1.3.2三角及二项式系数的性质

一般地，对于nN*有二项定理:二项展开式中的二项式系数指的是那些？共有多少个？

下面我们来研究二项式系数有些什么性质？我们先通过杨辉三角观察n为特殊值时，二项式系数有什么特点？杨辉三角?九章算术?杨辉?详解九章算法?中记载的表杨辉三角1．“杨辉三角〞的来历及规律杨辉三角展开式中的二项式系数，当时，如下表所示：

11

121133114641151010511615201561杨辉三角点击图片可以演示“杨辉三角〞课件杨辉三角第5行

1551第0行

1杨辉三角第1行

11第2行

121第3行

1331第4行

141第6行

161561第n-1行

11第n行11………………………………

1515=5+102020=10+1010=6+41010=6+41066=3+34=1+34

125第5行

15101051第6行

1615201561第7行

172135352171第1行 11第0行

1第2行

121第3行

1331第4行

14641……138132134如图，写出斜线上各行数字的和，有什么规律？第8行18285670562881

从第三个数起，任一数都等于前两个数的和;这就是著名的斐波那契数列类似上面的表,早在我国南宋数学家杨辉1261年所著的?详解九章算法?一书里就已经出现了，这个表称为杨辉三角。在书中，还说明了表里“一〞以外的每一个数都等于它肩上两个数的和，杨辉指出这个方法出于?释锁?算书，且我国北宋数学家贾宪〔约公元11世纪〕已经用过它。这说明我国发现这个表不晚于11世纪。在欧洲，这个表被认为是法国数学家帕斯卡〔1623-1662〕首先发现的，他们把这个表叫做帕斯卡三角。这就是说，杨辉三角的发现要比欧洲早五百年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的.二项式系数的性质

展开式的二项式系数依次是：

从函数角度看，可看成是以r为自变量的函数,其定义域是：

当时，其图象是右图中的7个孤立点．二项式系数的性质2．二项式系数的性质

〔1〕对称性与首末两端“等距离〞的两个二项式系数相等．

这一性质可直接由公式得到．图象的对称轴：二项式系数的性质〔2〕增减性与最大值由于：所以相对于的增减情况由决定．

二项式系数的性质〔2〕增减性与最大值由：二项式系数是逐渐增大的，由对称性可知它的后半局部是逐渐减小的，且中间项取得最大值。

可知，当时，二项式系数的性质〔2〕增减性与最大值

因此，当n为偶数时，中间一项的二项式系数

取得最大值；

当n为奇数时，中间两项的二项式系数、相等，且同时取得最大值。〔3〕各二项式系数的和二项式系数的性质在二项式定理中，令，则：

这就是说，的展开式的各二项式系数的和等于：同时由于，上式还可以写成：这是组合总数公式．

一般地，展开式的二项式系数有如下性质：〔1〕〔2〕〔3〕当时，〔4〕

当时，例题分析:

例1．证明：〔1〕(a+b)n的展开式中,各二项式系数的和

启示：在二项式定理中a,b可以取任意实数，因此我们可以通过对a,b赋予一些特定的值，是解决二项式有关问题的一种重要方法——赋值法。令a=b=1，那么1答案2答案继续思考1:〔2〕试证明在(a+b)n的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.即证：证明：在展开式中令a=1，b=－1得总结：赋值法在二项式定理中，常对a,b赋予一些特定的值1，-1等来整体得到所求。例1、赋值法例2：赋值法②①总结：求奇次项系数之和与偶次项系数的和可以先赋值，然后解方程组整体求解.思考：1.当n10时常用杨辉三角处理二项式系数问题;2.利用杨辉三角和函数图象可得二项式系数的性质：对称性、增减性和最大值;3.常用赋值法解决二项式系数问题.课外思考