2023新教材高考数学二轮专题复习第一部分专题攻略专题四立体几何第三讲立体几何

第三讲立体几何【命题规律】立体几何大题一般为两问：第一问通常是线、面关系的证明；第二问通常跟角有关，一般是求线面角或二面角，有时与距离、几何体的体积有关．微专题1线面角保分题[2022·辽宁沈阳二模]如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，PA＝2AB＝4，点M是PA的中点．(1)求证：BD⊥CM；(2)求直线PC与平面MCD所成角的正弦值．提分题例1[2022·全国乙卷]如图，四面体ABCD中，AD⊥CD，AD＝CD，∠ADB＝∠BDC，E为AC的中点．(1)证明：平面BED⊥平面ACD；(2)设AB＝BD＝2，∠ACB＝60°，点F在BD上，当△AFC的面积最小时，求CF与平面ABD所成的角的正弦值．听课笔记：【技法领悟】利用空间向量求线面角的答题模板巩固训练1[2022·山东泰安一模]如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，AB＝2AD＝2，PA⊥平面ABCD，E为PD中点．(1)若PA＝1，求证：AE⊥平面PCD；(2)当直线PC与平面ACE所成角最大时，求三棱锥E-ABC的体积．微专题2二面角保分题[2022·山东临沂二模]如图，AB是圆柱底面圆O的直径，AA1、CC1为圆柱的母线，四边形ABCD是底面圆O的内接等腰梯形，且AB＝AA1＝2BC＝2CD，E、F分别为A1D、C1C的中点．(1)证明：EF∥平面ABCD；(2)求平面OEF与平面BCC1夹角的余弦值．提分题例2[2022·湖南岳阳三模]如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，F是PD的中点．(1)证明：PB∥平面AFC；(2)若直线PA⊥平面ABCD，AC＝AP＝2，且PA与平面AFC所成的角正弦值为217，求锐二面角F-AC-D听课笔记：例3[2022·山东日照二模]如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝BC＝CD＝12AD，现以AC为折痕把△ABC折起，使点B到达点P的位置，且PA⊥CD(1)证明：平面APC⊥平面ADC；(2)若M为PD上一点，且三棱锥D-ACM的体积是三棱锥P-ACM体积的2倍，求二面角P-AC-M的余弦值．听课笔记：【技法领悟】利用空间向量求二面角的答题模板巩固训练21.[2022·广东韶关二模]如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，点S是边AB的中点．AB＝2，AD＝4，PA＝PD＝22.(1)若O是侧棱PC的中点，求证：SO∥平面PAD；(2)若二面角P-AD-B的大小为2π3，求直线PD与平面PBC2．[2022·河北保定一模]如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB＝CD＝1，∠BCD＝60°，现将DAC沿AC折起至PAC，使得PB＝2.(1)证明：AB⊥PC；(2)求二面角A-PC-B的余弦值．微专题3探索性问题提分题例4[2022·山东聊城三模]已知四边形ABCD为平行四边形，E为CD的中点，AB＝4，△ADE为等边三角形，将三角形ADE沿AE折起，使点D到达点P的位置，且平面APE⊥平面ABCE.(1)求证：AP⊥BE；(2)试判断在线段PB上是否存在点F，使得平面AEF与平面AEP的夹角为45°.若存在，试确定点F的位置；若不存在，请说明理由．听课笔记：【技法领悟】1．通常假设问题中的数学对象存在或结论成立，再在这个前提下进行推理，如果能推出与条件吻合的数据或事实，说明假设成立，并可进一步证明；否则假设不成立．2．探索线段上是否存在满足条件的点时，一定注意三点共线的条件的应用．巩固训练3[2022·湖南岳阳一模]如图，在三棱锥S-ABC中，SA＝SB＝SC，BC⊥AC.(1)证明：平面SAB⊥平面ABC；(2)若BC＝SC，SC⊥SA，试问在线段SC上是否存在点D，使直线BD与平面SAB所成的角为60°，若存在，请求出D点的位置；若不存在，请说明理由．第三讲立体几何微专题1线面角保分题解析：(1)证明：如图，连接AC，∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD.又PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴PA⊥BD，∵PA，AC⊂平面PAC，PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC，又CM⊂平面PAC，∴BD⊥CM.(2)易知AB，AD，AP两两垂直，以点A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz.∵PA＝2AB＝4，∴A(0，0，0)，P(0，0，4)，M(0，0，2)，C(2，2，0)，D(0，2，0),∴MC＝(2，2，－2)，MD＝(0，2，－2)，PC＝(2，2，－4)．设平面MCD的法向量为n＝(x，y，z)，则n·令y＝1，得n＝(0，1，1)．设直线PC与平面MCD所成角为θ，由图可知0<θ<π2，则sinθ＝|cos〈n，PC〉|＝n·PCnPC即直线PC与平面MCD所成角的正弦值为36提分题[例1]解析：(1)证明：∵AD＝CD，∠ADB＝∠BDC，BD＝BD，∴△ABD≌△CBD，∴AB＝CB.∵E为AC的中点，∴DE⊥AC，BE⊥AC.∵DE∩BE＝E，DE，BE⊂平面BED，∴AC⊥平面BED.∵AC⊂平面ACD，∴平面BED⊥平面ACD.(2)如图，连接EF.由(1)知AC⊥平面BED.又∵EF⊂平面BED，∴EF⊥AC.∴S△AFC＝12AC·EF当EF⊥BD时，EF的长最小，此时△AFC的面积最小．由(1)知AB＝CB＝2.又∵∠ACB＝60°，∴△ABC是边长为2的正三角形，∴BE＝3.∵AD⊥CD，∴DE＝1，∴DE2＋BE2＝BD2，∴DE⊥BE.以点E为坐标原点，直线EA，EB，ED分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则E(0，0，0)，A(1，0，0)，B(0，3，0)，C(－1，0，0)，D(0，0，1)，∴AB＝(－1，3，0)，AD＝(－1，0，1)，DB＝(0，3，－1)，ED＝(0，0，1)，EC＝(－1，0，0)．设DF＝λDB(0≤λ≤1)，则EF＝ED+DF＝ED＋λDB＝(0，0，1)＋λ(0，3，－1)＝(0，3λ，1－λ∵EF⊥DB，∴EF·DB＝(0，3λ，1－λ)·(0，3，－1)＝4λ－1＝0，∴λ＝14，∴EF＝(0，34，34)，∴CF＝EF-EC＝(0，34，34)－(－设平面ABD的法向量为n＝(x，y，z)，则n·AB取y＝1，则x＝3，z＝3，∴n＝(3，1，3)．设当△AFC的面积最小时，CF与平面ABD所成的角为θ，则sinθ＝|cos〈n，CF〉|＝n·CFnCF＝故当△AFC的面积最小时，CF与平面ABD所成的角的正弦值为43[巩固训练1]解析：(1)证明：∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD，∵四边形ABCD为矩形，∴AD⊥CD，又AD∩PA＝A，AD、PA⊂平面PAD，∴CD⊥平面PAD，∵AE⊂平面PAD，∴AE⊥CD，在△PAD中，PA＝AD，E为PD的中点，∴AE⊥PD，而PD∩CD＝D，PD、CD⊂平面PCD，∴AE⊥平面PCD.(2)以A为坐标原点，分别以AB、AD、AP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，设AP＝a(a＞0)，则C(2，1，0)，P(0，0，a)，E(0，12，∴AC＝(2，1，0)，AE＝(0，12，a2)，PC＝(2，1设平面ACE的一个法向量为n＝(x，y，z)，则n·AC=2x+y=0n·可得n＝(a2，－a，－1)设直线PC与平面ACE所成角为θ，则sinθ＝|cos〈n，PC〉|＝n·FCnFC＝a54a即当AP＝2时，直线PC与平面ACE所成角最大，此时三棱锥E-ABC的体积V＝13×12×2×1×微专题2二面角保分题解析：(1)证明：取AD的中点M，连接EM、MC，∵E为A1D的中点，F为CC1的中点，∴EM∥AA1，EM＝12AA1，又CF∥AA1，CF＝12AA∴EM∥CF，EM＝CF，∴四边形EMCF为平行四边形，∴EF∥CM，又EF⊄平面ABCD，CM⊂平面ABCD，∴EF∥平面ABCD.(2)设AB＝AA1＝2BC＝2CD＝4，∵AC⊥BC，∴AC＝23.由题意知CA、CB、CC1两两垂直，故以C为坐标原点，分别以CA、CB、CC1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．则A1(23，0，4)、O(3，1，0)、F(0，0，2)、C(0，0，0)、D(3，－1，0)，∴A1D的中点E的坐标为(332，－12∴OF＝(－3，－1，2)，EF＝(－332，设平面OEF的一个法向量为n＝(x，y，z)，则n·OF=0n·EF令x＝3，得n＝(3，9，6)，∵AC⊥BC，AC⊥CC1，BC∩CC1＝∴AC⊥平面BCC1，∴平面BCC1的一个法向量为CA＝(23，0，0)，cos〈n，CA〉＝n·CAn·CA∴平面OEF与平面BCC1夹角的余弦值为1020提分题[例2]解析：(1)证明：连接BD交AC于O，易证O为BD中点，又F是PD的中点，所以OF∥PB，又OF⊂平面AFC，且PB不在平面AFC内，故PB∥平面AFC.(2)取PC中点为Q，以O为坐标原点，OB为x轴，OC为y轴，OQ为z轴建立空间直角坐标系，设OB＝m，则A(0，－1，0)，B(m，0，0)，C(0，1，0)，P(0，－1，2)，D(－m，0，0)⇒F(－m2，－12，AP＝(0，0，2)，OF＝(－m2，－12，1)，OC＝(0，1，设平面AFC的法向量为n＝(x，y，z)，由n⊥OFn⊥OC⇒-m2x-12y+z=0y=0，令x由PA与平面AFC所成的角正弦值为217⇒217＝AP·nAP·n平面ACD的法向量为m＝(0，0，1)，则锐二面角F-AC-D的余弦值为m·nm·n[例3]解析：(1)证明：在梯形ABCD中取AD中点N，连接CN，则由BC平行且等于AN知ABCN为平行四边形，所以CN＝AB，由CN＝12AD知C点在以AD为直径的圆上，所以AC⊥CD又AP⊥CD，AP∩AC＝A,AP，AC⊂平面PAC，∴CD⊥平面PAC，又CD⊂平面ADC，∴平面APC⊥平面ADC.(2)取AC中点O，连接PO，由AP＝PC，可知PO⊥AC，再由平面PAC⊥平面ACD，AC为两面交线，所以PO⊥平面ACD，以O为原点，OA为x轴，过O且与OA垂直的直线为y轴，OP为z轴建立空间直角坐标系，令AB＝2，则A(3，0，0)，C(－3，0，0)，P(0，0，1)，D(－3，2，0)，由VP-ACM∶VD-ACM＝1∶2，得PM＝13所以OM＝OP+PM＝OP+13PD设平面ACM的法向量为n＝(x，y，z)，则由n·OM=0取z＝－1得x＝0，y＝1，所以n＝(0，1，－1)，而平面PAC的法向量m＝(0，1，0)，所以cos〈n，m〉＝m·nm又因为二面角P-AC-M为锐二面角，所以其余弦值为22[巩固训练2]1．解析：(1)证明：取线段PD的中点H，连接SO、OH、HA，如图，在△PCD中，O、H分别是PC、PD的中点，所以OH∥CD且OH＝12CD所以OH∥AS且OH＝AS，所以四边形ASOH是平行四边形，所以SO∥AH，又AH⊂平面PAD，SO⊄平面PAD，所以SO∥平面PAD.(2)取线段AD、BC的中点E、F，连结PE、EF.由点E是线段AD的中点，PA＝PD可得PE⊥AD，又EF⊥AD，所以∠PEF是二面角P-AD－B的平面角，即∠PEF＝23π，以E为原点，EA、EF方向分别为x轴、y轴正方向，建立如图所示坐标系，在△PAD中，AD＝4，PA＝PD＝22知：PE＝2，所以P(0，－1，3)，D(－2，0，0)，B(2，2，0)，C(－2，2，0)所以PD＝(－2，1，－3)，PB＝(2，3，－3)，PC＝(－2，3，－3)，设平面PBC的法向量n＝(x，y，z)，则n·PB=0n可取n＝(0，1，3)，设直线PD与平面PBC所成角为θ，则sinθ＝|cos〈PD，n〉|＝22·22＝所以直线PD与平面PBC所成角的正弦值为242．解析：(1)证明：在等腰梯形ABCD中，过A作AE⊥BC于E，过D作DF⊥BC于F，因为在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB＝CD＝1，∠BCD＝60°，所以BE＝CF＝12CD＝12，AE＝DF＝12所以AC＝BD＝322+322＝3所以BD2＋CD2＝BC2，所以BD⊥CD，同理AB⊥AC，又因为AP＝AB＝1，PB＝2，∴AP2＋AB2＝PB2，∴AB⊥AP又AC∩AP＝A，AC，AP⊂平面ACP，所以AB⊥平面ACP，因为PC⊂平面ACP，所以AB⊥PC.(2)取AC的中点为M，BC的中点为N，则MN∥AB，因为AB⊥平面ACP，所以MN⊥平面ACP，因为AC，PM⊂平面ACP，所以MN⊥AC，MN⊥PM，因为PA＝PC，AC的中点为M，所以PM⊥AC，所以MN，MC，MP两两垂直，所以以M为原点，以MN所在直线为x轴，以MC所在直线为y轴，以MP所在直线为z轴建立空间直角坐标系，则A(0，－32，0)，B(1，－32，0)，C(0，32，0)，P(0，0，PC＝(0，32，－12)，PB＝(1，－32，－平面APC的一个法向量为m＝AB＝(1，0，0)，设平面PBC的一个法向量为n＝(x，y，z)，则n·PC=32y-12z=0n·PB=x-32所以cos〈m，n〉＝m·nmn＝因为二面角A-PC-B为锐角，所以二面角A-PC-B的余弦值为217微专题3探索性问题提分题[例4]解析：(1)证明：因为四边形ABCD为平行四边形，且△ADE为等边三角形，所以∠BCE＝120°，又E为CD的中点，所以CE＝ED＝DA＝CB，即△BCE为等腰三角形，所以∠CEB＝30°.所以∠AEB＝180°－∠AED－∠BEC＝90°，即BE⊥AE.又因为平面AEP⊥平面ABCE，平面APE∩平面ABCE＝AE，BE⊂平面ABCE，所以BE⊥平面APE，又AP⊂平面APE，所以BE⊥AP.(2)取AE的中点O，连接PO，由于△APE为正三角形，则PO⊥AE，又平面APE⊥平面ABCE，平面APE∩平面ABCE＝AE，PO⊂平面EAP，所以PO⊥平面ABCE，PO＝3，BE＝23，取AB的中点G，则OG∥BE，由(1)得BE⊥AE，所以OG⊥AE，以点O为原点，分别以OA，OG，OP所在的直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz，则O(0，0，0)，A(1，0，0)，B(－1，23，0)，P(0，0，3)，E(－1，0，0)，则EA＝(2，0，0)，EB＝(0，23，0)，PB＝(－1，23，－3)，EP＝(1，0，3),假设存在点F，使平面AEF与平面AEP的夹角为45°，设PF＝λPB＝(－λ，23λ，－3λ)，λ∈[0，1]，则EF＝EP+PF＝(1，0，3)＋(－λ，23λ，－3λ)＝(1－λ，23λ，3