化看禽无蔽规脂律安性障。例删：练估锅读橡数馒、中气骄泡颗居胆中拒判刚断监、册瞄窑准璃、雅对衰中押等孩误兔差蜡，导蝴致牲观烘测愚值纺产央生书误丝式差

。●准戚确届度(测仰量它成罪果奇与河真佛值贯的唯差卡异）●最穗或轮是绞值（塑最倚接勤近雹真荡值延的舍估程值坝，书最这可愁靠你值疤）●测际量愁平浴差（张求稳解罗最窜或库是迎值希并贞评溉定行精闲度蒙）4估.几欠个东概龄念:●精棚（育密谦）称度（寇观慰测双值岩之修间使的什离算散对程港度殃）9丈/新2撒4温/朴2简0穗2拉36合编肥升工靠业歇大泥学举缓例:在庭某泻测吊区字，眨等沙精跨度涝观闭测匹了3控5着8个东三挺角占形站的或内角威之结和否，销得重到3挖5滔8个袄三谅角然形宁闭琴合迹差

i(偶待然弃误差盐，缺也谷即淡真国误板差)，然封后塔对幸三刺角磁形妖闭验合端差艳

i进横行盐分伐析桑。分著析筛结半果覆表者明胸，当鱼观装测驶次陶数忘很轰多目时待，瓣偶绵然误附差搬的荐出仁现伟，摊呈宪现持出旋统注计竖学扎上看的拌规酬律嗽性薯。而且烦，怕观款测勉次症数虑越识多惨，墙规知律器性鉴越溉明劳显奔。§凑6过.演3偶书然游误卧差压的治特勒性9掠/甘2稼4熄/萍2箱0砖2亏37合悠肥脸工察业含大亮学9借/苦2垫4棉/咳2挥0科2蚀38合咸肥惩工艺业臭大祖学用频钱率森直咱方辨图表援示缝的韵偶遭然告误撤差帖统刘计枯：

频亩率屑直供方我图求的虑中团间舟高棵、平两年边骆低溜，着并肤向碗横暴轴行逐稀渐颈逼浇近师，对言称座于y轴适。

频遥率误直勺方叙图墙中搅，装每颗一讨条连形卖的胡面规积侵表由示疾误泛差腔出练现饼在纷该挣区间叨的赛频挖率k甲/茅n，而刃所护有碗条封形做的总背面克积乞等钻于1。

各买条芬形触顶峡边绑中朽点族连朱线匹经乖光妙滑忌后和的遇曲售线言形况状逃，堆表诊现钉出猎偶老然或误交差椅的壳普饱遍财规蜜律图6遍-贱1误青差抗统汤计庆直箱方材图9币/跟2属4卵/律2定0摧2台39合树肥答工拿业昼大村学◆从袜误侵差来统因计昂表撇和街频农率叉直阀方盏图旧中漏，注可厦以裤归外纳瞧出厕偶搞然谈误差历的四仆个泼特摊性：

特摊性(出1挠)、(司2泥)、(瓶3揭)决匪定尸了测特殊性(殿4蝇)，特标性(昏4眉)具换有患实殿用姻意想义虏。3疮.偶地然休误盯差透的坊特说性(1)在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值(有界性)；(2)绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的机会多(趋向性)；(3)绝对值相等的正误差和负误差出现的机会相等(对称性)；(4)当观测次数无限增加时，偶然误差的算术平均值趋近于零

(抵偿性)：9呜/报2尺4乐/瓣2上0垄2邀31究0合液肥芝工犁业勺大洋学

偶薄然鼠误端差醒具烟有君正握态平分元布跃的亿特脊性当忙观毛测烤次屿数n无丙限四增茂多(披n→大∞仪)、误找差胆区巩间d无挖限贱缩贸小(d

登→基0和)时牺，尸各疯矩纺形念的庆顶苹边备就滨连朋成辈一交条闹光誓滑构的镇曲趋线讽，这狠条潮曲苹线箱称馆为“正他态骗分蜘布户曲线”，酷又创称惹为“高艘斯朝误踩差吓分布家曲扑线”评。所恋以泥偶校然寄误贡差具假有正床态呢分烘布的桑特思性兼。图6猛-巡寿1误颈差景统榨计疗直窑方惧图9票/晋2僚4宰/否2显0哲2趴31交1合般肥而工携业向大扬学1注.方规差奴与弦标下准罗差

由正态分布密度函数式中、为常数；

=2.72828…x叹=

y正存态铜分互布港曲液线(殖a名=手0吗)令可：，滥上视式驰为马：§郊6桃.室4衡鉴量陪精招度仪的派指修标9慈/扭2限4盏/狡2泽0赖2颂31赖2合致肥既工艘业袍大待学

标批准羊差位的汉数乎学季意爆义

表照示玩

用的离歼散泪程匠度x帽=

y较捕小较弃大称为标准差：上式中，称为方差：9秒/爆2岛4揭/筋2缠0喘2驾31育3合羞肥悼工鞋业倡大萝学

测攻量骡工涝作浪中岩，朗用中虎误雕差作京为氧衡线量装观少测句值抓精崇度法的渔标破准晨。中辽误犹差:观锐测徒次削数面无量限道多似时裕，清用美标葬准质差避表漫示旱偶跟然挥误卧差端的冈离荐散兴情内形骨：上式中，偶然误差为观测值

与真值X之差：观测次数n有限时，用中误差m表示偶然误差的离散情形：

i=

i-

X9擦/矿2推4找/漂2饰0吵2顶31妖4合舌肥喇工偏业意大皇学9饺/殊2鸟4吃/丙2象0久2捞31背5合适肥啄工暮业澡大为学

m1小屋于m2,说竟明氧第下一邮组臭观央测墙值喘的奇误伸差伍分园布趣比投较集迅中，其精锦度迈较榴高；撒相会对宿地气，赚第狗二幕组嘴观伐测栗值勾的汤误明差虽分核布注比较离骆散验，其精酱度典较墓低标：

m1=

厅2俱.抱7畜

是恋第业一扎组漂观声测低值循的肉中品误底差亩；m2=

城3胖.掉6讲

是按第价二货组捷观搁测非值润的为中和误康差脸。9丈/唤2丈4市/击2剧0痛2杀31片6合歉肥六工遍业闪大静学2脑.容每许延误村差(极药限各误村差)

根据误差分布的密度函数，误差出现在微分区间d内的概率为：误差出现在K倍中误差区间内的概率为：

将K=1、2、3分别代入上式，可得到偶然误差分别出现在一倍、二倍、三倍中误差区间内的概率：

P(||m)=0.683=68.3P(||2m)=0.954=95.4P(||3m)=0.997=99.7

测量中，一般取两倍中误差(2m)作为容许误差，也称为限差：|容|=3|m|或|容|=2|m|9日/踩2肢4侵/启2爽0戚2骂31掏7合树肥幕工念业事大旦学3传.相底对障误湾差(相喷对触中晨误港差)—侦—误振差掏绝箱对塔值馒与肺观革测抽量送之乔比甚。

用谈于加表生示距相离的兄精泉度浓。

用弃分吓子限为1的那分最数换表碑示颤。

分爆数凶值除较茫小按相拢对树精枕度芽较牙高御；工分杆数复值摘较楼大炉相庙对戚精测度挂较名低鼓。K2<德K1，所犬以脖距抚离S2精耳度堡较傻高。例2：用钢尺丈量两段距离分别得S1=100米,m1=0.02m；S2=200米,m2=0.02m。计算S1、S2的相对误差。

0.0210.021

K1=——=——；K2=——=——

100500020010000解：9杜/换2猴4婚/蛾2老0献2惕31震8合毙肥铁工留业唱大别学一.一具般榜函农数邀的拉中假误堆差令的系数为，(c)式为：由于和是一个很小的量，可代替上式中的和：

(c)代入(b)得对(a)全微分：(b)设有函数：为独立观测值设有真误差，函数也产生真误差(a)§响6仰.跳5误葡差茫传松播扎定滥律9危/考2沾4危/唱2筋0挪2我31贴9合药肥豪工誓业锋大盾学对Z观燃测了k次盘，有k个蓬式(做d甘)对(d)式中的一个式子取平方：（i，j=1~n且i≠j）(e)对K个(e)式取总和：(f)9差/鸣2佣4镰/吩2时0象2猫32熄0合湖肥困工共业南大府学(f)(f)式两边除以K，得(g)式：(g)由治偶策然晶误掩差润的陪抵情偿降性教知还：(者g证)式省最敬后料一架项费极陈小丙于齿前前面正各言项泊，可溪忽莲略栏不穗计裕，则江：<<前面各项即(假h薪)9橡/偶2茅4棚/下2厦0睛2坚32炎1合田肥鸣工罪业无大扩学(组h鄙)考照虑宾，朽代蒸入鱼上访式役，粉得推中掌误拥差芒关潜系串式薄：(青6掩-妥1淘0申)上孩式撑为一船般暑函酷数年的填中线误爹差书公洒式，踩也窝称墙为误液差茅传嫌播蚁定队律。9驳/蜜2只4墓/顶2然0童2滤32片2合尽肥跃工蒙业酸大惕学通舟过狭以到上煮误凉差锅传恐播瞒定和律幕的嘱推害导凉，摔我馋们可拌以丈总敞结歼出求塔观律测文值凑函猫数非中限误纯差各的涨步只骤：1崖.列飘出盟函刻数乖式翁；2妄.对拐函侨数舞式笔求晒全福微适分秧；3凉.套叉用突误胜差剂传愚播救定崖律隔，偿写然出汇中征误无差轮公鞭式忘。9军/还2顶4对/杯2收0跃2烟32诱3合登肥刑工族业滥大质学1.倍数函数的中误差

设有函数式(x为观测值，K为x的系数)全微分得中误差式例：量得地形图上两点间长度=168.5mm

0.2mm,计算该两点实地距离S及其中误差ms解：列函数式求全微分中误差式二.几抹种锻常勤用枣函美数宏的然中宪误努差9重/水2站4框/标2惧0盼2倘32淡4合刺肥斥工振业逐大碎学2目.线茎性泡函古数置的柄中置误岗差设有函数式

全微分

中误差式例：设有某线性函数其中、、分别为独立观测值，它们的中误差分别为求Z的中误差。解：对上式全微分：由中误差式得：9般/盆2早4劣/鞋2帐0校2阅32满5合漏肥蹦工讲业租大宴学

函数式全微分中误差式3杰.算呈术腐平色均尾值纤的若中鹅误因差棋式由于等精度观测时，，代入上式：得由此可知，算术平均值的中误差比观测值的中误差缩小了倍。

●对最某脸观垒测榜量献进相行纳多判次筛观佳测(多魔余义观稼测)取洗平名均流，是污提膝高级观例测故成忽果特精角度标最雀有唉效槐的始方挥法缺。9被/嗽2滔4羽/位2估0芽2俗32鱼6合掏肥速工使业距大陡学4愤.和点或孤差慢函躬数刃的草中姿误踪蝶差

函数式：

全微分：

中误差式：当等精度观测时：上式可写成：例：测定A、B间的高差，共连续测了9站。设测量每站高差的中误差，求总高差的中误差。

解：

9山/详2利4写/鸦2竭0职2快32迁7合舅肥腐工透业每大穗学观慰测昏值忆函雕数趁中置误盐差尽公魔式甜汇幕总

观测值函数中误差公式汇总

函数式函数的中误差一般函数倍数函数

和差函数

线性函数

算术平均值

9鱼/搬2雷4事/标2湖0暴2粥32持8合蛾肥傲工吃业挎大处学误杨差估传宁播茂定熔律蕉的昆应济用用D观J皇6经缸纬兽仪尊观返测尚三嗓角馅形纺内始角炉时脂，颠每诊个字内云角脆观狠测4个紫测坚回谨取纽奉平练均稼，笋可鸡使裳得缺三犬角建形饰闭袋合呈差m

宗

1躬5

。例1：要求三角形最大闭合差m

15

，问用DJ6经纬仪观测三角形每个内角时须用几个测回？ƒ

=(1+2+3)-180解：由题意：2m=

15

,则m=

7.5

每个角的测角中误差：由于DJ6一测回角度中误差为：由角度测量n测回取平均值的中误差公式：9府/甜2激4麻/光2示0裂2易32鸭9合核肥变工像业及大停学误践差罗传矿播瞎定费律政的甲应灯用例2：哭试旷用型中卧误起差竞传筑播蒸定虏律编分趁析砖视扭距滔测滩量街的柄精项度瓣。解:樱(院1赌)测水量蓄水束平利距妹离累的昏精看度基侧本传公献式紧：求缎全忌微欺分矩：水浮平界距盲离贯中锋误盆差咱：其监中幅：9开/婶2忌4侧/酬2垒0喜2汉33光0合妹肥威工结业滩大舟学误滋差编传袋播五定槽律吃的敞应每用例2：庙试啄用毒中钻误弹差例传蹲播逆定仆律来分涌析矩视误距包测捧量阁的柜精井度乖。解:携(缸2室)测描量浪高垃差筋的怀精沿度基飘本阴公蚂式江：求炼全犬微鬼分啊：高晃差更中笼误逐差抄：其素中直：9吐/秀2鸭4裹/刊2平0大2阻33爬1合届肥筒工忙业负大津学误饶差百传棍播铺定缠律娱的思应具用例3洁:(凡1况)用雀钢穗尺梁丈斯量桑某恼正季方趟形蹄一禽条示边腔长页为求赶该龙正脚方草形翼的周拢长S和面叶积A的榜中白误捷差.解:傲(设1包)周陕长,(良2葛)用筹钢庙尺夹丈院量考某咸正说方瓶形芹四压条俯边浇的背边迹长送为其驼中:求客该仓正胀方怠形悲的周州长S和面杀积A的宋中犬误路差.面予积,周危长阿的农中货误遗差菊为全暑微读分:面悠积效的汗中惭误肃差踩为全督微流分:9苦/在2耽4招/震2陷0碗2则33遣2合喉肥财工疤业芹大串学解:顾(弄1拳)周搭长泰和挑面嘉积软的壶中盼误谨差迫分烛别血为例3叉:(然2细)用似钢铅尺聋丈富量帝某剩正雾方沿形功四仅条惊边锣的得边汇长币为其远中:求欠该越正指方碑形妙的周授长S和面写积A的父中康误伙差.(昂2遗)周疏长;周邀长殃的硬中裂误案差禁为面嘱积得雀周已长舍的柜中肯误祖差薪为全叉微宫分:但刊由村于9咽/朱2赔4罗/辉2通0祖2费33置3合源肥惑工薯业威大街学▓观肆测述值宾的冠算链术远平廉均挽值(最惩或懂是击值)▓用裕观正测贯值象的适改扰正剥数v计害算谋观繁测帆值住的柳中嫂误贼差(即:白恒塞拍尔筐公欧式)§捞6厦.怀6同铁（达等归）顺精血度趴直然接下观贝测格平避差9与/互2炊4特/粘2传0摸2叫33食4合酬肥河工轰业绒大派学一.观负测爬值贴的算侵术角平晒均散值(最耕或扶是狭值道、旬最豆可翁靠舍值)

证明算术平均值为该量的最或是值：

设该量的真值为X，则各观测值的真误差为

1=

1-

X

2=

2-

X

······

n=

n-

X对某未知量进行了n次观测，得n个观测值

1,2,···,n,则该量的算术平均值为：x==

1+2+···+n

nn上式等号两边分别相加得和：L轿=9堡/庸2蔑4泊/雕2柳0棚2题33轻5合寨肥菜工葬业责大浸学当观测无限多次时：

得两边除以n：由

当观星测避次员数吨无棉限冻多态时扭，共观刷测猾值罚的债算逃术怖平文均粱值忙就鞭是换该量矩的苗真绵值驾；当观偿测湿次捷数矮有筹限朵时商，山观枕测义值怜的算棵术禾平敌均值员最委接证近升真还值。醋所酷以彩，愁算铲术蕉平送均辆值爸是最佩或港是僚值脚。L≈X9衔/课2墙4茂/乐2繁0居2全33肠6合胜肥骆工婚业念大攀学观浩测客值枣改沃正吊数淡特衰点二.观览测爹值陆的杀改状正称数v：以挤算塞术奶平朋均篮值澡为培最然或迹是邀值返，抚并攀据拍此助计虑算中各刘观处测错值歉的牧改督正响数v，符腿合[剪v炮v侄]瓦=盖m求i徒n的“最浸小钢二咳乘奔原上则”。Vi=L芝-i(吗i掩=捆1后,见2帅,皆·贯·支·搭,印n出)

特点1——改正数总和为零：对上式取和：以代入：

通常用于计算检核L=

nv=nL-

nv

=n-

=0v

=0

特点2——[vv]符合“最小二乘原则”：则即vv=(x-)2=min=2(x-)=0dvvdx∵(x-)=0nx-

=0

x=

n9子/磨2参4上/种2山0钉2贸33冠7合持肥任工炸业趟大剩学精而度色评借定

比较前面的公式，可以证明，两式根号内的部分是相等的，即在与中：精宣度间评梯定—碌—用泳观要测妇值百的胡改市正转数v计狡算纹中茅误杜差一.计算公式(即白塞尔公式)：9摇/是2转4懒/淡2则0插2握33绕8合骆肥柄工墙业亮大胃学证明如下：真误差：改正数：证予明殿两活式榨根遭号咏内汉相口等对啄上润式仍取n项练的碗平狭方薄和由责上批两睁式刊得其般中:9铺/报2落4荣/纺2周0狸2子33轿9合伯肥办工劫业挖大名学证另明卧两醉式航根音号炎内球相趟等中位误毒差定晨义:白隆塞攻尔公恶式:9暮/颂2污4拨/督2师0糖2泳34倍0合慈肥肚工辰业筛大狮学解裹：该桶水来平桶角真榴值蛙未译知，堆可味用算串术娇平摘均谣值凡的膛改滨正估数V计算凯其签中茫误捷差俩：例届：对堪某乒水蛙平秘角溪等宜精永度拳观笋测宅了5次携，语观芳测睬数删据猎如移下询表待，求灵其柱算刮术级平咐均宾值炸及茎观孙测茅值污的蛇中励误钩差就。算舅例1坟:次数观测值VVV备注176

42

49

-416276

42

40

+525376

42

42

+39476

42

46

-11576

42

48

-39平均76

42

45

[V]=0[VV]=607烤6

4碎2

4储5

±睡1矮.某7宋4

9灯/秤2迟4领/竭2位0钱2寒34球1合顺肥凝工氧业胆大斧学距燥离源丈经量肚精咽度荡计承算意例算长例2：对顶某违距涂离摩用巾精搏密旁量叙距栋方黄法节丈菜量柴六炼次愚，奇求①徐该止距杠离膨的垃算梯术平座均雁值物；悦②耳观像测往值写的牛中上误肿差心；障③计算泥术毕平释均渐值武的捷中霸误差恒；嚷④熟算蹄术尾平府均忌值咳的耐相昆对惯中痛误浑差检：

凡庸是胡相婆对液中录误巩差咬，感都物必缠须奴用条分蛮子鞭为1的靠分柄数说表绑示响。9厕/料2方4阴/绳2污0泳2洁34宋2合布肥寺工垫业慈大充学§肺6嗽.周7不乌同讨精漏度朽直刊接匹观鸽测淘平絮差一赛、琴权璃的议概摇念权织是老权蜂衡卵利烫弊惠、仰权卧衡筑轻行重满的宫意能思爬。善在植测燃量熔工城作候中径权庸是长一书个否表研示朝观炕测削结煮果唯可爽靠选程悠度钉的目相末对秒性我指顶标梅。1权罢的垂定劣义厚：设锡一扰组插不亿同扑精扁度辨的栽观隙测原值振为li,其州中舞误缘瑞差团为mi(舍I闹=递1要,辜2住…办n骑)，选索定插任茅一糟大写于夕零名的钉常哄数λ，则绣定陪义沈权线为：称Pi为尺观摘测追值li的丑权专。9谷/慕2属4澡/走2渣0暑2晴34摘3合御肥赌工横业区大晨学1权冶的塑定迈义磁：对桶于呼一挪组轻已萌知葡中森误扶差mi的膊观湿测朗值勾而随言细，欲选唇定扛一昌个圈大循于格零腐的支常颜数λ值掘，童就宗有各一提组贷对骑应东的射权朝；捷由具此冰可狸得训各宣观软测惯值怪权公之慢间蚁的银比到例叼关棚系颈：2权井的违性尊质（1）我权椒表爬示母观钻测复值袖的骂相爽对差精卸度辩；此（2）惕权呜与摄中咐误士差抛的面平械方什成释反台比穿，庙权啊始汤终浙大亲于呆零文，绍权希大知则研精茧度轮高束；毛（3）瓦权虏的朽大表小顺由根选宿定笋的λ值稍确便定酱，逢但翼测眯值贝权籍之蛙间萌权思的衔比奇例母关贡系怀不汇变挖，窑同炊一