均值不等式及其应用

TOC\o"13"\h\z\u题型1基本不等式取等条件的理解 3题型2直接法 9题型3形如ba+ab型 12题型4配凑法 15◆类型1对勾函数法 15◆类型2公式ab≤a+b22或ab≤a+b2法 19◆类型3公式ab≤a2+b22法 22◆类型4公式(a+b2)2≤a2+b22法 24题型5“常数1”之分母是单项式 25题型6“常数1”之分母是多项式 30题型7和积可以化“1”型 33题型8和积不可以化“1”型 37题型9消元法 40题型10分子代换消元 43题型11齐次同除 47题型12恒成立问题 50题型13实际应用 53知识点一.均值不等式的证明方法1：几何面积法（赵爽所制的弦图)如图，在正方形中有四个全等的直角三角形.设直角三角形的两条直角边长为、，那么正方形的边长为.这样，4个直角三角形的面积的和是，正方形的面积为.由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，所以：.当直角三角形变为等腰直角三角形，即时，正方形缩为一个点，这时有.得到结论：如果，那么（当且仅当时取等号“=”）特别的，如果，,我们用、分别代替、，可得：如果，,则，（当且仅当时取等号“=”）.通常我们把上式写作：如果，,，（当且仅当时取等号“=”）方法2：代数法∵，当时，；当时，.所以，（当且仅当时取等号“=”）.注意：特别的，如果，,我们用、分别代替、，可得：如果，,则，（当且仅当时取等号“=”）.通常我们把上式写作：如果，,，（当且仅当时取等号“=”）.知识点二.均值不等式的几何意义如图，是圆的直径，点是上的一点，,，过点作交圆于点D，连接、.易证，那么，即.这个圆的半径为，它大于或等于，即，其中当且仅当点与圆心重合，即时，等号成立.注意：在数学中，我们称为的算术平均数，称为的几何平均数.因此均值不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.知识点三.用均值不等式求最大（小）值在用均值不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等.①一正：函数的解析式中，各项均为正数；②二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；③三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值.注意：两个不等式：与成立的条件是不同的，前者要求a，b都是实数，后者要求a，b都是正数.如是成立的，而不成立.知识点四.均值不等式的变形均值不等式常见形式使用条件使用形式“=”成立的条件a,b∈R+a+b≥2ab当且仅当a=b时等号成立a,b∈Ra2+b2≥2aba2+b2≥2|a||b|当且仅当a=b时等号成立a,b同号b当且仅当a=b时等号成立a,b∈Rab≤当且仅当a=b时等号成立a,b∈R(a+b)当且仅当a=b时等号成立a,b∈R14n当且仅当a=b时等号成立题型1基本不等式取等条件的理解【方法总结】基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方【例题1】（多选）（2023秋·高一课时练习）已知a>0,b>0，则下列不等式中正确的是（）A．ab≤a+b2C．1ab≥【答案】ABC【分析】利用a2+b【详解】因为a>0,b>0，由a2+b2≥2ab由由a+b≥2ab得ab≤a+b2故选：ABC.【变式11】1.（多选）（2022秋·湖北十堰·高一郧阳中学校考阶段练习）下列推导过程，其中正确的是（

）A．因为a,b为正实数，所以bB．因为a>3，所以4C．因为a<0，所以4D．因为x,y∈R,xy<0，所以xy【答案】ABD【分析】利用均值不等式的“一正、二定、三相等”的条件，逐项分析判断作答.【详解】对于A，a,b为正实数，有ba>0,ab>0，且b对于B，4a+a≥24a⋅a=4，当a>3时，4a对于C，因为a<0，则4对于D，x,y∈R,xy<0，则-x又当且仅当y=-x≠0时，-x故选：ABD【变式11】2.2023·全国·高一假期作业）不等式a2A．a=4 B．a=2 C．a=-2【答案】D【分析】利用基本不等式的取等条件即可求解.【详解】由基本不等式可知a2+4即a=±2故选：D.【变式11】3.（2021秋·上海静安·高一校考期中）给出下列命题中，真命题的个数为（

）①已知a,b∈R，则b②已知x∈R且x≠0，则|x+4③已知x∈R，则x2④已知a,b∈R，ab<0，则bA．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】利用基本不等式以及基本不等式的使用要求逐一判断即可.【详解】当ab<0时，①中的不等式是错误的，①错；因为x与4x同号，所以|x+4x|=|x|+|4x|是正确的，且|x|=|x2+2+1x2+2因为ab<0，所以-ab>0且-ba>0，且-b故选:B【变式11】4.（2022秋·江苏·高三校联考阶段练习）下列命题中正确的是（

）A．当x>1时，x+1x的最小值为2 B．当x<0C．当0<x<1时，x+1x的最小值为2 D．当【答案】B【分析】结合基本不等式“一正，二定，三相等”求解即可.【详解】选项A，∵x>1，x+1x≥2x⋅1选项B，当x<0时，-x>0，x+1x=-选项C，0<x<1，x+1x≥2xx>1时，x+1x≥2x⋅1故选：B【变式11】5.（2021秋·江西抚州·高一临川一中校考阶段练习）如图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客.我们教材中利用该图作为一个说法的一个几何解释，这个说法正确的是A．如果a>b>0，那么a>bB．如果a>b>0，那么aC．对任意正实数a和b，有a2+bD．对任意正实数a和b，有a+b≥2ab，当且仅当a=b【答案】C【解析】观察图形，设直角三角形的长直角边为a，短直角边为b，由四个三角形的面积和大正方形的面积的大小关系，得到a2【详解】通过观察，可以发现这个图中的四个直角三角形是全等的，设直角三角形的长直角边为a，短直角边为b，则大正方形的边长为a2如图，整个正方形的面积大于或等于这四个直角三角形的面积和，即a2当a=b时，中间空白的正方形消失，即整个正方形与四个直角三角形重合.故选：C.【变式11】6.（2023春·辽宁·高二凤城市第一中学校联考阶段练习）《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F在半圆O上，点C在直径AB上，且OF⊥AB，设AC=a，BC=b，则该图形可以完成的无字证明为（

）A．a+b2≥C．2aba+b≤【答案】D【分析】利用数形结合计算出OF,OC，再在Rt△OCF中，利用勾股定理得CF，再由CF≥OF【详解】设AC=a,BC=b，可得圆O的半径为r=OF=1又由OC=OB-BC=a+b在Rt△OCF中，可得F因为FO≤FC，所以a+b2≤a故选：D.【变式11】7.（2021秋·福建宁德·高一福建省宁德第一中学校考阶段练习）《几何原本》卷2的几何代数法（几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据.通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明；如图所示图形，点D、F在圆O上，点C在直径AB上，且OF⊥AB，CD⊥AB，CE⊥OD于点E，设AC=a，BC=b(a>b>0)，该图形完成2aba+b<ab<a+b2<aA．CE，CD B．CE，CF C．DE，CF D．OF，CD【答案】C【分析】利用图形得到OF=a+b2，OC=a-b2，然后在Rt△COF和在【详解】解：由图形可知：OF=12AB=在Rt△COF中，由勾股定理得CF=O在Rt△COD中，由勾股定理得CD=O因为CD⊥AB，所以Rt△COD∼Rt△ECD，则DEDC=DC所以图中表示a，b的调和平均数2aba+b、平方平均数a2+b2故选：C题型2直接法【方法总结】均值不等式常见形式使用条件使用形式“=”成立的条件a,b∈R+a+b≥2ab当且仅当a=b时等号成立a,b∈Ra2+b2≥2aba2+b2≥2|a||b|当且仅当a=b时等号成立a,b同号b当且仅当a=b时等号成立a,b∈Rab≤当且仅当a=b时等号成立a,b∈R(a+b)当且仅当a=b时等号成立a,b∈R14n当且仅当a=b时等号成立【例题2】（2023秋·上海杨浦·高二复旦附中校考开学考试）已知a、b∈R，且a2+9b【答案】1【分析】利用基本不等式求得ab的最大值.【详解】ab=1当且仅当a=3ba故答案为：1【变式21】1.（2022秋·新疆乌鲁木齐·高一校考期中）已知a、b大于0，a+b=3，则ab的最大值是．【答案】9【分析】利用基本不等式的变形可得答案.【详解】因为a+b=3，所以ab≤a+b22故答案为：94【变式21】2.（2023春·甘肃兰州·高二兰州一中校考期末）已知a>0,b>0，若2a+b=4，则ab的最大值为．【答案】2【分析】利用基本不等式即可得到答案.【详解】因为a,b>0，所以2a+b=4≥22a⋅b，解得ab≤2当且仅当2a=b即a=1，b=2时，等号成立．所以ab的最大值为2.故答案为：2【变式21】3.（2023秋·高一课时练习）已知正数a,b满足1a+1【答案】4【分析】对题干条件直接使用一次基本不等式即可【详解】由于a,b都是正数，又1a+1对不等式平方整理可得，ab≥49，当即ab∈【变式21】4.（2020·全国·高三对口高考）已知x､y∈R+，且1x+2y=3【答案】98或【分析】由题意可得3=1x+2y≥2【详解】因为x,y∈R+且所以3=1x+2y≥2当且仅当1x=2y，即x=2此时yx取最大值为9故答案为：98【变式21】5.（2021秋·上海普陀·高一曹杨二中校考阶段练习）若正数x，y满足1y+x=4，则xy【答案】4【分析】结合已知条件利用均值不等式求解即可.【详解】因为x>0，y>0，故由均值不等式可知，1y+x=4≥21当且仅当1y=x时，即x=2，y=1故答案为：4.题型3形如ba+a【方法总结】形如，要分类讨论正负，则(当且仅当时取“=”），则|ba+a【例题3】（多选）（2022秋·吉林白城·高一校考期中）下列结论正确的是（

）A．当x≥0时，xB．当x>0时，xC．x+1D．x2【答案】AB【分析】根据题意，由基本不等式对选项逐一判断，即可得到结果.【详解】当x≥0时，x+1+1x+1≥2当x>0时，x+1x≥2x当x<0时，显然x+1因为x2+2+1x2故选：AB【变式31】1.（2023春·山西运城·高二校考阶段练习）已知x∈（0，+∞）.(1)求y=x+1(2)求y=x【答案】(1)[2，+∞）(2)最小值2+23，x=【分析】（1）由题意利用基本不等式即可求解．（2）由已知可得y=x2+2x+3【详解】（1）因为x∈（0，+∞），所以y=x+1取等号条件：x=1因为x∈（0，+∞），所以x＝1，所以函数y=x+1（2）y=x2+2x+3因为x∈（0，+∞），所以x+3x≥所以y＝2+（x+3x）≥2+23，取等号条件：x因为x∈（0，+∞），所以x=3，当x=3时，该函数取最小值2+2【变式31】2.（2022秋·高一课时练习）已知x>1，求x-1x+3+x-1的最大值【答案】15/【分析】化简得到x-1x+3+【详解】由x-1x+3+因为x>1，可得x-1+当且仅当x-1=4x-1所以x-1x+3+x-1=1x-1故答案为：15【变式31】3.（2023秋·江苏苏州·高三苏州中学校考开学考试）设xy>0，则2y-xx+x+2y【答案】22+1【分析】先将2y-xx+x+2y【详解】因为x，y为正数，由2y-xx+x+2y当且仅当2yx=x故答案为：22【变式31】4.（多选）（2022秋·福建泉州·高一福建省南安第一中学校考阶段练习）已知x+y=1，y>0，x≠0，则12A．54 B．34 C．1【答案】AB【分析】依题意可得x<1且x≠0，分0<x<1和x<0去掉绝对值号，然后用基本不等式求出其最值，从而得到答案.【详解】由x+y=1，y>0，x≠0，得y=1-x>0，则x<1且x≠0.当0<x<1时，12x=14+2-x4x+当x<0时，12x=-14+2-x-4x综上可得12故选：AB.题型4配凑法【方法总结】凑配“对钩”型：添常数凑配.◆类型1对勾函数法【例题41】（2023·全国·高一专题练习）（1）当x>3时，求函数y=x+8（2）当x<32时，求函数（3）当x>-1时，求函数y=x（4）当x>-1时，求函数y=x（5）设x>-1，求函数y=x+5（6）①当x>32时，求函数②求函数y=x【答案】（1）42+3；（2）-52；（3）22;（4）2+2;（5）9,+【分析】（1）将函数变形为y=x-3+8（2）将函数变形为y=--（3）将函数变形为y=x+1+2（4）将函数变形为y=1+2×x+1（5）将函数变形为y=x+1+4（6）①利用换元法，以及基本不等式求解；②利用换元法，结合对勾函数的单调性求解.【详解】（1）因为x>3，所以x-3>0，y=x+8当且仅当x-3=8x-3，即所以函数y=x+8x-3的最小值为（2）因为x<32，所以y=x+8因为2x-3<0，所以-2x-3所以-1当且仅当-12(2x-3)=所以y=x+8所以函数y=x+82x-3的最大值为（3）因为x>-1，所以x+1>0，y=x当且仅当x+1=2x+1，即所以函数y=x2+2x+3（4）y=x令t=x+1>0，则x=t-1，所以y=1+2×x+1因为t=x+1>0，所以t+2当且仅当t=2t，即t=2所以y=1+2所以函数y=x2+2x+3（5）y=x+5因为x>-1，所以x+1>0，所以x+1+4当且仅当x+1=4x+1，即所以y=x+5所以函数y=x+5x+2x+1（6）①令m=4x2-3，因为所以y=4因为m+4当且仅当m=4m，即m=2，也即所以y=4所以函数y=4②令n=x2+1，则n≥1所以y=x因为函数y=3x+1x在所以当n=1时，即x=0时，3n+1所以y=x所以函数y=x2+1【变式41】1.（2023·全国·高一专题练习）函数fx=x2【答案】4【分析】将函数fx=x【详解】fx=x+4x-2=x-2+fx故答案为：4【变式41】2.（2023·全国·高一课堂例题）函数f（x）＝x2+3x【答案】32【分析】先对函数进行化简，然后利用对勾函数的单调性可求出f(x)有最小值.【详解】f（x）＝x2+3x2+2＋1＝x令t=x2+2，t∈则函数f（x）可转化为g（t）＝t＋1t＋1，t∈[2，＋∞）．令u（t）＝t＋1t（t≥则由u（t）在[2，＋∞）上单调递增可知，u（t）≥2＋12＝3则g（t）≥32所以函数f（x）的最小值为32故答案为：32【变式41】3.（2023秋·天津和平·高三天津市第二南开中学校考开学考试）已知x,y∈R+，则yx【答案】3【分析】根据题意，化简yx【详解】由x,y∈R可得yx当且仅当y+xx=4x所以yx+4x故答案为：3.◆类型2公式ab≤a+b2【例题42】（2022秋·陕西商洛·高一校考期中）已知0<x<32，则A．13 B．12 C．2【答案】D【分析】x3-2x分子分母乘以2【详解】∵0<x<32则由基本不等式得，x3-2x当且仅当2x=3-2x，即x=3故x3-2x取得最大值时x的值为故选：D【变式42】1.（2023·全国·高一课堂例题）函数y=x5-2x0<x<2的最大值【答案】258/【分析】方法一：将函数变形为y=x5-2x=1【详解】方法一：y=x5-2x∵0<x<2，∴0<2x<4，1<5-2x<5，∴y≤12×2x+5-2x故当x=54时，方法二：由0<x<2知52-x>0，∴当且仅当x=52-x故当x=54时，故答案为：25【变式42】2.（2023·全国·高一专题练习）已知0<x<1，则当x(5-5x)取最大值时，x的值为（

）A．54 B．12 C．1【答案】B【分析】由x(5-5x)=5x(1-x)≤5⋅(【详解】由0<x<1，可得1-x>0，则x(5-5x)=5x(1-x)≤5⋅(x+1-x2)2所以x=12时，故选：B.【变式42】3.（2023·全国·高一专题练习）已知0<x<4，则x4-xA．12 B．1 C．2【答案】D【分析】利用基本不等式可求得x4-x【详解】因为0<x<4，则4-x>0，所以x4-x当且仅当x=4-x，即x=2时，等号成立，所以x4-x所以x4-x故选：D.【变式42】4.（2023·全国·高一专题练习）3-aa+6，-6<a<3的最大值为【答案】92/【分析】根据题意，由基本不等式即可得到结果.【详解】因为-6<a<3，所以3-a>0，a+6>0，由基本不等式可得3-aa+6≤3-a+a-62=92，当且仅当3-a=a+6，即a=-故答案为：92【变式42】5.（2023秋·江苏淮安·高一统考期末）已知a，b为正实数，满足(a+3b)(2a+b)=6，则8a+9b的最小值为．【答案】12【分析】利用基本不等式求解即可.【详解】∵a,b为正实数，满足(a+3b)(2a+b)=6，∴(2a+6b)(6a+3b)=36，∴36=(2a+6b)(6a+3b)≤(2a+6b+6a+3b)24当且仅当2a+6b=6a+3b(2a+6b)(6a+3b)=36，即a=故8a+9b的最小值为12.故答案为：12.【变式42】6.（2022春·上海杨浦·高二复旦附中校考期末）已知实数a､b满足a2+2b2=2【答案】25【分析】利用基本不等式计算可得；【详解】解：因为a2+2b所以a2即2a2+1b2即b2+1=5故1+a21+故答案为：25◆类型3公式ab≤a2【例题43】（2022秋·云南曲靖·高一校考阶段练习）已知0<x<5，则xA．1 B．2 C．52 D．【答案】C【分析】直接使用基本不等式可得.【详解】因为0<x<5所以x5-当且仅当x2=5-x所以x5-x2故选：C【变式43】1.（2023秋·山西晋中·高三校考开学考试）已知0<x<2，则y=2x4-A．2 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】利用基本不等式进行求解即可.【详解】因为0<x<2，所以y=2x4-当且仅当x2=4-x2时取等号，因为故选：B【变式43】2.（2023·高一课时练习）已知正实数x，y满足x2+y22【答案】324【分析】由题可得y2=2-2x【详解】由x2+y则x1+2-2当且仅当2x2=3-2故答案为：32【变式43】3.（2023·全国·高一专题练习）已知0<x<22，则x1-2【答案】2【分析】变形x1-2【详解】∵0<x<22,∴当且仅当2x2=1-2故答案为：24◆类型4公式(a+b2)【例题44】（2023秋·黑龙江哈尔滨·高三哈九中校考开学考试）已知正实数m，n满足m+n=1，则m+A．2 B．2 C．22 D．【答案】B【分析】利用基本不等式a+b2【详解】由于a+b2所以m+即m+n≤故选:B．【变式44】1.（2023·全国·高三专题练习）当12<x<52时，函数【答案】2【分析】由已知条件可得出y2=4+22x-1【详解】因为12<x<52，则2x-1>0，所以，y≤4+2x-1所以，0<y≤22，当且仅当2x-1=5-2x时，即当x=因此，当12<x<52时，函数故答案为：22【变式44】2.（2022春·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）已知正数x，y满足x22+y2【答案】2【分析】将x22+y2=1变形为【详解】因为a2+b故由题意，正数x，y满足x22+即(x+2y)2当且仅当x=2故答案为：2．题型5“常数1”之分母是单项式【方法总结】条件和所求式子中有=1与a+b=1，可以借助m=来来构造替换，进而展开用均值不等式【例题5】（2022秋·天津武清·高一校考阶段练习）已知正实数a，b满足a+2b=1，则1aA．92 B．9 C．22【答案】B【分析】运用“1”代换及基本不等式即可求得结果.【详解】因为1a当且仅当2ba=2a所以1a故选：B.【变式51】1.（2023秋·四川巴中·高三统考开学考试）已知正数x,y满足x2+y=1，则A．5 B．92 C．4 D．【答案】B【分析】首先1x+2【详解】因为x2则1x当且仅当yx=x故选：B．【变式51】2.(多选)（2023秋·高一单元测试）若a>0，b>0，且a+2b=3，则2a＋1A．3 B．8C．103【答案】ABC【分析】由条件可得13【详解】由a+2b=3，得13所以243+a当且仅当a=2b=3故选：ABC【变式51】3.（2023秋·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨三中校考开学考试）已知x∈0,1，则1A．6 B．3+22 C．2+2【答案】B【分析】根据x+1-x=1得到1x【详解】设x=a，1-x=b，则a+b=1，a,b∈0,11x+21-x=1a故选：B.【变式51】4.（2022秋·福建泉州·高一统考期中）已知两个正实数x，y满足x+y=1，则4y+xxy的最小值是【答案】9【分析】结合x+y=1，利用基本不等式求和的最小值.【详解】因为正实数x，y满足x+y=1，所以4y+xxy当且仅当x=23，即4y+xxy故答案为：9.【变式51】5.（2023秋·天津西青·高三校考开学考试）已知正实数m，n满足1m+8n=4，则8m+n的最小值为【答案】8【分析】利用基本不等式“1”的妙用即可得解．【详解】因为1m+8所以8m+n=1当且仅当1m+8所以8m+n的最小值为8.故答案为：8.【变式51】6.（2021春·新疆巴音郭楞·高二校考期中）已知a,b,c∈R+，a+b+c=1，则A．3 B．6 C．9 D．1【答案】C【分析】利用基本不等式求得正确答案.【详解】1=≥3+2b当且仅当a=故选：C【变式51】7.（2023·全国·高一专题练习）已知a>0，b>0，2a+1A．8 B．16 C．24 D．32【答案】D【分析】由题意利用“1”的妙用，可先求出a+2b的最小值，再由a2【详解】由a+2b=（当且仅当a=4,b=2时取等号），又由a2+4b可得a2故选：D．【变式51】8.（2023·全国·高一专题练习）已知正实数x,y满足1x+2A．2 B．4 C．8 D．9【答案】C【分析】化简已知式可得2xy-2x-y=2x+y，因为2x+y⋅1=【详解】2xy-2x-y=2xy⋅1-=2y+4x-2x+y=2x+y而2x+y⋅1=当且仅当4xy=y故选：C.题型6“常数1”之分母是多项式【方法总结】形如a+b=t，求型，则可以凑配（a+m）+（b+n）=t+m+m，再利用“1”的代换来求解。其中可以任意调换a、b系数，来进行变换凑配。【例题6】（2023秋·四川巴中·高三统考开学考试）已知x>y>0且4x+3y=1，则12x-yA．10 B．9 C．8 D．7【答案】B【分析】令a=2x-y,b=x+2y，结合4x+3y=1可得a+2b=1，由此即得12x-y【详解】由题意x>y>0得，2x-y>0,x+2y>0，令a=2x-y,b=x+2y，则a+2b=4x+3y，由4x+3y=1得a+2b=1，故1≥5+22b当且仅当2ba=2ab，结合也即2x-y=13,x+2y=故12x-y故选：B【变式61】1.（2023秋·江苏连云港·高三校考阶段练习）已知x+y=1,y>0,x>0，则12xA．54 B．0 C．1 D．【答案】A【分析】根据“1”技巧，利用均值不等式求解.【详解】∵x+y=1，∴x+y+1=2，∴1∵y>0,x>0，∴y+1∴1当且仅当y+14x=xy+1，即故选：A【变式61】2.（2023秋·高一课时练习）若正实数x，y满足x+y=1，求4x+1【答案】9【分析】利用“1”的代换，式子变形展开后利用基本不等式求最值即可.【详解】因为x+y=1，所以(x+1)+y=2，又x>0,y>0，所以4x+1+1y=≥12当且仅当4yx+1=x+1所以4x+1+1【变式61】3.（2023秋·河南许昌·高三许昌高中校考开学考试）若正数a，b满足a+b=1，则aa+1+b【答案】1【分析】先分离常数，再化简应用基本不等式计算范围即可.【详解】u=a因为正数a，b满足a+b=1,a+b≥2ab，所以ab∈0,1故答案为：1【变式61】4.（2023春·江西赣州·高三校联考阶段练习）已知不等式2x-a≤a的解集为0,4(1)求实数a的值；(2)若m>0,n>0，且m+n=a，求1m+2n【答案】(1)4(2)1【分析】（1）分a<0，a=0，a>0三种情况讨论即可；（2）设m+2n=p，2m+n=q，则p+q=3m+3n=12.利用1m+2n【详解】（1）当a<0时，不等式的解集为∅，不合题意；当a=0时，不等式的解集为{0}，不合题意;当a>0时，-a≤2x-a≤a，即0≤x≤a，因为不等式的解集为[0,4]，所以（2）由(1)知，m+n=4，设m+2n=p，2m+n=q，则p+q=3m+3n=12.1m+2n当且仅当p=q，即m=n=2时，等号成立，所以1m+2n+1【变式61】5.（2023秋·浙江杭州·高一杭州市长河高级中学校考期末）若x>0，y>0，且1x+1+1A．4 B．43 C．1+23【答案】C【分析】设x+1=a,x+2y=b，可将题目转化为已知1a+1【详解】设x+1=a,x+2y=b，则x=a-1,2y=b-a+1，且a>0,b>0，题目转化为已知1a+1即4x+2y=4a-1而3a+b=3a+b当且仅当3ab=b所以4x+2y=3a+b-3≥4+23故选：C.题型7和积可以化“1”型【方法总结】，一个式子有“和”有“积”且无常数型的等式，可以同除积，再进行“1”的代换【例题7】（2023·全国·高一专题练习）若正数x，y满足x+y=xy，则x+2y的最小值是（

）A．6 B．2+32 C．3+22【答案】C【分析】对x+y=xy变形得到1y【详解】因为正数x，y满足x+y=xy，所以x+yxy所以x+2y=x+2y当且仅当xy=2y所以x+2y的最小值为3+2故选：C【变式71】1.（2023秋·山东菏泽·高一校考期末）已知正实数a、b满足a+9b=ab，则a+b的最小值是.【答案】16【分析】由已知等式变形可得9a+1b=1，将代数式a+b【详解】因为正实数a、b满足a+9b=ab，等式a+9b=ab两边同时除以ab可得9a所以，a+b=a+b当且仅当9ba=a所以，a+b的最小值为16.故答案为：16.【变式71】2.（多选）（2023春·山东德州·高二统考期末）若正实数a，b满足a+b=ab，则（

）A．0<a<1 B．ab≥4C．4a+b≥9 D．2【答案】BCD【分析】举出反例即可判断A；利用基本不等式即可判断B；由题意可得1a+1【详解】对于A，当a=2,b=2时，满足a+b=ab，故A错误；对于B，由ab=a+b≥2ab，得ab-2ab≥0，所以ab所以ab≥4，当且仅当a=b=2时，取等号，故B正确；对于C，由a+b=ab，得1a则4a+b=4a+b当且仅当4ab=b对于D，由a+b=ab，得a2则2a当且仅当a=b=2时，取等号，所以2a故选：BCD.【变式71】3.（多选）（2023秋·江西宜春·高三江西省宜丰中学校考开学考试）已知a>0，b>0，且2a+b=ab，则（

）A．ab≥8 B．a+b≤3+2C．b>2 D．a>1【答案】ACD【分析】利用基本不等式和不等式的性质对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】根据基本不等式可知2a+b=ab≥22ab，则ab≥8当且仅当a=2，b=4时，等号成立，故A正确；因为a>0，b>0，2a+b=ab变形得2b所以a+b=当且仅当2ab=ba，即所以a+b≥3+22由2b+1a=1，a>0，b>0由2a+b=ab，可得a-1b-2根据前面分析得b>2，即b-2>0，所以a-1>0，即a>1，故D正确．故选：ACD【变式71】4.（2023秋·辽宁丹东·高一丹东市第四中学校考期末）已知正数x，y满足x+4y-xy=0，则4x+yA．13 B．49 C．【答案】B【分析】先利用基本不等式中“1”的妙用求得x+y的取值范围，从而求得4x+y【详解】因为x>0，y>0，x+4y-xy=0，所以4x故x+y=4当且仅当4yx=xy且所以x+y≥9，故4x+y≤49，则故选：B.【变式71】5.（2023·全国·高一专题练习）若a>0，b>0，且a-1b-1=1，A．12 B．14 C．16 D．18【答案】D【分析】由a-1b-1=1，可得【详解】a-1b-1=1，于是2a+8b=2a+8b当且仅当8ba=2a故选：D题型8和积不可以化“1”型【方法总结】形如求型，可以对“积pxy”部分用均值，再解不等式，注意凑配对应的“和”的系数系数，如下：【例题8】（2023秋·河北保定·高二校联考开学考试）若x>0，y>0且xy=x+4y+5，则xy的最小值为（

）A．1 B．5 C．25 D．12【答案】C【分析】利用基本不等式计算即可.【详解】因为x,y>0，所以xy=x+4y+5≥2x⋅4y当且仅当x=4y时取等号，解不等式xy≥4xy+5⇒xy≥5，xy≥25，当故选：C【变式81】1.（2023秋·贵州遵义·高三校考阶段练习）若正数a，b满足a2+ab+4bA．310 B．23 C．3【答案】C【分析】根据题意结合基本不等式运算求解.【详解】因为a，b均为正数，则a2当且仅当a2=4b所以ab≤35，即ab的最大值为故选：C.【变式81】2.（2023秋·湖南长沙·高二长郡中学校考开学考试）若正实数x，y满足x+y+xy=8，则下列结论不正确的是（

）A．x+y的最小值为4 B．xy的最大值为4C．x+2y的最小值为62-3 D．【答案】D【分析】根据基本不等式及其变形逐项判断即可.【详解】对于A项，x+y=8-xy≥8-x+y22解得x+y≥4，当且仅当x=y=2时，等号成立，故A正确；对于B项，由A项可知x+y≥4，所以xy=8-x+y≤4，当且仅当对于C项，由题可知x+1y+1故x+2y=x+1当且仅当x+1=2对于D项，x2+y2=x+y2故选：D.【变式81】3.（多选）（2021秋·辽宁大连·高三大连八中校考阶段练习）若实数a，b满足a2A．a+b≥-2 B．a+b≤1C．a2+【答案】AC【分析】根据给定的等式，利用均值不等式及重要不等式建立不等式，再求解不等式判断作答.【详解】a,b∈R，由a2+于是(a+b)2-1=3ab≤3(a+b2解得-2≤a+b≤2，A正确，B错误；又a2+b2-1=ab≤a2故选：AC【变式81】4.（2023春·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）已知y>2，且6y-2x+xy=14，则x+3y的最小值为.【答案】2【分析】先由条件6y-2x+xy=14变形为正数乘积形式，再将所求x+3y配凑成正数和的形式，最后利用基本不等式求解最值即可.【详解】由6y-2x+xy=14，得(x+6)(y-2)=2，由y>2得x+6=2所以x+3y=x+6+3(y-2)≥23(x+6)(y-2)当且仅当x+6=3(y-2)=6故答案为：26题型9消元法【方法总结】如果不容易直接观察出均值，可以反解代入消元，在构造“单变量”均值形式求解【例题9】（2023·高三课时练习）已知正数x､y满足x+y=3，则x-4y的最大值是【答案】1【分析】由题设可得x=3-y，代入x-4【详解】由题意，x=3-y，∴x-4当且仅当y=4y，即∴x-4y的最大值是故答案为：-1【变式91】1.（2023春·江苏苏州·高二校考阶段练习）已知x>1，y<0，且3y1-x=x+8，则x-3y的最小值为【答案】8【分析】由题意，3y=x+81-x，所以代入化简得x-3y=x【详解】因为3y(1-x)=x+8，所以3y=x+8所以x-3y=x-x+8又因为x>1，所以x-1>0，所以x-3y≥2(x-1)⋅9x-1+2=8，当且仅当则x-3y的最小值为8.故答案为：8.【变式91】2.（2020秋·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨三中校考阶段练习）若x>4，y>1，且xy=12+x+4y，则x+yA．5 B．8 C．13 D．16【答案】C【分析】由xy=12+x+4y可得y=x+12x-4，从而将x+y化为【详解】由题意x>4，y>1，xy=12+x+4y得y=故x+y=x+16由于x-4>0当且仅当x-4=16x-4即x=8时取等号，即故x+y的最小值是13，故选：C【变式91】3.（2023秋·新疆·高一校联考期末）设x>0,xy+y=4，则z=3x+y+2的最小值为（

）A．43-1C．42【答案】A【分析】先将目标函数化简，得到z=3x+1【详解】由题意x>0,xy+y=4，所以y=4z=3x+4x+1+2=3当且仅当3x+1=4故选：A【变式91】4.（2021秋·江苏·高一专题练习）已知正数x，y满足xy=x-yx+3y，则y的最大值为【答案】1【分析】将目标式中的x,y进行分离，用x表达y，利用基本不等式即可其求得y的范围.【详解】因为x，y为正数，所以xy=x-yx+3y，故则3y2+x+1xy-1=0整理得3y2+2y-1≤0，且y>0故y的最大值为13故答案为：13【变式91】5.（2023·全国·高一专题练习）若正数x、y满足x+4y-xy=0，则4x+y【答案】4【分析】根据x+4y-xy=0，可得y=xx-4【详解】∵正数x、y满足x+4y-xy=0，∴y=x∴4当且仅当x－4=4x-4时，即x=6等号成立，故答案为：4题型10分子代换消元【例题10】（2022秋·云南保山·高一校联考阶段练习）已知a>0，b>0，a+2b=1，则b2+a+12ab【答案】10+3/【分析】将所求式子化简整理为5b2a【详解】b=（当且仅当5b2a=ab，即∴b2+a+1故答案为：10+3【变式101】1.（2023·浙江温州·高二统考学业考试）已知正数a，b满足2a+b=2，则5a2+3【答案】16【分析】由5a【详解】由2a+b=2得2a+b2=4，即则5=9当9a2=4b2所以5a故答案为：16.【变式101】2.（2023·全国·高一专题练习）已知正数a，b满足a+b=1，则a+6b+3abA．25 B．19+26 C．26【答案】A【分析】先进行化简得a+6b+3ab【详解】因为正数a，b满足a+b=1，所以a+6b+3=13+9ba+4ab即a=3故选：A.【变式101】3.（2023·全国·高一专题练习）若正数x,y满足x+2y=2，则yxA．2+1 B．22+1【答案】A【分析】利用基本不等式及不等式的性质即可求解.【详解】因为正数x,y满足x+2y=2，所以x+2y2所以yx当且仅当x2=2y当x=22-2,y=2-2时，y故选：A.【变式101】4.（2022秋·全国·高一专题练习）若a，b都是正数，且ab=3，则1aA．4 B．6 C．23 D．【答案】C【分析】通过条件，将1a【详解】因为1a+1b+9a+b所以1a当且仅当a+b3=9a+b，即故选：C．【变式101】5.（2022秋·贵州毕节·高一统考期末）已知x>0，y>0，且x+y=4，则x2A．4 B．72 C．25【答案】C【分析】根据题意整理可得x2【详解】由于x>0，y>0，且x+y=4，则x2当且仅当yx=x故x2+4x故选：C．【变式101】6（2023·全国·高一专题练习）已知a＞0，b＞0，且a+2b=1，则b+a2ab【答案】1+22/【分析】由b+a【详解】因为b+a≥1+22b当且仅当2ba=a故b+a2ab故答案为：1+2【变式101】7.（2023春·云南·高一校考阶段练习）已知a>-2，b>0，a+2b=3，则2a+b+4a+2A．4 B．6 C．8 D．10【答案】B【分析】整理得出a+2+2b=5，由已知变形可得2a+b+4【详解】因为a>-2，b>0，则a+2>0，因为a+2b=3，则a+2+2b=5所以，2a+b+4=5=b当且仅当ba+2=a+2故2a+b+4a+2+5故选：B.题型11齐次同除【方法总结】一般情况下，满足（1）分式；（2）分子分母齐次。则可以同除构造单变量来求最值。【例题11】（2023·全国·高一专题练习）已知x>y>0，则x2A．2+3 B．C．22+2【答案】C【分析】设t=x【详解】x2+y2xy-于是x2令y=t+1+2t-1(t>1)当t>1t-1=2t-1，即t=2+1，也即x=(1+故选：C【变式111】1.（2022秋·天津北辰·高一校考阶段练习）已知a>0,b≥0，则a(a+b)2a+b的最大值为【答案】12/【分析】令t=b【详解】a(a+b)2a+b令t=ba，则上式因为t=ba≥0所以1t+1+2+1当且仅当t+1=1t+1，即所以a(a+b)2a+b的最大值为1故答案为：1【变式111】2.（2023·全国·高一专题练习）已知正数x，y满足xx+2y=9，则yx+y【答案】1【分析】由题设将目标式化为y(x+y)【详解】y(x+y)2=所以目标式最大值为16故答案为：1【变式111】3.（2023·全国·高一专题练习）已知a>0，b>0，a+b=1，则ab2a+3b的最大值为【答案】5-26/【分析】将ab2a+3b化为12b+3【详解】由已知a>0，b>0，a+b=1，则ab2a+3b而2b+3a故ab2a+3b的最大值为1故答案为：5-26【变式111】4.（2023秋·辽宁葫芦岛·高一统考期末）对任意正数x，满足xy+yA．2 B．1 C．12 D．【答案】C【分析】先将xy+yx=2-4y2两边同时除以y，得x+1x=2【详解】∵xy+yx=2-4y2∵x>0,x+1x≥2x⋅1∴2∵y>0，∴2y2+y-1≤0∴y的最大值为12故选：C.【变式111】5.（2022秋·高一单元测试）已知xy≠0，则x2x2【答案】4-2【分析】通分化简整理x2x2【详解】因为xy≠0，则x2所以x=1+x当且仅当x2则x2x2故答案为：4-22题型12恒成立问题【例题12】（2022秋·湖北·高一校联考阶段练习）已知不等式x+ay1x+1yA．2 B．4 C．6 D．9【答案】D【分析】根据基本不等式即可求解最值，进而由1+a+2a【详解】因为x+ay1x+1y所以1+a+2a≥16，整理得a+5a-3故选:D.【变式121】1.（2022秋·高一课时练习）若不等式a2+bA．2 B．2 C．3 D．1【答案】C【分析】将不等式a2+b22+3≥xa+b【详解】由题意不等式a2+b即x≤a又a2+b则a2当且仅当a=b=3故x≤3，即实数x的最大值为3故选：C【变式121】2.(多选)（2023·全国·高一专题练习）已知a>0,b>0，且2a+b=1，若不等式2a+1A．10 B．9 C．8【答案】BC【分析】根据基本不等式求出2a+1【详解】由a>0,b>0，且2a+b=1，可得2a+1b当且仅当2ba=2a又因为不等式2a+1b≥m故选：BC.【变式121】3.（2023秋·高一单元测试）已知对任意x>a，不等式2x+2x-a≥7【答案】3【分析】根据基本不等式求得2x+2【详解】因为x>a，故x-a>0，所以2x+≥22当且仅当2x-a=2即有2a+4≥7，所以a≥32，即a的最小值为故答案为：3【变式121】4.（2022秋·上海黄浦·高一上海市光明中学校考期中）已知x>0，y>0且x+y=3，若12x-y+22y-x≥a【答案】-【分析】依题意可得a≤12x-y+【详解】因为x>0，y>0且x+y=3，若12x-y则a≤1又1=1当且仅当2y-x2x-y=2(2x-y)2y-x，即∴a≤3+223，即实数a故答案为：-【变式121】5.（2023·全国·高一课堂例题）设x>0，y>0，不等式x+y≤a【答案】2/2【分析】由x+y≤ax+y易得a≥x【详解】显然a>0，由题意知，不等式a≥x则a必须大于或等于x+而x+当且仅当x=y时，取等号，故x+yx+y故a≥2，即a的最小值是2故答案为：2.题型13实际应用【例题11】（2023秋·高一单元测试）某公司决定对旗下的某商品进行一次评估，该商品原来每件售价为25元，年销售8万件．(1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？(2)为了扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定立即对该商品进行全面技术革新和销售策略调整，并提高定价到x元．公司拟投入16(x2-600)【答案】(1)40元(2)10.2万件，该商品的每件定价为30元【分析】（1）设每件定价为t元，依题意得8-t-251×0.2（2）由题意可得当x>25时，a≥150x+【详解】（1）设每件定价为t元，依题意得8-t-25整理得t2-65t+1000≤0，解得所以要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元．（2）依题意知当x>25时，不等式ax≥25×8+50+1等价于x>25时，a≥150由于150x+16x≥2所以a≥10.2，当该商品改革后销售量a至少达到10.2万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元．【变式131】1.（2023秋·高