第14章线电路复频率分析

第14 第14章线性动态电复频拉普拉斯变换的定 网络函数的定拉普拉斯变换的基本性 网络函数的极点和零拉普拉斯反变换的部分分式展 极点、零点与冲激响运算电 极点、零点与频率响用拉普拉斯变换法分析线性电

线性动态电路的复频拉普拉斯变换的基本原理和性网络网络函数的极线性动态电路的复频拉普拉斯变换的定拉氏变换返 上 下例一些常用的

线性动态电路的复频乘法运算1对数

为加法运lgA

lg2

i1i2

时域的正弦运

变换为复数运12拉氏12

返 上 下例一些常用的变 1对数变

lgAlgBlg2相量 正弦量i1i2 时域的正弦运 变换为复数运 I&& 拉氏变换的定

线性动态电路的复频定0∞)区间f(t)的拉普拉斯变换正正反反F(s

(t)，

f(t)

复频

sF(s)0f(t)estdtf(t)12ðjccF(s)estds返 上 下积

线性动态电路的复频0

积分下限从0开始，称为0拉氏积分下限从0开始，称为0拉氏f今后讨论的均为 拉氏变换fF(s)

0

f(t)estdt000

f象函数F(s)

[0,0＋]区f(t)e

dt

返 上 下2.拉氏变换的定定0∞)区间f(t)的拉普拉斯变换F(F(s)f(t)estf(t)2ccF(s)est简写F(sLf(t)，f(t线性动态电路的复频如果存在有限常数Mcf(t满Mf(t)M

t[0,f(t)est

Me(sc)t

s找到一个合适的s值使上式积分为有限值。象函数F(s用大写字母表示,如I(s)，U(s)原函数f(t)i(t),u(t)返 上 下 s线性动态电路的复频典型函数的拉氏单位阶跃f(t)

(t)F

(t)est

estdtFF(s)st0f(t)e1est 返 上 下

积分下限从0开始，称为0拉氏

0f(t)estdt0

f象函数F(s)存在的条件 [0,0＋]区 f(t)e

dt 线性动态电路的复频单f

(t)0

(t)estdtes0

f(t)

e

eatestdt e(sa)t 0 s 返 上 下f(t) f(t)est

Me(sc)tdt

s找到一个合适的s值使上式积分为有限值。3象函数F(s用大写字母表示,如I(s)，U(s)原函数f(t)i(t),u(t)线性动态电路的复频拉普拉斯变换的基本性线性性 L[f1(t)]

F1(s)

L[f2(t)]

(s)则L

f1(t)

A2f2

证Lf1(tA2f2(t)

f1(t)

A2f2

(t)est1 1

f(t)estdt

A2f

est11返 上 下FF(s)0ff(t)F(s)L[(t)](t)estdt

est01est

线性动态电路的复频结论根据拉氏变换的线性性质例1求

f(t)

K

eatF(s)

L[K]-

K s

s(sa)例2求

f(t

sin(

F(s)

L

ejt解

2 2js

sj

s2

返 上 下f(t)es0

(t)

0

(t)estdt f(t)e e(sa s 微分性

线性动态电路的复频

(t)

sF(s)

f(0Ldf

(t)

(t)estdt

est

(t)

f00

f(t)(sest

(0)

sF(s)

若足够利用利用udvuv返 上 下 s线性动态电路的复频例利用导数性质

f

t

(tdcos(t)

L[cost]

L1d s1s

0

s2返 上 下 L[f1(t)]F1(s) L[f2(t)]F2则LA1f1(tA2f2(t)A1Lf1(t)A2Lf2证LA1f1(tA2f2(t)

A1f1(t)

f2(t)est Af(t)estdt

f(t)est

f

线性动态电路的复频t (t)

d(t)

(t)]s

ss

022

f(t)]

s[sF(s)

f

)]

f'(0s2F(s)

(0)

f'(0dnf(t)

dtn

sF(s)

f(0

)Λ

(0返 上 下返返 上 下积分性

线性动态电路的复频

t

f()d]

1Fs证令

f(t)dt](s)

应用微分性

LL

tdttd

(s)

s(s)

f(t)dt

t0(s)

F(s)s返 上 下结论根据拉氏变换的线性性质，求函数与常数例1求:f(tK(1eat解-F L[K]- 解-s

s

s(s 例2求 f(t)sin(t )F(s)Lsint L1(ej e )解解1

j线性动态电路的复频求

f

t

t)和

(t)

(t

L[t2

(t

tt

s tdt] s返 上 下 s

2 返返 上 下2延迟性

线性动态电路的复频若：

则：

fttt00

f0

t

f

)es(t0

est0

f

)esest0F(s)

e

返 上 下利用利用udvuv

(t)sF(s)f(0

(t)

(t)estdt

stdf estf0

线性动态电路的复频例1

1 f(t)(t)(tT根据延迟性

1s

s

例 求三角波的象函 f

T f

t

T

T

TF(s)s2

1s2

Ts返 上 下f(0sF 若线性动态电路的复频例 求周期函数的拉氏变解设f1(t)为

1

L[f1(t)]

(s)

T/2 Θf(t)

f1(t)

T)

1F(s)[esT

]

F(s) 1esT 返 上 下例利用导数性质f(tcos(t解dsin(t)cos(t解d

cos(t) L[cost]L1d 1

线性动态电路的复频对于本题

f1(t

(t

T2(s)

s

1esTs

/2

1 s s

s1

esT/拉普拉斯的卷积

1()

L[L[f(t)]11esTF(s)1返 上 下

0 s 2返返 上 下2线性动态电路的复频t

f1(t)

f2(t)]L0f1(t)f2(1(s)2(s)L

(t)

(t)]

est

f

)

est

f

)

)

令xt

f(

2 f(x)2

1(s)2(s)

返 上 下f(t(t (t)d(t)

L[(t)]ss d2

0s

f(t)]s[sF(s)f(0)]f'(0 s2F(s)sf(0)f'(0dnf 线性动态电路的复频拉普拉斯反变换的部分分式展

f(t)

2

cc

F(s)estdsF(s)

f(t)

f1(t)

f2

fn(t)

上 下 dtn sF(s) f(0)Λ (0线性动态电路的复频(s) asmasm1F(s) m(n0D(s)0

bsn

sn1

讨 象函数的一般形

F(s)

Kns s

sf(t)

eK1eK

K2

e

K

pntene返 上 下t

tt

f()d]1Fs0证令0

f(t)dt(s) dtt

fF(s)s(s) f(t)dtt0(s)F待定常数的确

线性动态电路的复频方法方法 K2 Kn (s

p1)F(s)

K1(s

s

s

pn令s方法方法求极

Ki

spi

piKKiF(s)(spi)pii3Λ、返 上 下sKi

spi

N(s)(s

pi

线性动态电路的复频lim N'lim

p)

Nspi

D'例F(s

s25s解法

F(s)

4s

K2s25s

s

sK4s

K4s s

S

s

s3KKN(piD'(pi返 上 下求:f(t)tt)和f(t)t2(t

11L[t2(t

s ttdt] 线性动态电路的复频解法

KN(p1)4s 1 D'(p 2s5 1 N(p2)4s 2 D'(p2

2s

s3f(t)

3e2t(t)

7e3t(t)f(t)

ep1t

N(p2

2nep2t2n

N(pn

epnt1D'(p1

D'(p

D'(p返 上 下 ：[0证Lf(tt0(tt0f(tt0(tt00tt0 f(ttt00 0

t0)d

est0F线性动态电路的复频若

0

F(s)

N(s)

N(s)D(s)

(s

j)(sj)D1(s)

N1(s)s

s

(s)KK(s)(sμj)N(s)D(s)s注意K1、K2也是一对共轭复返 上 下 解f(t)(t)(tT解 F(s)1s

s

1 解f(t)t[(t)(tT 解f(t)t(t)(tT)(tT)T(tTF(s) 1线性动态电路的复频设：K1

Ke

K2

Ke-f

e1e

e(j)t)

(t)(

eje(j)t

Keje(j)t)

(t)Ket[ej(t)

(t)2

)

(t)返 上 下 T 返返 上 下线性动态电路的复频例求Fs)

s

f(ts22s s2

2s5

1K1

s(1

2j)

2

s(1

2

s1

或：K1

N(s)D'

2s2

2

f(t)

2e

cos(

45ο)返 上 下 解设f1(t)为L[f1(t)] Θf(t)f1(t)f1(tT)(tT)f1(t2T)(t2T)1F(s)[esT

] F 1 若D(s)

线性动态电路的复频0asmasm1F(s)

1(sp)n1111F(s)111

1s1

(s

p

(s

p

(s

p)n

[(s

p

F

1s1

[

(s

p)nF

s dn1

(n1)!

(s

F

s

返 上 下L[f(t)]1L[f(t)]11F

(t)(t)(tT2F(s)2

11

/2(1

11sT/2) s s1esT/s线性动态电路的复频例求：F(s)

s

f(t)s(s F(s)

s

K1

K21

K22s(s

(sKs4

s

(s s0

s1K21

d[(s

s1

d[

4]s

s1

f(t)

4

返 上 下1(s) 线性动态电路的复频小结由F(s)求f(t)的步骤*n=m时将F(s)化成真分式和多项F(s)A

N0求真分式分母的根，将真分式展开F(s)A

Kns

s

s对每个部分分式和多项式逐项求拉氏反返 上 下tLf1(tf2(tL0f1(tf2(t F(s)F L[f(t)f(t)]

est

tf(t)

() estf(t)(t)f()

令xt令xt

f(x)(x)f()esesx1

f(x) f()e 返 上 下 1返 上 下线性动态电路的复频 求：F(s)

s29s

s25ss29s11

4s F(s)

s25s

s25s1

3 s sf(t)

(t)

返 上 下 线性动态电路的复频运算电基尔霍夫定律的运基尔霍夫定律的时i(t) u(t)根据拉氏变换的线性性质得KCL、KVL的运对

I(s)U(s)返 上 下拉普拉斯反变换的部分分式展 f(t) 2

cc

F(s)estdsF(s1(sF2sFn 线性动态电路的复频电路元件的运电阻R的运+ -时取拉氏

+ -U(s)

电阻的运算电Z(s)Y(s)I(s)

返 上 下11

f(t)

(t)

(t)

线性动态电路的复频

时

uL

U(s)

L(sI(s)i(0

Li(0

sLI

Li(0

I

U

i(0si(0)

L 运

(s)I(s+

电

1返 上 下FF(s)N(s)a0sma1sm1am(nbsnbsn1若D(s0有n个单根分别为p1 F(s) s s s

线性动态电路的复频时

uu(0)

t1 t1

u(0)

U(s)

1I(s)

u(0s

I(s)

sCU(s)Cu(0I(s

Cu(0- 运Z(Z(s)1Y(s) 返 上 下f(t)

eK1eK

ep2tK

返返 上 下e线性动态电路的复频耦合电感的运

时

di1

_ __

u2u

M(s)

sMI2(s)Mi2(02(s)

sL2I2(s)

L2i2(0)sMI1(s)

Mi1(0ZM(s)ZM(s)YM(s)1返 上 下 F(s)(spi)pi3Λ、(sp)F(s)K(sp111K2令sspn lim 线性动态电路的复频(s)

sMI2(s)Mi2(02(s)

sL2I2(s)

L2i2(0)sMI1(s)

Mi1(0+U1

I1

-

I2-

+

L2i2(0 Mi2(0

Mi1(0

的运算电返 上 下返 上 下返 上 下受控源的运

线性动态电路的复频

时

u1/ _

取拉氏I(s)

I(s)

I1(s)

U1(s)/1+U1

I(s)

+U2(s)

I2(s)

I1

(s)

受控源的运算电返 上 下

piKKN(piD'(pN'(s)(sp)N(s) D'例求F(s) s25s F(s) s25s s sK4s 4s 线性动态电路的复频

若：uc(0 时域电

iL(0)u

uiR

Ldi1

t运算电t拉氏I

U(s)

I(s)R

sLI(s)1

I(s)+U-

R

I(s)(R

)I(s)Z(s)Z(Z(s)1RsL

返 上 下 S s2线性动态电路的复频U(s)Z(s)I(s)Y(s)UI

(s)(s)

I i u

-拉氏

U

uc(0)

+若：uc(0) iL(0)返 上 下KN(p1)4s 2s5 N(p2)4s D'(p2

f(t)3e2t(t)7e3tI

线性动态电路的复频R U-

uc(0)

Li(0+U(s)

I(s)R

sLI(s)

Li(0)11

I(s)

uC(0s(R

1)I(s)

Z(s)I(s)U(s)

Li(0)

uC(0s返 上 下ff(t)N(p1)D'(pN(p2)ep2D'(pN(pn)D'(p线性动态电路的复频小结电路的运电压、电元件用运算阻抗或运算导纳电容电压和电感电流初始值用附加电给出图示电路的运算电

t=0时开关打

c-u(0c-

iL(0-)

-时域电

返 上 下若D(s)0具有共轭复根

1F(s)N(s)1

N (sj)(s

N1s s

线性动态电路的复频

+

- -

-

注意附加电

t>0运算电返 上 下KKF(s)(sμ N 线性动态电路的复频应用拉普拉斯变换分析线性电运算法的计算步由换路前的电路计算uc(0-),iL(0-)画运算电路模型，注意运电应用前面各章介绍的各种计反变换返 上 下设：K1

Ke Ke-2f(t)2

e1e

)t)

(t)1(1

)t

Ke )t)f(t)11Ket[ej( t ) t )]f(t)1112Ke cos(t)f1线性动态电路的复频例1电路原处于稳态，t=0时开关闭合，试用运解(1)计算初值

uc(0

iL(0) 画运算电

sL

s1

-

uC(0--返 上 下例求F(s) s 的原函数f(ts22s s22s50的根： 1K s(12

2 2

s(12

s1

N(s)D'

应用回路电

线性动态电路的复频

I1(s)

uC(0--

I2(s)

(s)s

I2(s)

1uC(0) -1s

(s)

(s)

uC(0) 返 上 下f(t) 2etcos(2t45I(s)I(s)

线性动态电路的复频11反变换

s(s22sD(s)

0个根

p1

1I(s)

K1s

K21s11

K3 (s1K1

s0K2K3

II(s)(s

11

s1s1

2(1 2(1返 上 下若D(s)0asmasm1aF(s) (sp1F(s) s (sp (sp (s K1n[(sp1)nFd

s [ (sp)nF

s 线性动态电路的复频I(s)

2

j)

2(1 s1 (s1

i(t)

1(1etcost

etsint)例2图示电

(t

uc(0)

s()1

IC

) 画运算电返 上 下返 上 下K11(n1)!dsn1(sp返 上 下

s线性动态电路的复频UC(s)

R1/

Is(s)

s()1

IC

)RC(s

1/RC) I(s)

(s)sC

1 RsC

RsC1uc

1et/RC(t

ic

(t)

et/RC(t

返 上 下例求：F(s) s 的原函数f(t)s(s解F(s) s K1 解s(s (s (s s s (s K21

d[(s

s1

d[

s

s1f(t)44et线性动态电路的复频例3t=0时打,求电感电流和电压解计算初i1(0)i2(0)

-

画运算电+-

I1(s)

返 上 下小结由F(s)求f(t的步骤*n=m时将F(s)化成真分式和多项F(s)AN0F(s)A s s s线性动态电路的复频+-

I1(s)

I1(s)

10

25

(s2

i

1.75e12.5t s12.5 注意i1(0

i1(0

i2(0

i2(0返 上 下 求：F(s)s29s11的原函s25ss29s111 4s F(s)s25s s25s1 3 s sf(t)(t)(7e3t3e2tI1(s)+

线性动态电路的复频3 -

UL1

(s)

1.5

s

uL1(t)

(t)

UL

(s)

0.375

suL2(t)

(t)

返 上 下运算电i(t) u(t)2线性动态电路的复频2i1

21.75e12.5tuL1(t)

(t)

uL

(t)

(t)

2

0-

tt

返 上 下I(s) U(s)线性动态电路的复频由于拉氏变换中用0初始条件，跃变情况自两个电感电压中的冲击相反，故整个回路中无冲击电压满足磁链

Lii2(0

(0)

i1(0)

0.35

返 上 下+ -

I+ -U(s)I(s)

Z(s)Y(s)线性动态电路的复频

L2i2(0

L2)i(00.3500.4返 上 下 时域形式：uL U(s)L(sI(s)i(0Li(0

Li(0 返 上返 上 下I(s

i(0) 的H(s)H(s)L激励函数LR(s)E(s)网络函数的定网络函数H（s）的定返 上 下

i(0Z(sZ(s)Y(s)1线性动态电路的复频可以是电压或电s域网络函数可以是驱h(t)。网络函数的应由网络函数求取任意激励的零状返 上 下 C

uu(0)

1 1 U(s) 1I(s)

u(0s

I(s)

sCU(s)Cu(0I(s线性动态电路的复频H(s)

R(s)E(s)

R(s)

(s)E(s)例图示电路，is

t求阶跃响应S1(t)、S2

+ 2H 画运算电返 上 下

电 运

Z(s)1Y(s)返返 上 下线性动态电路的复频H

U1(s)

IS (s)IS

4s

41s

2

s25s H

U1(s)

2sU1(s) 4sIS IS

2

s25sU(s)

(s)I

(s)

4s

S(t)

2

8e3t

s(s2

U2(s)

H2(s)IS(s)

s(s2

S2(t)

4e2t

返 上 下 1 uL11

dtM2 2

MU(s)sLI(s)Li(0)sMI(s)Mi(0

2 例电路激励

线性动态电路的复频uC(uC(t)iS(t)解画运算电

H(s)

R(s)E(s)

UC1

Z(s)

sC

1C

s

1

1

Is(s)

)

返 上 下返 上 返 上 下ZM(s)sMYM(s)1线性动态电路的复频应用卷积定理求电路R(s)

H(s)E(s)r(t)L1E(s)H(s)t

e(t)*h(t)t0

)h(

e(0

结论可以通过求网络函数H(s)与任意激励的激励下的零状。返 上 下U(s)sLI(s)Li(0)sMI(s)Mi(0

2 +U1

I1

-

I2-

+U2

L2i2(0 Mi2(0 Mi1(0 线性动态电路的复频例图示电+

0.6e2t，冲激

h(t)

电阻网

uC(t)

r(t)

(s)E(s)U(s)

0.6

K2 s1

s

s1

sK1=3,K2=-

返 上 下 线性动态电路的复频网络函数的极极H(s)

N(s)

H0(sz1)(s

z2)(szmD(s)m

(sp1)(sp2)(spnH0

(szi n

s=zi时zi为zi为(s

zj

为当s=pj时，H(s) 称pj为极点，pj为重根，返 上 下i1 i1u1/

1I I I1(s)U1(s)/12 I2(s)I1(s)2

I

U2 线性动态电路的复频复平面（或s平面s

在复H(s的极点用’ o 零、极点分布返 上 下路线性动态电路的复频例H(s)

2s2

12s16

绘出其极零点图s3

4s26s N(s)

2s2

12s

16

H(s)

z1

2，z2D(s)

4s2

6s(s

1)(s32

3)(s2

3 3

p1

3 返 上 下 若：uc(0) iL(0)uiRLdi i C

U(s)

I(s)RsLI(s)

I+U-

R

I(s)(RsL

1)I(s)ZZZ(s)RsL线性动态电路的复频 返 上 下线性动态电路的复频极点、零点与冲激网络函数与冲 激 响

R(s)

(s)E(s)

冲

(t)时，E(sR(s)

H(s)

r(t)

h(t)

(s)H(s和冲激响应构成一对拉氏变换对返 上 下U(s)Z(s)I(s)Y(s)UI

(s)(s)

I i -

U1/sCuc(0)

+若：uc(0) iL(0)线性动态电路的复频已知网络函数有两个极点为s=0、s=-1，一个

t

解由已知的零、极H(s)

H0

H(s)

10(s

h(t

s(s

L1

H0(

s(s

s(s t

返 上 下I U-1/sCuc(0)

Li(0+U(s)I(s)RsLI(s)Li(0)

1I(s)uC(0 (RsL1)I(s)

Z(s)IU(s)Li(0)uC(0线性动态电路的复频极点、零点与冲激若网络函数为真分式且分母具有单根，则网的冲激响应为h(t)

Ki

KeL[H

s i i点位置不同，响应性质不同，极络响应动态过程中自由分量的变化规返 上 下s线性动态电路的复频H(s)

H(s)

1稳定电

不稳定电返 上 下小结电路的运例给出图示电路的运算电路模型 解 解t=0时开关打u(0 -iL(0) -

线性动态电路的复频 H(s)

(s

H(s)

(s

稳定电

不稳定电返 上 下线性动态电路的复频

H(s)

s2H(s) s注意一个实际的线性电路是稳定电路，其网络返 上 下

+ -

-

t>0运算电路mH(jmH(j)H H(j)e(jzi0(jpjn极点、零点与频率令网络函数H(s)中复频率s=j，分析H(j)随返 上 下应用拉普拉斯变换分析线性电由换路前的电路计算uc(0-iL(0-)线性动态电路的复频m(jzi

幅频H(

H0

i1

(jm

pj

相频n

arg(

zi

arg(j

pj定性分析RC串联电路以电压uC为输出时电的频率响应 U(s) H(s) US(s) 返 上 下例1电路原处于稳态，t=0时开关闭合，试用运算法求电流i(t)。解(1)计算初uc(0) iL(0) sL s1 线性动态电路的复频H(s)

1

_R s _1 1一个极

s1

设H0RC

sH(j)

H0

H0

j1/

j1H(j)1

H0

j

1 返 上 下1(1s1)I

(s)s

I(s)1uC(0) -1s

(s)(11)

(s)uC(0)线性动态电路的复频H(j)

H0 j1/

H(j)(j)

M1 M1o

M

幅频

相频返 上 下 线性动态电路的复频

U2(s) sUS sH(j)

Ne _Me_

_ oo

1

返 上I(s)I(s) 1

s(s22sD(s)0个根 p10，p21j，p31I(s)K1s

s

j

1K1I

s01I1

I11

s1 111s1 返返 上 下I(s)1212(1j)12(1 s1 (s1i()2

例2图示电路 (t),uc(0)0，求uC(t)、iC(t) Is()1 s电

R )UC(s)

R1/

Is(s)

Is()1

IC RC(s1/ I(s)U(s)sC RsC RsCu1et/RC

i(t) et/RC

例3t0时打,求电感电流和电压 解计算初i1(0i2(0

-I1(s) +

+-

I1(s)

I1(s) 25 (s2 i21.75e12.5t 注意i1(0)i1(0 i2(0)i2(0I1(s) +

-

UL1

(s)0.3sI1(s)1.5

(t)0.375(t)UL

(s)0.1sI(s)0.375 suL2(t)0.375(t)1i21.75e12.5t1 (t)0.375(t)L (t)0.375(t)L2

0

t0 由于拉氏变换中用0初始条件，跃变情况自动包含在响应中，故不需先求t=0+时的跃变值。满足磁链守恒。L i

)

)返 上返 上 下

)0.35 L1i1(0)L2i2(0)(L1L2)i(00.3500.4网络函数的定HH(s)L激励函数L可以