用样本数字特征估计总体数字特征(标准差、方差)

知识探究（二）：标准差、方差

样本的众数、中位数和平均数常用来表示样本数据的“中心值”，其中众数和中位数容易计算，不受少数几个极端值的影响，但只能表达样本数据中的少量信息.平均数代表了数据更多的信息，但受样本中每个数据的影响，越极端的数据对平均数的影响也越大.当样本数据质量比较差时，使用众数、中位数或平均数描述数据的中心位置，可能与实际情况产生较大的误差，难以反映样本数据的实际状况，因此，我们需要一个统计数字刻画样本数据的离散程度.思考1：在一次射击选拔赛中，甲、乙两名运动员各射击10次，每次命中的环数如下：甲：78795491074乙：9578768677

甲、乙两人本次射击的平均成绩分别为多少环？思考2：甲、乙两人射击的平均成绩相等，观察两人成绩的频率分布条形图，你能说明其水平差异在那里吗？环数频率0.40.30.20.145678910O（甲）环数频率0.40.30.20.145678910O（乙）甲的成绩比较分散，极差较大，乙的成绩相对集中，比较稳定.极差：一组数据的最大值与最小值的差极差越大，数据越分散，越不稳定极差越小，数据越集中，越稳定极差体现了数据的离散程度离散程度思考3：对于样本数据x1，x2，…，xn

，设想通过各数据到其平均数的平均距离来反映样本数据的分散程度，那么这个平均距离如何计算？思考4：反映样本数据的分散程度的大小，最常用的统计量是标准差，一般用s表示.假设样本数据x1，x2，…，xn的平均数为，则标准差的计算公式是：

那么标准差的取值范围是什么？标准差为0的样本数据有何特点？s≥0，标准差为0的样本数据都相等.思考5：对于一个容量为2的样本：x1，x2(x1<x2)，则,在数轴上，这两个统计数据有什么几何意义？由此说明标准差的大小对数据的离散程度有何影响？标准差越大离散程度越大，数据较分散；标准差越小离散程度越小，数据较集中在平均数周围.s甲=2，s乙=1.095.

计算甲、乙两名运动员的射击成绩的标准差，比较其射击水平的稳定性.甲：78795491074乙：9578768677设一组样本数据，其平均数为，则称s2为这个样本的方差，称为这个样本的标准差，分别称为样本方差、样本标准差它的算术平方根x1，x2，…，xn1．下列各数字特征中，能反映一组数据离散程度的是(

)

A．众数B．平均数

C．标准差D．中位数

答案

C2．样本101，98，102，100，99的标准差为 (

)

答案

A3．(高考题)某学员在一次射击测试中射靶10次，命中环数如下： 7，8，7，9，5，4，9，10，7，4

则：(1)平均命中环数为________； (2)命中环数的标准差为________．

答案

(1)7

(2)2要点二平均数和方差的运用例2甲、乙两机床同时加工直径为100cm的零件，为检验质量，各从中抽取6件测量，数据为：

甲：99

100

98

100

100

103

乙：99

100

102

99

100

100 (1)分别计算两组数据的平均数及方差； (2)根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量更稳定．(2)两台机床所加工零件的直径的平均值相同，又s甲2＞s乙2，所以乙机床加工零件的质量更稳定．规律方法

1.极差、方差与标准差的区别与联系：数据的离散程度可以通过极差、方差或标准差来描述．(1)极差是数据的最大值与最小值的差，它反映了一组数据变化的最大幅度，它对一组数据中的极端值非常敏感．(2)方差则反映了一组数据围绕平均数波动的大小，为了得到以样本数据的单位表示的波动幅度通常用标准差，即样本方差的算术平方根，是样本数据到平均数的一种平均距离．2．在实际问题中，仅靠平均数不能完全反映问题还要研究方差，方差描述了数据相对平均数的离散程度，在平均数相同的情况下，方差越大，离散程度越大，数据波动性越大，稳定性越差；方差越小，数据越集中，质量越稳定．例3抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩(单位：环)，结果如下：答案

2运动员第1次第2次第3次第4次第5次甲8791908993乙8990918892则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为________．1．一组数据中的众数可能不止一个，中位数是唯一的，求中位数时，必须先排序．2．利用直方图求数字特征 (1)众数是最高的矩形的底边的中点． (2)中位数左右两边