圆柱圆锥圆台球的表面积和体积

第八章§83简单几何体的表面积与体积832圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积回顾所学的有关公式矩形面积公式：圆面积公式：圆周长公式：扇形面积公式：多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积之和棱柱的体积棱锥的体积棱台的体积复习引入O圆柱的侧面展开图是矩形学习新知圆柱、圆锥、圆台的表面积圆柱圆柱r是底面半径，l是母线长r是底面半径，l是母线长圆锥的侧面展开图是扇形O学习新知圆锥圆锥侧＝r是底面半径，l是母线长圆台的侧面展开图是扇环圆台圆台侧学习新知r和

分别是上、下底面半径，l是母线长OO’知识点一圆柱、圆锥、圆台的表面积

图形表面积公式旋转体圆柱

底面积：S底＝____侧面积：S侧＝____表面积：S＝________圆锥

底面积：S底＝___侧面积：S侧＝___表面积：S＝_______2πr22πrl2πrr＋lπr2πrlπrr＋l旋转体圆台

上底面面积：S上底＝______下底面面积：S下底＝____侧面积：S侧＝__________表面积：S＝____________________πr′2πr2πr′l＋rlπr′2＋r2＋r′l＋rl知识点二圆柱、圆锥、圆台的体积几何体体积说明圆柱V圆柱＝Sh＝_____圆柱底面圆的半径为r，面积为S，高为h圆锥V圆锥＝

Sh＝______圆锥底面圆的半径为r，面积为S，高为h圆台圆台上底面圆的半径为r′，面积为S′，下底面圆的半径为r，面积为S，高为hπr2h__________________知识点三球的表面积和体积公式＝R为球的半径＝4πR2思考辨析判断正误SIAOBIANIPANDUANHENGWU1圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图的面积就是它们的表面积2圆锥、圆台的侧面展开图中的所有弧线都与相应底面的周长有关

3球的体积是关于球半径的一个函数4球的表面积是球的体积的6倍××√√公式应用2球面面积膨胀为原来的2倍,体积变为原来的（）倍。填空题1球的半径扩大1倍，它的球面面积变为原来（）倍，它的体积变为原来的（）倍。84规律与结论：V1:V2=R13:R23;S1:S2=R12:R22例11若某圆锥的高等于其底面直径，则它的底面积与侧面积之比为一、圆柱、圆锥、圆台的表面积√解析设圆锥底面半径为r，则高h＝2r，2已知某圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则该圆台较小底面的半径为A7B6C5D3√解析设圆台较小底面的半径为r，则另一底面的半径为3r由S侧＝3πr＋3r＝84π，解得r＝7反思感悟圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展开为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和跟踪训练1圆柱的一个底面积是S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是√解析设底面半径为r，则πr2＝S，又侧面展开图为一个正方形，二、圆柱、圆锥、圆台的体积例21多选圆柱的侧面展开图是长12cm，宽8cm的矩形，则这个圆柱的体积可能是√√2已知圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4，母线长为10，则圆台的体积为________224π解析设上底面半径为r，则下底面半径为4r，高为4r，如图∵母线长为10，∴102＝4r2＋4r－r2，解得r＝2∴下底面半径R＝8，高h＝8，反思感悟求圆柱、圆锥、圆台的体积的关键是求其底面面积和高，其中高一般利用几何体的轴截面求得，一般是由母线、高、半径组成的直角三角形中列出方程并求解跟踪训练2圆锥的轴截面是等腰直角三角形，侧面积是，则圆锥的体积是√解析作圆锥的轴截面，如图所示，由题意知，在△PAB中，∠APB＝90°，PA＝PB设圆锥的高为h，底面半径为r，则h＝4三、球的表面积与体积√∴S球＝4πR2＝16πA4π B12πC24π D48π√∴S球＝4πR2＝12π反思感悟计算球的表面积与体积，关键是确定球心与半径√解析正方体的棱长为a，其内切球的半径为R，则a＝2R，2将两个半径为1的小铁球熔化后铸成一个大球，则这个大球的半径R为______核心素养之直观想象HEINSUYANGHIHIGUANIANGIANG简单组合体的表面积与体积典例如图所示，在棱长为4的正方体上底面中心位置打一个直径为2，深为4的圆柱形孔，求打孔后的几何体的表面积和体积解正方体的表面积为S正方体＝4×4×6＝96，圆柱形孔的半径为1，高为4，∴圆柱的侧面积S圆柱侧＝2π×1×4＝8π，∴所求的表面积为S＝96＋8π－2π＝96＋6π，正方体的体积为V正方体＝4×4×4＝64，圆柱的体积为V圆柱＝4π，∴所求的体积为V＝64－4π素养提升1求组合体的表面积与体积的关键是弄清组合体中各简单几何体的结构特征及组合形式，对于与旋转体有关的组合体问题，要根据条件分清各个简单几何体的底面半径及母线长，再分别代入公式求解2识别几何体的结构特征，提升直观想象素养3随堂演练PARTTHREE1若圆锥的底面半径为1，高为，则圆锥的表面积为Aπ B2πC3π D4π12345√解析设圆锥的母线长为l，所以圆锥的表面积为S＝π×1×1＋2＝3π2圆台的体积为7π，上、下底面的半径分别为1和2，则圆台的高为A3 B4C5 D6√12345解析设圆台的高为h，故h＝33一个圆柱的侧面展开图是一个边长为2的正方形，则这个圆柱的表面积与侧面积的比值是√解析设圆柱的底面圆半径为r，123454玉琮是中国古代玉器中重要的礼器，神人纹玉琮王是新石器时代良渚文化的典型玉器，1986年出土于浙江省余杭市反山文化遗址玉琮王通高88cm，孔径49cm、外径176cm琮体四面各琢刻一完整的兽面神人图象，兽面的两侧各浅浮雕鸟纹，器形呈扁矮的方柱体，内圆外方，上下端为圆面的射，中心有一上下垂直相透的圆孔试估计该神人纹玉琮王的体积约为单位：cm3A6250 B3050C2850 D235012345√12345解析由题意知，该神人纹玉琮王的体积为底面边长为176cm，高为88cm的正方体的体积减去底面直径为49cm，高为88cm的圆柱的体积结合该神人纹玉琮王外面方形偏低且去掉雕刻部分，可估计该神人纹玉琮王的体积约为2350cm35如图所示，一个底面半径为R的圆柱形量杯中，装有适量的水，若放入一个半径为r的实心铁球，水面高度恰好升高r，则＝_______12345课堂小结ETANGIAOJIE1知识清单：1圆柱、圆锥、圆台的表面积2圆柱、圆锥、圆台的体积3球的表面积和体积2方法归纳：公式法3常见误区：平面图形与立体图形切换不清楚4课时对点练PARTFOUR基础巩固1两个球的体积之比为8∶27，那么这两个球的表面积之比为12345678910111213141516√解析由两球的体积之比为8∶27，可得半径之比为2∶3，故表面积之比是4∶92轴截面是正三角形的圆锥称为等边圆锥，则等边圆锥的侧面积是底面积的A4倍B3倍C倍D2倍√解析设该等边圆锥的半径为R，则母线l＝2R，∴S底＝πR2，∴S侧＝2S底123456789101112131415163我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V，求其直径d的一个近似公式d≈如果球的半径为，根据“开立圆术”的方法求得的球的体积约为√123456789101112131415164已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为√解析绕等腰直角三角形的斜边所在的直线旋转一周形成的曲面围成的几何体为两个底面重合，等体积的圆锥，如图所示12345678910111213141516123456789101112131415165多选圆台的上、下底面半径分别为10和20，它的侧面展开图扇环的圆心角为180°，则圆台的√√√解析如图所示，设圆台的上底面周长为C，因为扇环的圆心角为180°，所以C＝π·SA，又C＝10×2π，所以SA＝20，同理SB＝40，故圆台的母线AB＝SB－SA＝20，表面积S＝π10＋20×20＋100π＋400π＝1100π123456789101112131415166一个球的体积为36π，则该球的表面积为______1234567891011121314151636π∴S球＝4πR2＝36π7一个平面截一球得到直径为6cm的圆面，球心与截面圆圆心的距离为4cm，则球的体积为______cm3解析如图所示，由已知得O1A＝3cm，OO1＝4cm，从而R＝OA＝5cm12345678910111213141516的正方形和正三角形，则圆柱和圆锥的表面积之比为______，其体积之比为________2∶1∴S圆柱∶S圆锥＝2∶1123456789101112131415169如图，在底面半径为2，母线长为4的圆锥中内接一个高为的圆柱，求圆柱的表面积12345678910111213141516解设圆锥的底面半径为R，圆柱的底面半径为r，高为h，表面积为S1234567891011121314151610某组合体的直观图如图所示，它的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，若图中r＝1，l＝3，试求该组合体的表面积和体积解该组合体的表面积S＝4πr2＋2πrl＝4π×12＋2π×1×3＝10π12345678910111213141516综合运用11如图，一个底面半径为2的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为2和3，则该几何体的体积为A5πB6πC20πD10π√12345678910111213141516解析用一个完全相同的几何体把题中几何体补成一个圆柱，如图，则圆柱的体积为π×22×5＝20π，故所求几何体的体积为10π12正方体的内切球与其外接球的体积之比为√1234567891011121314151613我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水，天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸，若盆中积水深九寸，则平地降雨量是注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸A2寸 B3寸C4寸 D6寸12345678910111213141516√解析由已知得天池盆盆口半径为14寸，盆底半径为6寸，则盆口面积为196π，盆底面积为36π，又盆深18寸，盆中水深9寸，∴积水水面面积为100π，1234567891011121314151614如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，这时圆柱、圆锥、球的体积之比为__________3∶1∶2解析设球的半径为R，则V圆柱＝πR2·2R＝2πR3，12345678910111213141516拓广探究15把底面半径为8cm的圆锥放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点S滚动，当这个圆锥在平面内转回原位置时，圆锥本身滚动了25周，则圆锥的母线长为_____cm，表面积等于______cm21234567891011121314151620224π解析设圆锥的母线长为l，如图，以S为圆心，SA为半径的圆的面积S＝πl2又圆锥的侧面积S圆锥侧＝πrl＝8πl根据圆锥在平面内转到原位置时，圆锥本身滚动了25周，∴πl2＝25×8πl，∴l＝20cm圆锥的表面积S＝S圆锥侧＋S底＝π×8×20＋π×82＝224πcm2