第七章-应力状态和强度理论

第七章应力状态和强度理论§7–1应力状态的概念§7–4材料的破坏形式§7–5强度理论第七章应力状态和强度理论§7–2平面应力状态§7–3空间应力状态【本章重点内容】1.二向应力状态的解析法和图解法2.简单的三向应力状态3.广义胡克定律4.四种常用的强度理论第七章应力状态和强度理论§7–1应力状态的概念第七章应力状态和强度理论1.为什么要研究应力状态（1）拉伸、压缩、扭转及弯曲变形的强度§7–1应力状态的概念横截面危险点的强度条件横截面上的应力分布铸铁压缩破坏组合变形构件的破坏§7–1应力状态的概念构件破坏与斜截面上的应力有关.45°滑移线

PMP（2）材料破坏1.为什么要研究应力状态（2）普遍情况下的应力状态（1）点的单元体2.应力状态的研究方法通过受力构件内某一点的各个截面上的应力情况，称为这点的应力状态.§7–1应力状态的概念单元体的三对平面，每对平面上的应力大小相等、方向相反、沿截面均匀分布.点的单元体分析法物体受静力作用时，整体平衡，局部也平衡，从中截取出的单元体一定也平衡.xyz（3）单元体的截取轴向拉伸§7–1应力状态的概念扭转弯曲扭转与弯曲练7-1截取构件上A、B、C点，试画出单元体上的应力.PPAPxMyzBCMxyzBC§7–1应力状态的概念BBCBA（4）应力状态分类①主平面②主应力③单向应力状态④平面应力状态§7–1应力状态的概念切应力为零的平面主平面上的正应力主应力排列⑤空间应力状态单元体只有一对平面上有正应力单元体的三对平面上都有应力单元体只有一对平面上没有应力AB简单的空间应力状态§7–2平面应力状态第七章应力状态和强度理论1.解析法§7–2平面应力状态构件中的任意点的应力状态为由于前后两个面的正应力为零，所以为平面应力状态.（1）任意斜截面上的应力符号规定：设：斜截面面积（1）任意斜截面上的应力另两个面面积§7–2平面应力状态①

拉应力为正；②τα绕单元体顺时针转为正；③α逆时针转为正.斜截面正应力§7–2平面应力状态三角关系可得同理（1）任意斜截面上的应力斜截面应力§7–2平面应力状态已知、、，可以求任意斜截面上的正应力和切应力.公式适用条件①斜截面必垂直于x-y面；②适用于z平面无应力；③适用于z平面只有正应力而无切应力的情况.（1）任意斜截面上的应力（2）互相垂直两个面上的正应力之和等于常量互相垂直两个面上的正应力相加＝常量最大正应力求极值与最大正应力面垂直面上的正应力最小正应力互相垂直两个面上的正应力之和等于常量.§7–2平面应力状态代入上式（3）极值正应力和极值切应力斜截面应力§7–2平面应力状态和是的函数，求极值.①正应力极值切应力等于零主平面（7.1）（7.2）（7.4）当，对应方位，当，对应方位，斜截面应力§7–2平面应力状态①正应力极值主平面（7.1）（7.2）（7.5）最大和最小主应力已知、、，可以求主应力（7.4）（3）极值正应力和极值切应力斜截面切应力§7–2平面应力状态②切应力极值（7.2）（7.7）最大和最小切应力切应力方位与的关系（3）极值正应力和极值切应力主应力§7–2平面应力状态切应力极值切应力极值方位主应力方位（3）极值正应力和极值切应力例7-1应力状态如图，求:（1）α＝30o斜截面上的应力；（2）主应力及方位；（3）切应力极值及方位.解：nxα§7–2平面应力状态（1）斜截面应力例7-1应力状态如图，求:（1）α＝300斜截面上的应力；（2）主应力及方位；（3）切应力极值及方位.解：§7–2平面应力状态（2）主应力及方位最小主应力方位由最大主应力作用面逆时针转45o.§7–2平面应力状态例7-1应力状态如图，求:（1）α＝30o斜截面上的应力；（2）主应力及方位；（3）切应力极值及方位.解：（3）切应力极值及方位圆半径上述方程平方相加，消去参数2

，得2.图解法此方程为圆方程—应力圆（或莫尔圆）（1）应力圆方程圆心坐标§7–2平面应力状态（7.3）x2an①建立应力坐标系（选比例尺）.（2）应力圆的画法②在坐标系内画出点A(

x、

xy)和B(

y、

yx).③AB连线与σ轴的交点C是圆心.④以C为圆心，以AC为半径画圆.sxtxysyxyOnsataaOstD(sa,

ta)⑤圆上各点坐标是单元体转动不同角度时的应力值.A(sx,tx)B(sy,ty)§7–2平面应力状态C2.图解法x2ansxtxysyxyOnsataaOstD(sa,

ta)A(sx,tx)B(sy,ty)§7–2平面应力状态C2.图解法（3）单元体与应力圆的对应关系③

面上的应力(

，

)是应力圆上D点(

，

)，夹角2α.②单元体上的夹角

，在应力圆上夹角2

；且转向一致.①x面上的应力(

x，

xy)是应力圆上A点(

x，

xy).④主应力在σ轴上

.⑤主应力方位，应力圆上从x面转到σmax点的夹角2

O

.2a0OCstx（4）最大应力2a0s1s3§7–2平面应力状态2.图解法2a1如何找斜截面上的应力公式？例7-2应力状态如图，图解法求:（1）α＝300斜截面上的应力；（2）主应力及方位；（3）切应力极值及方位.解：O2aAsCtBDA（10，20）B（30，-20）D（-2.3，1.3）测量D点横坐标和纵坐标（2）作应力圆（3）300斜截面应力§7–2平面应力状态（1）解析法得到数据O2aAsCtBD（4）主应力及方位从B点逆时针转从A点逆时针转到最大正应力处单元体上从y面转§7–2平面应力状态例7-2应力状态如图，图解法求:（1）α＝300斜截面上的应力；（2）主应力及方位；（3）切应力极值及方位.解：O20MPaC（2）在坐标系内画出点§7–2平面应力状态（1）建立应力坐标系（3）作垂直平分线C为圆心，以AC为半径画圆ABs1s2s32α0

0

1

2A点主应力方位A、B是应力圆上的两点AB连线作平分线已知A点为平面应力状态，过该点两非正交截面上例7-3的应力如图示，求主应力，主平面方位及夹角α.（4）求夹角α已知A点为平面应力状态，过该点两非正交截面上例7-3解：的应力如图示，求主应力，主平面方位及夹角α.§7–2平面应力状态AB与AC面的法线之间的夹角各作用面方位的关系如图圆轴扭转，截取单元体3.平面应力状态的几种特殊情况横力弯曲，在中性层上截取单元体（1）纯剪切应力状态§7–2平面应力状态单元体为纯剪切应力状态当纯剪切应力状态的斜截面应力§7–2平面应力状态3.平面应力状态的几种特殊情况（1）纯剪切应力状态极值切应力作用面上正应力为零，主平面与纯剪切面成450角.纯剪切为平面应力状态练7-2分析铸铁材料受扭构件的破坏现象.解：txty§7–2平面应力状态MC（1）确定危险点并截取单元体C（2）极值应力铸铁试件扭转，由于拉应力达到极限值，断口沿450方向.轴向拉伸，截取单元体3.平面应力状态的几种特殊情况横力弯曲，在下表面上截取单元体（2）单向应力状态§7–2平面应力状态单元体为单向应力状态只有一个主应力不为零，极值切应力作用面与主应力作用面成450角.当单向应力状态的斜截面应力§7–2平面应力状态3.平面应力状态的几种特殊情况（2）单向应力状态当练7-3分析铸铁材料受压构件的破坏现象.解：§7–2平面应力状态（1）确定危险点并截取单元体（2）极值应力铸铁试件压缩，由于切应力达到极限值，断口沿450方向.PC需注意的问题§7–2平面应力状态3.平面应力状态的几种特殊情况（2）单向应力状态①单向应力状态在斜截面上有正应力和切应力，但并不说明单元体是平面应力状态.②单向应力状态得到的斜截面应力公式与第一章拉（压）杆的斜截面公式相同，原因是拉（压）杆斜截面上的应力是均匀分布.作应力圆可以清楚的得到在构件上取一点的单元体§7–2平面应力状态3.平面应力状态的几种特殊情况（3）面内均拉或均压应力状态应力为由斜截面应力公式得到该点处于均拉或均压的平面应力状态薄壁球形容器中各点是面内均拉应力状态§7–3空间应力状态第七章应力状态和强度理论1.空间应力状态的概念和实例用平面应力状态的分析方法，可以得到三对互相垂直平面为主平面，并作用有正应力即主应力.§7–3空间应力状态xyz空间应力状态的单元体在三个互相垂直平面上的应力可能是任意方向1.空间应力状态的概念和实例滚珠轴承中滚珠与轴承套接触处三向应力状态火车车轮与铁轨接触处P§7–3空间应力状态工程实例地层深处所取单元体s2s1s32.最大正应力和最大切应力若已求出单元体上的主应力，s1s3s2s1s2s3作应力圆整个单元体内的最大剪应力为：§7–3空间应力状态弹性理论证明，图a单元体内任意一点任意截面上的应力都对应着图b的应力圆上或阴影区内的一点.图as2s1xyzs3图btmax§7–3空间应力状态2.最大正应力和最大切应力主应力s2s1xyzs3§7–3空间应力状态2.最大正应力和最大切应力最大切应力4030练7-3求图示单元体的主应力和最大切应力（MPa）.解：5040xyz30ABC单元体绕y轴转90度，简化为平面单元C平面为主平面，主应力§7–3空间应力状态（1）单元体为三向应力状态40xzy30ABC50（2）求出主应力σmaxσmin练7-3求图示单元体的主应力和最大切应力（MPa）.解：最大切应力方位？§7–3空间应力状态（2）求主应力40xzy30ABC50（3）最大切应力C50MPa57.7MPa27.2MPa4030σmaxσmin练7-4用图解法作练7-3题.解：用应力圆求解

作A、B面的应力圆,求得主应力5040xyz30ABCABs1s2s3tmax（30，-40）（0，40）10（MPa）(MPa)st考虑C面上的主应力最大切应力由单元体图知：yz面为主平面§7–3空间应力状态（1）单向应力状态--应力应变关系（2）纯剪切应力状态—应变关系xyzsxxyz

x

3.广义虎克定律§7–3空间应力状态对均匀各向同性弹性体，切应力不引起线应变考虑1方向的应变（7-14）s1s3s2123§7–3空间应力状态（3）空间应力状态--应力应变关系3.广义虎克定律广义胡克定律（7-14）s1s3s2123§7–3空间应力状态（3）空间应力状态--应力应变关系3.广义虎克定律广义胡克定律最大线应变由于（7-14）s1s3s2§7–3空间应力状态（3）空间应力状态--应力应变关系广义胡克定律对于普通应力状态xyz练7-5解：

自由表面上（1）主应力§7–3空间应力状态已知一受力构件自由表面上某一点处的两个面内主应变

1=24010-6，

2=-16010-6，弹性模量E=210GPa，泊松比为

=0.3，试求该点处的主应力及另一主应变.平面应力状态练7-5解：

自由表面上（1）主应力§7–3空间应力状态已知一受力构件自由表面上某一点处的两个面内主应变

1=24010-6，

2=-16010-6，弹性模量E=210GPa，泊松比为

=0.3，试求该点处的主应力及另一主应变.该点处的主应力§7–3空间应力状态练7-5解：（1）主应力已知一受力构件自由表面上某一点处的两个面内主应变

1=24010-6，

2=-16010-6，弹性模量E=210GPa，泊松比为

=0.3，试求该点处的主应力及另一主应变.（2）另一方向主应变§7–4材料的破坏形式第七章应力状态和强度理论不同材料在各种应力状态下，可能出现不同的破坏形式§7–4材料的破坏形式1.构件破坏的基本形式低碳钢拉伸试验铸铁压缩试验塑性屈服破坏脆性断裂破坏金属材料具有两种抵抗能力脆性断裂的极限抗力塑性屈服的极限抗力铸铁：抗压>抗剪>抗拉低碳钢：抗拉、抗压>抗剪同一种材料在不同的应力状态下，会发生不同形式的破坏§7–4材料的破坏形式2.应力状态对材料破坏形式的影响铸铁拉伸时呈脆性断裂有环形凹槽的低碳钢拉杆铸铁压缩时有较大的塑性变形由于应力集中在三向拉应力状态下呈脆性断裂三向拉应力状态下，塑性材料也会呈现脆性断裂破坏三向压应力状态下，脆性材料也会发生塑性变形§7–5强度理论第七章应力状态和强度理论1.强度理论的概念（1）材料的破坏分为两大类①屈服破坏塑性变形过大②断裂破坏脆性破坏（2）应力状态对材料破坏形式的影响一种材料在不同应力状态下，会发生不同形式的破坏.铸铁拉伸时呈脆性断裂，压缩则有较大的塑性变形.低碳钢在有应力集中处，拉伸时呈脆性断裂.§7–5强度理论单向应力状态通过拉伸实验得到复杂应力状态应力状态有多种组合，所对应的外力组合也各不相同，通过实验得到σs、σb困难；根据材料破坏现象和规律，采用推理的方法提出假说.在影响材料破坏的诸多因素中，考虑主要因素.1.强度理论的概念（3）复杂应力状态§7–5强度理论强度理论：对材料破坏的原因提出各种不同的假说，经过实践检验，证明在一定范围内成立的一些假说.材料破坏的基本形式有两种：§7–4材料的破坏形式2.常用的强度理论脆性断裂强度理论分两类：塑性屈服脆性断裂的强度理论塑性屈服的强度理论伽利略播下了第一强度理论的种子（十七世纪）；马里奥特关于变形过大引起破坏的论述，是第二强度理论的萌芽（1682年）；杜奎特（C.Duguet)提出最大剪应力理论（1773年）；麦克斯威尔最早提出了最大畸变能理论；这是后来人们在他的书信出版后才知道的（1885年）.压应力值超过最大拉应力值较多时不适用.（1）最大拉应力理论（第一强度理论）①破坏判据：②强度准则：③实用范围：实用于破坏形式为脆性断裂的构件.§7–5强度理论由拉伸实验测出引起材料发生断裂的主要因素是由最大拉应力，当危险点处的最大拉应力达到材料极限值时，材料脆性断裂.问题：未考虑另两个主应力；2.常用的强度理论（2）最大伸长线应变理论（第二强度理论）①破坏判据：②强度准则：③实用范围：实用于破坏形式为脆性断裂的构件.破坏判据为：石料、混凝土受压，水平方向应变达到极限值破坏.问题：二向拉应力状态不符裂纹§7–5强度理论引起材料发生脆性断裂的主要因素是最大伸长线应变，当危险点处的最大伸长线应变达到材料的某一极限应值时，材料脆性断裂.引起材料发生塑性屈服的主要因素是由最大切应力，当最大切应力达到某一极限切应力值时，材料塑性屈服.①破坏判据：③实用范围：实用于破坏形式为屈服的构件.②强度准则：问题：未考虑σ2的影响.§7–5强度理论（3）最大切应力理论（第三强度理论）破坏判据为：

2

3

1应变能密度=体积应变能密度+畸变能密度体积改变形状改变

m

m

m

3

-

m

1-

m

2-

m（4）畸变能密度理论（第四强度理论）§7–5强度理论引起材料发生塑性屈服的主要原因是畸变能密度达到某一极限值时，引起材料塑性屈服.①破坏判据：②强度准则：③实用范围：实用于破坏形式为屈服的构件.§7–5强度理论（4）畸变能密度理论（第四强度理论）钢材、铝、铜等金属，这个理论比第三强度理论更符合试验结果.单向应力状态下，第三、第四强度理论的强度条件是一致的，在其他应力状态下，第三强度理论偏于安全.强度条件（强度理论的统一形式）其中：

r—相当应力（7.25）（7.24）§7–5强度理论2.常用的强度理论第一强度理论第二强度理论第三强度理论第四强度理论复杂应力状态的强度计算步骤①在构件危险点处截取单元体，计算主应力；②选择适当的强度理论计算相当应力，将复杂的应力状态转换为等效的单向应力状态；③确定材料的许用应力，将其与相当应力比较，从而对构件进行强度计算.§7–5强度理论复杂应力状态的强度计算步骤复杂应力状态的强度计算有两种形式：§7–5强度理论校核应力形式校核安全因数形式式中：—构件的工作安全因数—对应不同强度理论的相当应力—简单拉伸试验测得的极限应力—构件的许用安全因数（7.26）3.强度理论的选择和应用脆性破坏材料：用第一理论或第二理论塑性破坏材料：用第三理论或第四理论①根据不同的材料选择强度理论§7–5强度理论（1）选择强度理论的原则②根据不同应力状态的材料选择适宜的强度理论三向拉伸或三向压缩应力状态影响材料产生不同的破坏形式3.强度理论的选择和应用纯剪切应力状态的许用应力①推知某一种应力状态下的许用应力§7–5强度理论（2）强度理论的应用txty单元体的三个主应力第一强度理论材料的许用切应力第二强度理论材料的许用切应力3.强度理论的选择和应用纯剪切应力状态的许用应力§7–5强度理论（2）强度理论的应用第一强度理论对于金属材料第二强度理论许用切应力与许用正应力的关系txty3.强度理论的选择和应用纯剪切应力状态的许用应力①推知某一种应力状态下的许用应力§7–5强度理论（2）强度理论的应用单元体的三个主应力第三强度理论材料的许用切应力第四强度理论材料的许用切应力txty3.强度理论的选择和应用纯剪切应力状态的许用应力§7–5强度理论（2）强度理论的应用第一、第二强度理论得到第三、四强度理论得到第三章圆轴扭转中txty§7–5强度理论（2）强度理论的应用②受内压的薄壁圆筒的强度计算薄壁圆筒：轴向应力周向应力平衡方程式中：—直径截面上的应力—圆筒的平均直径—圆筒壁厚§7–5强度理论（2）强度理论的应用②受内压的薄壁圆筒的强度计算轴向应力周向应力平衡方程主应力强度条件§7–5强度理论例7-4解：（1）确定危险截面危险点实心铸铁圆轴受扭转力偶M=540Nm作用，材料的抗拉极限应力，求圆轴扭转破坏的临界半径.危险截面：各截面危险点：圆周边各点切应力最大（2）计算危险点主应力§7–5强度理论例7-4解：（1）确定危险截面危险点铸铁圆轴受扭转力偶M=540Nm的作用，材料的抗拉极限应力，求圆轴扭转破坏的临界半径.（2）计算危险点主应力临界半径主应力破坏条件圆轴脆断的临界半径为13.5mm§7–5强度理论例7-5解：（1）确定危险截面危险点工字形截面焊接钢梁，q=40kN/m，F=620kN，惯性矩，，材料的许用应力，试第三、第四强度理论校核.危险点1：危险点2：弯矩最大在梁跨中E处剪力最大在A右侧、B左侧截面正应力最大在E截面下边缘