(教案)中考数学压轴题

/中考数学压轴题1．在△ABC中，分别以AB、AC为直径在△ABC外作半圆O1和半圆O2，其中O1和O2分别为两个半圆的圆心．F是边BC的中点，点D和点E分别为两个半圆圆弧的中点．（1）如图1，连接O1F，O1D，DF，O2F，O2E，EF，证明：△DO1F≌△FO2E；（2）如图2，过点A分别作半圆O1和半圆O2的切线，交BD的延长线和CE的延长线于点P和点Q，连接PQ，若∠ACB＝90°，DB＝5，CE＝3，求线段PQ的长；（3）如图3，过点A作半圆O2的切线，交CE的延长线于点Q，过点Q作直线FA的垂线，交BD的延长线于点P，连接PA．求证：PA是半圆O1的切线．AAO1CBO2EDFPQ图2AOAO1CBO2EDF图1图3AO1CBO2EDFPQ（1）证明：∵O1，O2，F分别是AB，AC，BC边的中点AO1CBO2EDF∴O1F∥AC且O1F＝AO2，O2F∥AO1CBO2EDF∴∠BO1F＝∠BAC，∠CO2F＝∠BAC∴∠BO1F＝∠CO2F∵点D和点E分别为两个半圆圆弧的中点∴O1F＝AO2＝O2E，O2F＝AO1＝O1D，∠BO1D＝90°，∠CO2E＝90°∴∠BO1D＝∠∠CO2E，∴∠DO1F＝∠FO2E∴△DO1F≌△FO2EAO1CBO2EDFPQG（2）解：延长AO1CBO2EDFPQG∵点E是半圆O2圆弧的中点，∴AE＝CE＝3∵AC为半圆O2的直径，∴∠AEC＝90°∴∠ACE＝∠CAE＝45°，AC＝3eq\r(,2)∵AQ是半圆O2的切线，∴CA⊥AQ，∴∠CAQ＝90°∴∠AQE＝∠ACE＝45°，∠GAQ＝90°，∴AQ＝AC＝AG＝3eq\r(,2)同理：∠BAP=90°，AB=AP＝5eq\r(,2)∴CG＝6eq\r(,2)，∠GAB＝∠QAP∴△AQP≌△AGB，∴PQ＝BG∵∠ACB＝90°，∴BC＝eq\r(,AB2－AC2)＝4eq\r(,2)∴BG＝eq\r(,BC2＋GC2)＝2eq\r(,26)，∴PQ＝2eq\r(,26)（3）设直线FA与PQ的垂足为M，过C作CG⊥MF于G，过B作BH⊥MF于H，连接DH、AD、DM∵F是BC边的中点，∴S△ABF＝S△ACF，∴BH＝CG由（2）知，∠CAQ＝90°，AC＝AQ，∴∠2＋∠3＝90°∵FM⊥PQ，∴∠2＋∠1＝90°，∴∠1＝∠3同理：∠2＝∠4AO1CBO2EDFPQMGH∴△AMQAO1CBO2EDFPQMGH同（2）可证AD＝BD，∠ADB＝∠ADP＝90°∴∠ADB＝∠AHB＝90°，∠ADP＝∠AMP＝90°∴A、D、B、H四点在以AB为直径的圆上A、D、P、M四点在以AP为直径的圆上且∠DBH＋∠DAH＝180°∴∠5＝∠8，∠6＝∠7∵∠DAM＋∠DAH＝180°，∴∠DBH＝∠DAM∴△DBH≌△DAM，∴∠5＝∠9∴∠HDM＝90°，∴∠5＋∠7＝90°∴∠6＋∠8＝90°，∴∠PAB＝90°，∴PA⊥AB又AB是半圆O1的直径，∴PA是半圆O1的切线2．如图，在半径为2的扇形AOB中，∠AOB＝90°，点C是EQ\o\ac(AB,\s\up9(︵))上的一个动点（不与点A、B重合），OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D、E．（1）当BC＝1时，求线段OD的长；（2）在△DOE中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度；如果不存在，请说明理由；（3）设BD＝x，△DOE的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域．AAECDOB解：（1）∵OD⊥BC，∴BD＝EQ\F(1,2)BC＝EQ\F(1,2)在Rt△BOD中，OD＝eq\r(,OB2－BD2)＝EQ\F(eq\r(,15),2)AECDOB（2）存在，AECDOB∵OA＝OB＝2，∠AOB＝90°，∴AB＝eq\r(,OA2＋OB2)＝2eq\r(,2)∵OD⊥BC，OE⊥AC，∴D是BC中点，E是AC中点∴DE＝EQ\F(1,2)AB＝eq\r(,2)（3）连接OC，过D作DF⊥OE于F∵OD＝2，BD＝x，∴OD＝eq\r(,4－x2)∵OA＝OB＝OC，OD⊥BC，OE⊥AC，AECDOBF∴∠1＝∠2AECDOBF∵∠AOB＝90°，∴∠DOE＝45°在Rt△DOF中，DF＝OF＝EQ\F(eq\r(,4－x2),eq\r(,2))在Rt△DFE中，EF＝eq\r(,DE2－DF2)＝eq\r(,2－EQ\F(4－x2,2))＝EQ\F(eq\r(,2),2)x∴y＝EQ\F(1,2)OE·DF＝EQ\F(1,2)(EQ\F(eq\r(,4－x2),eq\r(,2))＋EQ\F(eq\r(,2),2)x·EQ\F(eq\r(,4－x2),eq\r(,2))即y＝EQ\F(4－x2＋xeq\r(,4－x2),4)（0＜x＜eq\r(,2)）3．BACNPM如图，已知在△ABC中，AB＝15，AC＝20，cotA＝2，P是边AB上的一个动点，⊙P的半径为定长．当点P与点B重合时，⊙P恰好与边AC相切；当点P与点B不重合，且⊙P与边AC相交于点M和点N时，设AP＝x，BACNPM（1）求⊙P的半径；（2）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（3）当AP＝6eq\r(,5)时，试比较∠CPN与∠A的大小，并说明理由．解：（1）过B作BD⊥AC于D∵⊙P与边AC相切，∴BD是⊙P的半径BACNPMDH，∵cotA＝2，∴sinA＝EQ\F(eq\r(,5),5BACNPMDH又∵sinA＝EQ\F(BD,AB)，AB＝15，∴BD＝3eq\r(,5)（2）过P作PH⊥MN于H则PH＝EQ\F(eq\r(,5),5)x，PM＝BD＝3eq\r(,5)∴MH＝eq\r(,PM2－PH2)＝eq\r(,45－EQ\F(1,5)x2)∴y＝2MH＝2eq\r(,45－EQ\F(1,5)x2)，即y＝EQ\F(2,5)eq\r(,1125－5x2)（3eq\r(,5)≤x＜15）（3）当AP＝6eq\r(,5)时，∠CPN＝∠A理由如下：当AP＝6eq\r(,5)时，PH＝6，MH＝3，AH＝12，∴AM＝9∵AC＝20，MN＝6，∴CN＝5∵EQ\F(AM,MP)＝EQ\F(9,3eq\r(,5))＝EQ\F(3eq\r(,5),5)，EQ\F(PN,CN)＝EQ\F(3eq\r(,5),5)，∴EQ\F(AM,MP)＝EQ\F(PN,CN)又∵PM＝PN，∴∠PMN＝∠PNM∴∠AMP＝∠PNC，∴△AMP∽△PNC∴∠CPN＝∠A4．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，∠B＝60°，AB＝10，AD＝4，⊙M与∠BAD的两边相切，点N在射线AB上，⊙N与⊙M是等圆，且两圆外切．（1）设AN＝x，⊙M的半径为y，求y关于x的函数关系式；（2）当x为何值时，⊙M与CD相切？（3）直线CD被⊙M所截得的弦与直线BC被⊙N所截得的弦的长是否可能相等？如果能，求出符合要求的x的值；如果不能，请说明理由．AAMCBDN解：（1）连接AM、MN，设⊙M与AB相切于点E，连接MEAMCBDNAMCBDNE∴在Rt△MNE中，MN＝2ME，∴∠ANM＝30°∵AD∥BC，∠B＝60°，∴∠BAD＝120°∵⊙M与∠BAD的两边相切∴∠NAM＝60°，∴∠AMN＝90°∴在Rt△AMN中AM＝EQ\F(1,2)AN＝EQ\F(1,2)x∴ME＝AM·sin60°＝EQ\F(eq\r(,3),4)x即y＝EQ\F(eq\r(,3),4)x（x＞0）AMCBDNGF（2）设⊙M分别与AD、CD相切于点F、AMCBDNGF则MF＝FD＝MG＝y且AF＝MF·cot60°＝EQ\F(eq\r(,3),3)y＝EQ\F(eq\r(,3),3)·EQ\F(eq\r(,3),4)x＝EQ\F(1,4)x∵AD＝4，AF＋FD＝AD，∴EQ\F(1,4)x＋EQ\F(eq\r(,3),4)x＝4∴x＝8(eq\r(,3)－1)（3）作NH⊥BC于点H若直线CD被⊙M所截得的弦与直线BC被⊙N所截得的弦的长相等，则弦心距MG＝NHAMCBDNHFG①AMCBDNHFG∵AB＝10，∴BN＝10－x∴FD＝MG＝NH＝BN·sin60°＝EQ\F(eq\r(,3),2)(10－x)AMCBDNHFG∵AF＝EQ\F(1,4)x，AF＋FD＝AD，∴EQ\F(1,4)x＋EQ\F(eq\r(,3),2)(10－x)＝4AMCBDNHFG∴x＝EQ\F(104－12eq\r(,3),11)②当点N在AB延长线上时则FD＝MG＝NH＝BN·sin60°＝EQ\F(eq\r(,3),2)(x－10)EQ\F(1,4)x＋EQ\F(eq\r(,3),2)(x－10)＝4∴x＝EQ\F(104＋12eq\r(,3),11)∴当x＝EQ\F(104－12eq\r(,3),11)或x＝EQ\F(104＋12eq\r(,3),11)时，直线CD被⊙M所截得的弦与直线BC被⊙N所截得的弦的长相等。5．已知：半圆O的半径OA＝4，P是OA延长线上一点，过线段OP的中点B作OP的垂线交半圆O于点C，射线PC交半圆O于点D，连接OD．（1）当EQ\o\ac(AC,\s\up9(︵))＝EQ\o\ac(CD,\s\up9(︵))时，求弦CD的长；（2）设PA＝x，CD＝y，求y与x的函数关系式及自变量x的取值范围；（3）设CD的中点为E，射线BE与射线OD交于点F，当DF＝1时，求tan∠P的值．BBAOPCDAOAO备用图AO备用图解：（1）连接OCBAOPCDE，当EQ\o\ac(AC,\s\up9(︵))＝EQ\o\ac(CD,\s\up9(︵))时，∠POC＝∠DOCBAOPCDE∵BC垂直平分OP，∴PC＝OC＝4∴∠P＝∠POC＝∠DOC∴△DOC∽△DPO，∴EQ\F(DO,DP)＝EQ\F(CD,DO)即EQ\F(4,4＋CD)＝EQ\F(CD,4)，解得CD＝2eq\r(,5)－2（2）作OE⊥CD于E，则CE＝DE＝EQ\F(1,2)y①当点C在EQ\o\ac(AD,\s\up9(︵))上时∵∠PBC＝∠PEO＝90°，∠P＝∠P∴△PBC∽△PEO，∴EQ\F(PB,PE)＝EQ\F(PC,PO)，即EQ\F(EQ\F(x＋4,2),4＋EQ\F(y,2))＝EQ\F(4,x＋4)，∴y＝EQ\F(1,4)x2＋2x－4显然，B不与A重合，∴x＜4当D与C重合时，PC是半圆O的切线∴PC⊥OC，∠PCO＝90°，此时△PCO是等腰直角三角形∴OP＝eq\r(,2)OC，即x＋4＝4eq\r(,2)，x＝4eq\r(,2)－4∵D不与C重合，∴x＞4eq\r(,2)－4∴4eq\r(,2)－4＜x＜4∴y＝EQ\F(1,4)x2＋2x－4（4eq\r(,2)－4＜x＜4）②当点C在EQ\o\ac(AD,\s\up9(︵))外时，BAOPCDE同理，△PBC∽△PEO，∴EQ\F(PB,PE)＝EQ\F(PC,PO)BAOPCDE即EQ\F(EQ\F(x＋4,2),4－EQ\F(y,2))＝EQ\F(4,x＋4)，∴y＝－EQ\F(1,4)x2－2x＋4（0＜x＜4eq\r(,2)－4）（3）①当点C在EQ\o\ac(AD,\s\up9(︵))上时，过D作DG∥OP交BF于G则△DEG∽△PEB，△DEF∽△OBFBAOPCDEFG∴EQ\F(DE,PE)＝EQ\F(DG,PB)＝EQ\F(DG,OB)＝EQ\F(DF,OF)＝EQ\F(1,4＋1)BAOPCDEFG∴EQ\F(DE,PE)＝EQ\F(1,5)，即EQ\F(EQ\F(y,2),4＋EQ\F(y,2))＝EQ\F(1,5)，解得EQ\F(y,2)＝1∴CE＝1，PE＝5，OE＝eq\r(,42－12)＝eq\r(,15)，∴tan∠P＝EQ\F(OE,PE)＝EQ\F(eq\r(,15),5)②当点C在EQ\o\ac(AD,\s\up9(︵))外时，过D作DG∥OP交BE于GBAOPCDEFG则△BAOPCDEFG∴EQ\F(DE,PE)＝EQ\F(DG,PB)＝EQ\F(DG,OB)＝EQ\F(DF,OF)＝EQ\F(1,4－1)∴EQ\F(DE,PE)＝EQ\F(1,3)，即EQ\F(EQ\F(y,2),4－EQ\F(y,2))＝EQ\F(1,3)，解得EQ\F(y,2)＝1∴CE＝1，PE＝3，OE＝eq\r(,42－12)＝eq\r(,15)，∴tan∠P＝EQ\F(OE,PE)＝EQ\F(eq\r(,15),3)6．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，sinB＝EQ\F(3,5)，⊙B的半径长为1，⊙B交边BC于点P，点O是边AB上的动点．（1）如图1，将⊙B绕点P旋转180°得到⊙M，请判断⊙M与直线AB的位置关系；（2）在（1）的条件下，当△OMP是等腰三角形时，求OA的长；（3）如图2，点N是边BC上的动点，如果以NB为半径的⊙N和以OA为半径的⊙O外切，设NB＝y，OA＝x，求y关于x的函数关系式及定义域．ABABCN图2OABCP图1ABCPMD解：（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，sinB＝EQ\F(3,5ABCPMD∴AB＝10，BC＝eq\r(,AB2－AC2)＝eq\r(,102－62)＝8过点M作MD⊥AB于D在Rt△MDB中，∠MDB＝90°，∴sinB＝EQ\F(MD,MB)＝EQ\F(3,5)∵MB＝2，∴MD＝EQ\F(3,5)×2＝EQ\F(6,5)＞1，∴⊙M与直线AB相离ABCPMO（2）∵MD＝EQ\F(6,5)＞1＝MP，∴OMABCPMO若OP＝MP，易得∠MOB＝90°∴cosB＝EQ\F(OB,BM)＝EQ\F(BC,AB)＝EQ\F(8,10)，∴OB＝EQ\F(8,5)∴OA＝10－EQ\F(8,5)＝EQ\F(42,5)ABCPMOE若OM＝OP，过OABCPMOE∴cosB＝EQ\F(EB,OB)＝EQ\F(BC,AB)＝EQ\F(8,10)，∴OB＝EQ\F(15,8)∴OA＝10－EQ\F(15,8)＝EQ\F(65,8)∴当△OMP是等腰三角形时，OA的长为EQ\F(42,5)或EQ\F(65,8)（3）连接ON，过N作NF⊥AB于FABCNOF在Rt△NFB中，∠NFB＝90°，sinB＝EQ\F(3,5)，NBABCNOF∴NF＝EQ\F(3,5)y，BF＝EQ\F(4,5)y，∴OF＝10－x－EQ\F(4,5)y∵⊙N和⊙O外切，∴ON＝x＋y在Rt△NFB中，ON2＝OF2＋NF2∴(x＋y)2＝(10－x－EQ\F(4,5)y)2＋(EQ\F(3,5)y)2∴y＝EQ\F(250－50x,x＋40)（0＜x＜5）7．如图，⊙O的半径为6，线段AB与⊙O相交于点C、D，AC＝4，∠BOD＝∠A，OB与⊙O相交于点E，设OA＝x，CD＝y．ABDCABDCEO（2）求y关于x的函数关系式，并写出定义域；（3）当CE⊥OD时，求AO的长．解：（1）∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC，∴∠OCA＝∠ODBABDCEO∵∠BOD＝∠A，∴△OBD∽△AOC，∴EQ\F(BD,OC)＝EQ\F(OD,AC)ABDCEO∵OC＝OD＝6，AC＝4，∴EQ\F(BD,6)＝EQ\F(6,4)，∴BD＝9（2）∵△OBD∽△AOC，∴∠AOC＝∠B又∵∠A＝∠A，∴△ACO∽△AOB，∴EQ\F(AB,AO)＝EQ\F(AO,AC)∵AB＝AC＋CD＋BD＝y＋13，∴EQ\F(y＋13,x)＝EQ\F(x,4)∴y＝EQ\F(1,4)x2－13∵0＜y＜8，∴0＜EQ\F(1,4)x2－13＜12，解得2eq\r(,13)＜x＜10∴定义域为2eq\r(,13)＜x＜10（3）∵OC＝OE，CE⊥OD．∴∠COD＝∠BOD＝∠A∴∠AOD＝180º－∠A－∠ODC＝180º－∠COD－∠OCD＝∠ADO∴AD＝AO，∴y＋4＝x，∴EQ\F(1,4)x2－13＋4＝x∴x＝2±2eq\r(,10)（舍去负值）∴AO＝2±2eq\r(,10)9．如图，扇形OMN的半径为1，圆心角90°，点B是EQ\o\ac(MN,\s\up9(︵))上一动点，BA⊥OM于点A，BC⊥ON于点C，点D、E、F、G分别是线段OA、AB、BC、CO的中点，GF与CE相交于点P，DE与AG相交于点Q．（1）求证：四边形EPGQ是平行四边形；（2）探索OA的长为何值时，四边形EPGQ是矩形；NOM备用图NOMBCGFDAQNOM备用图NOMBCGFDAQEP（1）证明：∵∠AOC＝90°，BA⊥OM，BC⊥ON∴四边形OABC是矩形，∴AB∥OC，AB＝OCNOMBCGFDAQNOMBCGFDAQEP∴AE∥GC，AE＝GC∴四边形AECG为平行四边形，∴CE∥AG连接OB∵点D、E、F、G分别是线段OA、AB、BC、CO的中点∴GF∥OB，DE∥OB，∴PG∥EQ∴四边形EPGQ是平行四边形（2）当∠CED＝90°时，□EPGQ是矩形，此时∠AED＋∠CEB＝90°NOMBCGFDAQEP又∵∠NOMBCGFDAQEP∴△AED∽△BCE，∴EQ\F(AD,BE)＝EQ\F(AE,BC)设OA＝x，AB＝y，则EQ\F(EQ\F(x,2),EQ\F(y,2))＝EQ\F(EQ\F(y,2),x)，得y2＝2x2又OA2＋AB2＝OB2，即x2＋y2＝12，∴x2＋2x2＝1，解得x＝EQ\F(eq\r(,3),3)NOMBCGFDAQEPB′A′O′∴当OA的长为EQ\F(eq\r(,NOMBCGFDAQEPB′A′O′（3）连接GE交PQ于点O′，则O′P＝O′Q，O′G＝O′E过P作OC的平行线分别交BC、GE于点B′、A′由△PCF∽△PEG得，EQ\F(PG,PF)＝EQ\F(PE,PC)＝EQ\F(GE,FC)＝2∴PA′＝EQ\F(2,3)A′B′＝EQ\F(1,3)AB，GA′＝EQ\F(1,3)GE＝EQ\F(1,3)OA∴A′O′＝EQ\F(1,2)GE－GA′＝EQ\F(1,6)OA在Rt△PA′O′中，PO′2＝PA′2＋A′O′2，即EQ\F(PQ2,4)＝EQ\F(AB2,9)＋EQ\F(OA2,36)又AB2＋OA2＝12，∴3PQ2＝AB2＋EQ\F(1,3)，∴3PQ2＋OA2＝AB2＋EQ\F(1,3)＋OA2＝1＋EQ\F(1,3)＝EQ\F(4,3)10．如图，AE切⊙O于点E，AT交⊙O于点M、N，线段OE交AT于点C，OB⊥AT于点B，已知∠EAT＝30°，AE＝3eq\r(,3)，MN＝2eq\r(,22)．（1）求∠COB的度数；（2）求⊙O的半径R；（3）点F在⊙O上（EQ\o\ac(FME,\s\up9(︵))是劣弧），且EF＝5，将△OBC经过平移、旋转和相似变换后，使它的两个顶点分别与点E、F重合．在EF的同一侧，这样的三角形共有多少个？你能在其中找出另一个顶点也在⊙O上的三角形吗？请在图中画出这个三角形，并求出这个三角形与△OBC的周长之比．AABCEFMONT解：（1）∵AE切⊙O于点E，∴OE⊥AE∵OB⊥AT于点B，∴∠AEC＝∠OBC＝90°又∵∠ACE＝∠OCB，∴△ACE∽△OCB，∴∠COB＝∠EAT＝30°ABCEFMONTG(BABCEFMONTG(B′)(C′)(O′)∠OCB＝∠ACE＝60°设BC＝x，则OB＝eq\r(,3)x，OC＝2x连接ON，得(eq\r(,3)x)2＋(eq\r(,22))2＝(2x＋3)2解得x＝1或x＝－13（舍去），∴x＝1∴R＝2x＋3＝5（3）这样的三角形有3个，画直径FG，连接GE∵EF＝OE＝OF＝5，∴∠EFG＝60°＝∠BCO∴△GEF即为所要画出的三角形∵三种图形变换都不改变图形的形状，即变换前后的两个三角形相似∴变换前后两个三角形的周长之比等于它们的相似比又∵两个直角三角形斜边长FG＝2R＝10，OC＝2，∴△GEF与△OBC的周长之比为5:111．定义：P、Q分别是两条线段a和b上任意一点，线段PQ长度的最小值叫做线段a与线段b的距离．已知O（0，0），A（4，0），B（m，n），C（m＋4，n）是平面直角坐标系中四点．（1）根据上述定义，当m＝2，n＝2时，如图1，线段BC与线段OA的距离是___________；当m＝5，n＝2时，如图2，线段BC与线段OA的距离（即线段AB长）为___________．（2）如图3，若点B落在圆心为A，半径为2的圆上，线段BC与线段OA的距离记为d，求d关于m的函数解析式．（3）当m的值变化时，动线段BC与线段OA的距离始终为2，线段BC的中点为M．①求出点M随线段BC运动所围成的封闭图形的周长；②点D的坐标为（0，2），m≥0，n≥0．作MH⊥x轴，垂足为H，是否存在m的值使以A，M，H为顶点的三角形与△AOD相似，若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由．AOyAOyx（图3）BCAOByxC（图2）AOByxC（图1）AOAOyx（备用图2）AOyxC（备用图1）M解：（1）2（2）当4≤m≤6时，显然线段BC与线段OA的距离等于⊙A半径，即d＝2当2≤m＜4时，作BN⊥x轴于点N，线段BC与线段OA的距离等于BN长AOyxBCBCN∴d＝eq\r(,22－(4－m)2)＝eq\r(,－m2＋8m－12AOyxBCBCN∴d关于m的函数解析式为：d＝eq\b\lc\{(eq\a\al\co1\vs4(eq\r(,－m2＋8m－12)（2≤m＜4）,2（4≤m≤6）))AOyxCMEBPNFKG（3）①由题意可知，由线段AOyxCMEBPNFKG∴点M随线段BC运动所围成的封闭图形的周长为：2×π×2＋2×2×4＝16＋4π②∵m≥0，n≥0，∴点M随线段BC运动所形成图形的是线段M0E和EQ\o\ac(EF,\s\up9(︵))AOyxCM0EBFAOyxCM0EBFM1M2M3H3H2H1R(D)x若△AMH与△AOD相似，则EQ\F(MH,HA)＝EQ\F(1,2)或EQ\F(MH,HA)＝2当2≤m＋2＜4时，显然M1H1＞H1A，∴EQ\F(M1H1,H1A)＝2∵M1H1＝2，∴H1A＝1，∴OH1＝3∴m1＝3－2＝1当4≤m＋2≤6即M2在线段CE上时，同理可求m2＝5－2＝3当6＜m＋2≤8即M3在线段EQ\o\ac(EF,\s\up9(︵))上时，∵AH3≥2≥M3H3，∴EQ\F(M3H3,H3A)＝EQ\F(1,2)设M3H3＝x，则AH3＝2x，∴AH3＝2x－2又∵RH3＝2，∴(2x－2)2＋x2＝22，∴x1＝EQ\F(8,5)，x2＝0（不合题意，舍去）∴OH3＝4＋2x＝EQ\F(36,5)，∴m3＝EQ\F(36,5)－2＝EQ\F(26,5)综上可知，存在m的值使以A，M，H为顶点的三角形与△AOD相似，相应m的值为1，3，EQ\F(26,5)12．已知矩形ABCD中，AB＝2，AD＝5，点E是AD边上一动点，连接BE、CE，以BE为直径作⊙O，交BC于点F，过点F作FH⊥CE于H，直线FH交⊙O于点G．（1）当直线FH与⊙O相切时，求AE的长；（2）当FH∥BE时，求FG的长；DBACOFEH（3）在点E运动过程中，△OFG能否成为等腰直角DBACOFEH解：（1）连接OF、EF，∵BE是⊙O的直径，∴∠BFE＝90°又∠A＝∠ABF＝90°，∴四边形ABFE为矩形DBACOFEH∴AEDBACOFEH∵FH与⊙O相切，∴OF⊥FH∵FH⊥CE，∴OF∥CE∵BO＝OE，∴BF＝CF∴AE＝DE＝EQ\F(1,2)AD＝EQ\F(5,2)（2）作OM⊥FG于M，连接OF∵FH∥BE，∴∠BEC＝∠FHC＝90°易证△ABE∽△DEC，∴EQ\F(AE,DC)＝EQ\F(AB,DE)，即EQ\F(AE,2)＝EQ\F(2,5－AE)，解得AE＝1或4DBACOFEHMG①当AE＝DBACOFEHMG∴BE＝eq\r(,5)，CE＝2eq\r(,5)，OF＝EQ\F(eq\r(,5),2)由△CFH∽△CBE，得CH＝EQ\F(8eq\r(,5),5)∴OM＝EH＝CE－CH＝EQ\F(2eq\r(,5),5)，∴FM＝eq\r(,OF2－OM2)＝EQ\F(3eq\r(,5),10)，∴FG＝2FM＝EQ\F(3eq\r(,5),5)DBACOFEHMG②当AE＝DBACOFEHMG∴BE＝2eq\r(,5)，CE＝eq\r(,5)，OG＝eq\r(,5)由△CFH∽△CBE，得CH＝EQ\F(eq\r(,5),5)∴OM＝EH＝CE－CH＝EQ\F(4eq\r(,5),5)，∴FM＝eq\r(,OG2－OM2)＝EQ\F(3eq\r(,5),5)∴FG＝2FM＝EQ\F(6eq\r(,5),5)（3）连接EF，设AE＝x，则EF＝AB＝2，BF＝AE＝x，CF＝DE＝5－x若△OFG是等腰直角三角形，则∠FOG＝90°①当点G在点F上方时ODBACHGEFMK连接BG、EG，设BGODBACHGEFMK则∠FBG＝∠FEG＝45°∴△BFK和△EGK都是等腰直角三角形∴KF＝BF＝x，EK＝2－x，GM＝KM＝EQ\F(1,2)EK＝1－EQ\F(1,2)xFM＝x＋1－EQ\F(1,2)x＝1＋EQ\F(1,2)x∵∠GFM＝∠ECF＝90°－∠FEC，∴Rt△GMF∽Rt△EFC，∴EQ\F(GM,FM)＝EQ\F(EF,CF)DBACHGEFKOM∴EQ\F(1－EQ\F(1,2)x,1＋EQ\F(1,2)x)＝EQ\F(2,5－x)，解得x1＝EQ\F(9－eq\r(,57),2)，x2＝EQ\F(9＋eq\r(,57),2)＞5（舍去）DBACHGEFKOM②当点G在点F下方时连接BG、EG，设BC、EG交于点K，作GM⊥BF于M则∠GBF＝∠GEF＝45°∴△BGK和△EFK都是等腰直角三角形∴KF＝EF＝2，EK＝2eq\r(,2)BK＝x－2，GM＝KM＝EQ\F(1,2)(x－2)，FM＝2＋EQ\F(1,2)(x－2)＝EQ\F(1,2)(x＋2)∵∠MFG＝∠HFC＝∠FEC＝90°－∠HCF∴Rt△FMG∽Rt△EFC，∴EQ\F(FM,GM)＝EQ\F(EF,CF)∴EQ\F(EQ\F(1,2)(x＋2),EQ\F(1,2)(x－2))＝EQ\F(2,5－x)，解得x1＝EQ\F(1＋eq\r(,57),2)，x2＝EQ\F(1－eq\r(,57),2)（舍去）综上所述，△OFG能成为等腰直角三角形，此时AE的长为EQ\F(9－eq\r(,57),2)或EQ\F(1＋eq\r(,57),2)13．在平面直角坐标系中，点A（10，0）、B（6，8），点P是线段OA上一动点（不与点A、点O重合），以PA为半径的⊙P与线段AB的另一个交点为C，作CD⊥OB于D（如图1）．（1）求证：CD是⊙P的切线；（2）当⊙P与OB相切时，求⊙P的半径；（3）在（2）的条件下，设⊙P与OB相切于点E，连接PB交CD于F（如图2）．①求CF的长；②在线段DE上是否存在点G使∠GPF＝45°？若存在，求出EG的长；若不存在，请说明理由．AOAOPBDyxC图1AOPBDyxC图2EFAOPBDyxCN12AOPBDyxCN12∵PC＝PA，∴∠1＝∠2∵A（10，0），B（6，8），∴OA＝10，BN＝8，ON＝6在Rt△OBN中，OB＝eq\r(,ON2＋BN2)＝eq\r(,62＋82)＝10∴OA＝OB，∴∠OBA＝∠1∴∠OBA＝∠2，∴PC∥OB∵CD⊥OB，∴CD⊥PC∴CD是⊙P的切线（2）解：设⊙P的半径为rAOPBDyxCEFN∵⊙AOPBDyxCEFN∴在Rt△OPE中，sin∠EOP＝EQ\F(PE,OP)＝EQ\F(r,10－r)在Rt△OBN中，sin∠BON＝EQ\F(BN,OB)＝EQ\F(8,10)＝EQ\F(4,5)∴EQ\F(r,10－r)＝EQ\F(4,5)，解得r＝EQ\F(40,9)（3）①由（2）知r＝EQ\F(40,9)，∴OP＝10－EQ\F(40,9)＝EQ\F(50,9)∴OE＝eq\r(,OP2－PE2)＝EQ\F(10,3)∵∠PCD＝∠CDE＝∠PED＝90°，∴四边形PCDE是矩形∵PE＝PC，∴矩形PCDE是正方形∴PE＝DC＝EQ\F(40,9)，∴BD＝OB－OE－DE＝10－EQ\F(10,3)－EQ\F(40,9)＝EQ\F(20,9)∵∠BFD＝∠PFC，∠BDF＝∠PCF＝90°∴△BDF∽△PCF，∴EQ\F(DF,CF)＝EQ\F(BD,PC)AOPBDyxCEFGT34即EQ\F(EQ\F(40,9)－CF,CF)＝EQ\F(EQ\F(20,9),EQ\F(40,9))，解得CF＝EQ\F(80,27)AOPBDyxCEFGT34②存在在DE延长线上截取ET＝CF∵四边形PCDE是正方形∴∠PET＝∠PCF＝90°，PE＝PC∴△PET≌△PCF，∴∠4＝∠3，PT＝PF∵∠CPE＝90°，∠GPF＝45°∴∠GPE＋∠3＝45°，∴∠GPE＋∠4＝45°即∠GPT＝45°，∴∠GPT＝∠GPF又PG＝PG，∴△PGT≌△PGF，∴GF＝GT＝GE＋ET＝GE＋CF设GE＝a，则DG＝EQ\F(40,9)－a，GF＝EQ\F(80,27)＋a，又DF＝DC－CF＝EQ\F(40,9)－EQ\F(80,27)＝EQ\F(40,27)在Rt△DFG中，DF2＋DG2＝GF2∴(EQ\F(40,27)2＋(EQ\F(40,9)－a2＝(EQ\F(80,27)＋a2，解得a＝EQ\F(8,9)，即EG的长为EQ\F(8,9)14．如图，以△ABC的边BC为弦，在点A的同侧画EQ\o\ac(BC,\s\up9(︵))交AB于D，且∠BDC＝90°＋EQ\F(1,2)∠A，点P是EQ\o\ac(BC,\s\up9(︵))上的一个动点．（1）判定△ADC的形状，并说明理由；（2）若∠A＝70°，当点P运动到∠PBA＝∠PBC＝15°时，求∠ACB和∠ACP的度数；（3）当点P在EQ\o\ac(BC,\s\up9(︵))运动时，过点P作直线MN⊥AP，分别交AB、AC于点M、N，是否存在这样的点P，使得△BMP和△BPC和△CPN彼此相似？请说明理由．PBPBACDBACD备用图解：（1）△ADC是等腰三角形∵∠BDC＝90°＋EQ\F(1,2)∠A，∴∠ADC＝90°－EQ\F(1,2)∠A，∠ACD＝90°＋EQ\F(1,2)∠A－∠A＝90°－EQ\F(1,2)∠APBACDMN∴∠ACDPBACDMN（2）∵∠A＝70°，∠PBA＝∠PBC＝15°∴∠ACB＝180°－70°－2×15°＝80°∵∠BPC＝∠BDC＝90°＋EQ\F(1,2)∠A＝90°＋EQ\F(1,2)×70°＝125°∴∠PCB＝180°－15°－125°＝40°∴∠ACP＝∠ACB－∠PCB＝80°－40°＝40°（3）存在．当点P运动至EQ\o\ac(CD,\s\up9(︵))的中点时，△BMP和△BPC和△CPN彼此相似∵P是EQ\o\ac(CD,\s\up9(︵))的中点，∴∠ABP＝∠CBP设∠A＝x°，∠ABP＝∠CBP＝y°则∠ACB＝180°－x－2y，∠PCB＝180°－y－(90°＋EQ\F(1,2)x)＝90°－y－EQ\F(1,2)x∴∠ACP＝∠ACB－∠PCB＝180°－x－2y－(90°－y－EQ\F(1,2)x)＝90°－y－EQ\F(1,2)x∴∠PCB＝∠ACP，∴PC平分∠ACB∴当点P运动至EQ\o\ac(CD,\s\up9(︵))的中点时，点P是△ABC的角平分线的交点连接AP，则AP平分∠BAC，∴∠BMP＝∠CNP＝90°＋EQ\F(1,2)x＝∠BPC∴△BMP和△BPC和△CPN彼此相似15．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝4AD＝4eq\r(,2)，∠B＝45°．将直角三角板含45°角的顶点E放在边BC上移动（不与点C重合），一直角边始终经过点A，斜边与CD交于点F．BCAEFD（1）在点E移动过程中，当△ABE为等腰三角形时BCAEFD（2）在点E移动过程中，求△ADF外接圆半径的最小值．解：（1）∵BC＝4AD＝4eq\r(,2)，∴AD＝eq\r(,2)∵等腰梯形ABCD，∠B＝45°，∴AB＝eq\r(,2)×EQ\F(1,2)(BC－AD)＝×EQ\F(1,2)(4eq\r(,2)－eq\r(,2))＝3∵∠B＝45°，∴∠BAE＋∠AEB＝135°∵∠AEF＝45°，∴∠CEF＋∠AEB＝135°BCAEFD∴∠BAE＝∠CEF，又BCAEFD∴△BAE∽△CEF，∴EQ\F(BE,CF)＝EQ\F(AB,EC)∴CF＝EQ\F(EC,AB)·BE＝EQ\F(BC－BE,AB)·BE＝EQ\F(4eq\r(,2)－BE,3)·BE（1）若AE＝BE，则∠AEB＝90°，BE＝EQ\F(eq\r(,2),2)AB＝EQ\F(3eq\r(,2),2)，代入（1）得CF＝EQ\F(5,2)若AB＝AE，则∠BAE＝90°，BE＝eq\r(,2)AB＝3eq\r(,2)，代入（1）得CF＝2若AB＝BE，则BE＝3，代入（1）得CF＝4eq\r(,2)－3（2）设△ADF外接圆的圆心为O，∵∠ADF＝135°，∴∠AOF＝90°，∴AF＝eq\r(,2)r当AF最小时，r也最小；又当CF最大时，AF最小由（1）知CF＝EQ\F(4eq\r(,2)－BE,3)·BE＝－EQ\F(1,3)BE2＋EQ\F(4eq\r(,2),3)BE＝－EQ\F(1,3)(BE－2eq\r(,2))2＋EQ\F(8,3)BCAEFDGO当BE＝2eq\r(,2)即E为BC中点时，CF最大，为EQ\F(8,3)，此时DF＝3－EQ\F(8,3)＝EQ\F(1,3)BCAEFDGO作FG⊥AD于G，则FG＝DG＝EQ\F(eq\r(,2),6)，AG＝AD＋DG＝EQ\F(7eq\r(,2),6)∴AF长的最小值为：eq\r(,AG2＋FG2)＝EQ\F(5,3)∴△ADF外接圆半径的最小值为EQ\F(eq\r(,2),2)AF＝EQ\F(5eq\r(,2),6)20．如图，已知直线l与⊙O相离，OA⊥l于点A，OA＝5，OA与⊙O相交于点P，AB与⊙O相切于点B，BP的延长线交直线l于点C．（1）试判断线段AB与AC的数量关系，并说明理由；（2）若PC＝2eq\r(,5)，求⊙O的半径和线段PB的长；（3）若在⊙O上存在点Q，使△QAC是以AC为底边的等腰三角形，求⊙O的半径r的取值范围．CCPOBAlOOAl（备用图）（1）AB＝AC．理由如下：连接OB∵AB与⊙O相切于点B，OA⊥AC，∴∠OBA＝∠OAC＝90°CPOBAlD∴∠OBP＋∠ABP＝90°，∠CPOBAlD∵OP＝OB，∴∠OBP＝∠OPB∵∠OPB＝∠APC，∴∠ABP＝∠ACP∴AB＝AC（2）设⊙O的半径为r，则OP＝OB＝r，PA＝5－r∴AB2＝OA2－OB2＝52－r2AC2＝PC2－PA2＝(2eq\r(,5))2－(5－r)2∵AB＝AC，∴52－r2＝(2eq\r(,5))2－(5－r)2解得r＝3∴AB＝eq\r(,52－32)＝4，∴sin∠BOP＝EQ\F(AB,OA)＝EQ\F(4,5)，cos∠BOP＝EQ\F(OB,OA)＝EQ\F(3,5)过B作BD⊥OP于D则DB＝OB·sin∠BOP＝3×EQ\F(4,5)＝EQ\F(12,5)，OD＝OB·cos∠BOP＝3×EQ\F(3,5)＝EQ\F(9,5)∴DP＝OP－OD＝3－EQ\F(9,5)＝EQ\F(6,5)CPOBAlEMN∴PB＝eq\r(,DB2＋DP2)＝EQ\F(6,5)eq\r(,5)CPOBAlEMN（3）作线段AC的垂直平分线MN，作OE⊥MN则OE＝EQ\F(1,2)AC＝EQ\F(1,2)AB＝EQ\F(1,2)eq\r(,52－r2)由题意，⊙O与直线MN有交点∴OE≤r，即EQ\F(1,2)eq\r(,52－r2)≤r，∴r≥eq\r(,5)又∵直线l与⊙O相离，∴r＜5∴eq\r(,5)≤r＜521．在平面直角坐标系xOy中，已知动点P在正比例函数y＝x的图象上，点P的横坐标为m（m＞0）．以点P为圆心，eq\r(,5)m为半径的圆交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴于C、D两点（点D在点C的上方），点E为平行四边形DOPE的顶点（如图）．（1）写出点B、E的坐标（用含m的代数式表示）；（2）连接DB、BE，设△BDE的外接圆交y轴于点Q（点Q异于点D），连接EQ、BQ．试问线段BQ与线段EQ的长是否相等？为什么？（3）连接BC，求∠DBC－∠DBE的度数．CBCBPOxDyEA（备用图）CBPOxDyEA解：（1）B（3m，0），E（m，4m）（2）BQ与EQ相等，理由如下：CBPOxDyEAFK易得DCBPOxDyEAFK则得OB＝OD，EK＝DK∴△BOD和△EKD均为等腰直角三角形∴∠EDB＝90°∴BE为△EDB外接圆的直径∴∠EQB＝90°，∴∠QDB＝∠QEB＝45°∴∠QBE＝45°，∴∠QEB＝∠QBE∴BQ＝EQ（3）由（2）知，△BDE为直角三角形易得DE＝eq\r(,2)m，BD＝3eq\r(,2)m在Rt△BOC中，BO＝3CO＝3m在△BDE和△BOC中∠BDE＝∠BOC＝90°，且EQ\F(DE,BD)＝EQ\F(CO,BO)＝EQ\F(1,3)∴△BDE∽△BOC，∴∠DBE＝∠OBC，∴∠∠DBC－∠DBE＝∠DBC－∠OBC＝45°22．如图1，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，且OA＝2，OC＝1，矩形对角线AC、OB相交于点E，过点E的直线与边OA、BC分别相交于点G、H．（1）①直接写出点E的坐标：____________；②求证：AG＝CH；（2）如图2，以O为圆心、OC为半径画弧交OA于点D，若直线GH与弧CD所在的圆相切于矩形内一点F，求直线GH的函数关系式；（3）在（2）的结论下，梯形ABHG的内部有一点P，当⊙P与HG、GA、AB都相切时，求⊙P的半径．BGOBGOxHyEAC图2FDBGOxHyEAC图1BGOxHyEAC备用图FD解：（1）①（1，EQ\F(1,2)）②证明：在矩形OABC中，∵EA＝EC，OA∥BC，∴∠GAE＝∠HCE又∵∠GEA＝∠HEC，∴△AGE≌△CHE，∴AG＝CH（2）连接ED、OF、OBBGOxHyEACFD，BGOxHyEACFD∴ED＝EQ\F(1,2)AB＝EQ\F(1,2)，且ED∥AB∴∠EDO＝∠BAO＝90°，∴ED切⊙O于D又直线GH切⊙O于F，∴EF＝ED＝EQ\F(1,2)又∵HC是⊙O的切线，∴HF＝HC设AG＝m，则HC＝HF＝AG＝m，OG＝2－m，由（1）可知，EH＝EG，∴EG＝EQ\F(1,2)＋m，FG＝1＋m在Rt△OFG中，OG2＝OF2＋FG2∴(2－m)2＝12＋(1＋m)2，解得m＝EQ\F(1,3)，∴OG＝2－m＝EQ\F(5,3)，∴点G坐标为（EQ\F(5,3)，0）设直线GH的函数关系式为y＝kx＋b，将点E（1，EQ\F(1,2)）、G（EQ\F(5,3)，0）代入得eq\b\lc\{(eq\a\al\co1\vs4(EQ\F(1,2)＝k＋b,0＝EQ\F(5,3)k＋b))解得eq\b\lc\{(eq\a\al\co1\vs4(k＝－EQ\F(3,4),b＝EQ\F(5,4)))，∴直线GH的函数关系式为y＝－EQ\F(3,4)x＋EQ\F(5,4)（3）连接BG，作∠BAO的平分线交BC于点M，交BG于点P由（2）知，BH＝EQ\F(5,3)，GH＝EQ\F(5,3)，∴BH＝GH，∴∠HBG＝∠HGB∵BC∥OA，∴∠HBG＝∠AGB，∴∠HGB＝∠AGB，即GB平分∠HGA，∴点P即为所求圆的圆心∵AM平分∠BAO，∴∠BAM＝45°∴MB＝AB＝1，∴MC＝1，∴M（1，1）BGOxHyEACFDPMBGOxHyEACFDPM则eq\b\lc\{(eq\a\al\co1\vs4(0＝2k1＋b1,1＝k1＋b1))解得eq\b\lc\{(eq\a\al\co1\vs4(k1＝－1,b1＝2))∴y＝－x＋2设直线BG的函数关系式为y＝k2x＋b2∵B（2，1）、G（EQ\F(5,3)，0）∴eq\b\lc\{(eq\a\al\co1\vs4(1＝2k2＋b2,0＝EQ\F(5,3)k2＋b2))解得eq\b\lc\{(eq\a\al\co1\vs4(k2＝3,b1＝－5))，∴y＝3x－5由eq\b\lc\{(eq\a\al\co1\vs4(y＝－x＋2,y＝3x－5))解得eq\b\lc\{(eq\a\al\co1\vs4(x＝EQ\F(7,4),y＝EQ\F(1,4)))∴点P坐标为（EQ\F(7,4)，EQ\F(1,4)），∴⊙P的半径为EQ\F(1,4)29．已知：如图，在菱形ABCD中，AB＝2eq\r(,3)，∠A＝60°，以点D为圆心的⊙D与边AB相切于点E．（1）求证：⊙D与边BC也相切；（2）设⊙D与BD相交于点H，与边CD相交于点F，连接HF，求图中阴影部分的面积（结果保留π）；（3）⊙D上一动点M从点F出发，按逆时针方向运动半周，当S△HDF＝eq\r(,3)S△MDF时，求动点M经过的弧长（结果保留π）．DDCBAEMHF（1）证明：连接DE，过点D作DN⊥BC于NDCBAEMHFNGDCBAEMHFNG∵边AB与⊙D相切于点E，∴DE⊥AB，∴DN＝DE∴⊙D与边BC也相切（2）解：∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝AB＝2eq\r(,3)∵∠A＝60°，∴DE＝AD·sin60°＝3，即⊙D的半径是3又∵∠HDF＝EQ\F(1,2)∠CDA＝60°，DH＝DF，∴△HDF是等边三角形DCBAM1HFM2P过H作HG⊥DF于G，则HG＝3×sin60°＝EQ\F(3eq\r(,3),DCBAM1HFM2P∴S△HDF＝EQ\F(1,2)×3×EQ\F(3eq\r(,3),2)＝EQ\F(9eq\r(,3),4)，S扇形HDF＝EQ\F(60×π×32,360)＝EQ\F(3π,2)∴S阴影＝S扇形HDF－S△HDF＝EQ\F(3π,2)－EQ\F(9eq\r(,3),4)＝EQ\F(6π－9eq\r(,3),4)（3）假设点M运动到点M1时，满足S△HDF＝eq\r(,3)S△M1DF过点M1作M1P⊥DF于P，则EQ\F(9eq\r(,3),4)＝eq\r(,3)×EQ\F(1,2)×3×M1P∴M1P＝EQ\F(3,2)，∴∠FDM1＝30°，此时点M经过的弧长为：l1＝EQ\F(30×π×3,180)＝EQ\F(π,2)过点M1作M1M2∥DF交⊙D于点M2，则满足S△HDF＝eq\r(,3)S△M1DF＝eq\r(,3)S△M2DF此时∠FDM2＝150°，点M经过的弧长为：l,2＝EQ\F(150×π×3,180)＝EQ\F(5π,2)综上所述，当S△HDF＝eq\r(,3)S△MDF时，动点M经过的弧长为EQ\F(π,2)或EQ\F(5π,2)30．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（1，0），点M（4，4），直线y＝－EQ\F(3,4)x＋b过点M，分别交x轴、y轴于B、C两点，以点A为圆心，AM为半径作⊙A．（1）⊙M的半径为_________，b＝_________；（2）判断直线BC与⊙A的位置关系，并说明理由；（3）若EF切⊙A于点F，分别交线段AB、BC于点G、E，且FE⊥BC，求EQ\F(FG,EG)的值．（4）若点P在⊙A上，点Q是y轴上一点且在点C下方，当△PQM为等腰直角三角形时，直接写出点Q的坐标．CABCABMOxy备用图CABMOxy备用图CABMOxy（1）57（2）直线BC与⊙A相切理由如下：对于y＝－EQ\F(3,4)x＋7，当x＝0时，y＝7；当y＝0时，x＝EQ\F(28,3)BAMOxyCH∴B（EQ\F(28,3)，0），C（0，7），∴OB＝EQ\F(28,3)，OC＝BAMOxyCH连接AM，过M作MH⊥x轴于H则AH＝3，BH＝EQ\F(28,3)－4＝EQ\F(16,3)，MH＝4，∴EQ\F(AH,MH)＝EQ\F(MH,BH)＝EQ\F(3,4)又∠AHM＝∠MHB＝90°，∴△AMH∽△MBH∴∠MAH＝∠BMH∵∠AMH＋∠MAH＝90°，∴∠AMH＋∠BMH＝90°，即AM⊥BC∴直线BC与⊙A相切CABMOxCABMOxEyFG∵EF切⊙A于点F，∴∠AFG＝90°又∵AM⊥BC，EF⊥BC，∴四边形AFEM是矩形∴∴EF＝AM＝5，AF∥BC∴∠GAF＝∠CBO∴FG＝AF·tan∠GAF＝AF·tan∠CBO＝5×EQ\F(3,4)＝EQ\F(15,4)∴EG＝EF－FG＝5－EQ\F(15,4)＝EQ\F(5,4)，∴EQ\F(FG,EG)＝3AMOxyP(Q)（4）（0，0）或（0，2）或（0，－8）或（0，3－AMOxyP(Q)提示：①当∠PQM＝90°时，MQ＝PQ∵M（4，4），∴∠MOB＝45°由对称性知，M、P两点关于x轴对称∴点Q与原点O重合∴Q（0，0）②当∠PMQ＝90°时，MQ＝MP作MH⊥x轴于H，MG⊥y轴于G，则MG＝MH，∠GMH＝90°AMOxyPHQG∴∠GMQ＝AMOxyPHQG∴△MGQ≌△MHP，∴∠MHP＝∠MGQ＝90°∴点P在x轴的正半轴上，即点P是⊙A与x轴正半轴的交点∴GQ＝HP＝5＋1－4＝2，∴QO＝4－2＝2∴Q（0，2）③当∠MPQ＝90°时，PM＝PQ设P（m，n），Q（0，t），分两种情况：AMOxyPQGHAMOxyPQGH作PG⊥y轴于G，MH⊥PG于H，则△PGQ≌△MHP，得：eq\b\lc\{(eq\a\al\co1\vs4(m－4＝n－t①,4－n＝m②,(m－1)2＋n2＝52③))AMOxyPHQG由②、③解得eq\b\lc\{(eq\a\al\co1\vs4(m＝EQ\F(5－eq\r(,41),2),n＝EQ\F(3＋eq\r(,41),2)))（舍去）eq\b\lc\{(eq\a\al\co1\vs4(m＝EQ\F(5＋eq\r(,41),2),n＝EQ\F(3－eq\r(,41),2)))AMOxyPHQGAMOxyPHQ把m＝EQ\F(5＋eq\r(,41),2)，n＝EQ\F(3－eq\r(,41),2)代入①，得t＝3－eq\r(,41)AMOxyPHQ∴Q（0，3－eq\r(,41)）ii）若点P在y轴左侧的⊙A上，则：eq\b\lc\{(eq\a\al\co1\vs4(4－m＝n－t④,4－n＝－m⑤,(m－1)2＋n2＝52⑥))由⑤、⑥解得eq\b\lc\{(eq\a\al\co1\vs4(m＝1,n＝5))（舍去）eq\b\lc\{(eq\a\al\co1\vs4(m＝－4,n＝0))把m＝－4，n＝0代入④，得t＝－8∴Q（0，－8）综上所述，点Q的坐标为（0，0）或（0，2）或（0，－8）或（0，3－eq\r(,41)）33．已知⊙O是△ABC的外接圆，点P是⊙O上的任意一点（不与A、B、C重合），⊙P在△ABC的外部且与△ABC相邻的一边相切，⊙P称为△ABC的“卫星圆”．过与P相邻的△ABC的两个顶点作⊙P的切线交于S，两切线和与⊙P相切的一边组成的三角形称为△ABC的“卫星三角形”（如图1中的△SAC）．（1）如图1，若△ABC为等边三角形，⊙O的半径为r．①∠S的大小是否发生变化，若无变化，求∠S的大小，若有变化，说明变化趋势；②当点P在劣弧AC上运动时，⊙P与边AC相切于D点，设AD＝x，⊙P的半径为y，求y关于x的函数关系式；（2）如图2，若△ABC中，AC＝BC，∠C＝120°，⊙O的半径为r，点P在优弧AB上，⊙P与直线AB相切（切点不是A、B），求“卫星三角形”的面积最大值．PPBACOS图1DAACBO图2解：（1）①∠S的大小不变PBACOSDPBACOSD∵△ABC为等边三角形，∴∠B＝60°∴∠APC＝120°在△APC中，∠APC＝180°－(∠PAC＋∠PCA)＝180°－EQ\F(1,2)(∠SAC＋∠SCA)＝180°－EQ\F(1,2)(180°－∠S)＝90°＋EQ\F(1,2)∠S∴90°＋EQ\F(1,2)∠S＝120°，∴∠S＝60°PBACOSPBACOSDMNPBACOSDMN∴∠S的大小不变，始终等于60°②连接OC、OP、PD，作OM⊥AC于M，ON⊥PD于N则四边形OMDN是矩形，∴DN＝OM，ON＝DM∵△ABC为等边三角形，∴∠OCM＝30°∴OM＝EQ\F(1,2)r，AM＝CM＝EQ\F(eq\r(,3),2)r当x＜EQ\F(eq\r(,3),2)r时，ON＝EQ\F(eq\r(,3),2)r－x，PN＝y＋EQ\F(1,2)r在Rt△ONP中，ON2＋PN2＝OP2∴(EQ\F(eq\r(,3),2)r－x2＋(y＋EQ\F(1,2)r2＝r2∴y＝eq\r(,－x2＋eq\r(,3)r＋EQ\F(1,4)r2)－EQ\F(1,2)r当EQ\F(eq\r(,3),2)r≤x＜eq\r(,3)r时，ON＝x－EQ\F(eq\r(,3),2)r，PN＝y＋EQ\F(1,2)r，同理可得y＝eq\r(,－x2＋eq\r(,3)r＋EQ\F(1,4)r2)－EQ\F(1,2)r综上，y＝eq\r(,－x2＋eq\r(,3)r＋EQ\F(1,4)r2)－EQ\F(1,2)r（2）当P点运动到优弧AB中点时，⊙P的半径最大，从而“卫星三角形”的面积最大分别过点A、B作⊙P的切线交于S，则△SAB是△ABC的“卫星三角形”ACBOPDSEA连接PA、PB、OA、ACBOPDSEA∵AC＝BC，∴OC⊥AB，AD＝BD∵∠ACB＝120°，∴∠DAC＝30°，∠ACD＝60°∵OA＝OC，∴△OAC是等边三角形∴∠OAD＝30°，AD＝EQ\F(eq\r(,3),2)r，∴AB＝eq\r(,3)r∵∠ACB＝120°，∴∠P＝60°，△PAB是等边三角形∵SA、AB是⊙P的切线，∴∠PAE＝∠PAB＝60°∴∠SAB＝60°同理，∠SBA＝60°，∴△SAB是等边三角形∴S△SAB＝EQ\F(eq\r(,3),4)AB2＝EQ\F(3eq\r(,3),4)r2即“卫星三角形”面积的最大值为EQ\F(3eq\r(,3),4)r234．已知纸片⊙O的半径为2，如图1，沿弦AB折叠操作．（1）如图2，当折叠后的EQ\o\ac(AB,\s\up9(︵))经过圆心O时，求EQ\o\ac(AB,\s\up9(︵))的长；（2）如图3，当弦AB＝2时，求折叠后EQ\o\ac(AB,\s\up9(︵))所在圆的圆心O′到弦AB的距离；（3）在图1中，再将纸片⊙O沿弦CD折叠操作．①如图4，当AB∥CD，折叠后的EQ\o\ac(CD,\s\up9(︵))与EQ\o\ac(AB,\s\up9(︵))所在圆外切于点P时，设点O到弦AB、CD的距离之和为d，求d的值；②如图5，当AB与CD不平行，折叠后的EQ\o\ac(CD,\s\up9(︵))与EQ\o\ac(AB,\s\up9(︵))所在圆外切于点P时，设点M为AB的中点，点N为CD的中点．试探究四边形OMPN的形状，并证明你的结论．图3O图3OBAO′OBA图1图2BAOABAB图5DOPMCNOAB图4CDP图1BAOE解：（1）如图1，过点O作OE⊥AB交⊙O于点E，连接OA、图1BAOE∵点E与点O关于AB对称，∴△OAE、△OBE为等边三角形∴∠OEA＝∠OEB＝60°∴EQ\o\ac(AB,\s\up9(︵))的长为：EQ\F(120π×2,180)＝EQ\F(4π,3)（2）如图2，连接O′A、O′B∵EQ\o\ac(AB,\s\up9(︵))折叠前后所在的圆⊙O与⊙O′是等圆图2OBAO′E∴O′A＝O′图2OBAO′E∴△AO′B为等边三角形∴O′E＝O′B·sin60°＝eq\r(,3)（3）①如图3，当EQ\o\ac(CPD,\s\up9(︵))与EQ\o\ac(APB,\s\up9(︵))所在圆外切于点P时过点O作EF⊥AB交EQ\o\ac(AEB,\s\up9(︵))于点E，交EQ\o\ac(CFD,\s\up9(︵))于点F∵AB∥CD，∴EF垂直平分CD，且必过点POAB图3CDPEHGF根据垂径定理及折叠，可知PH＝EQ\F(1,2)PE，PG＝EQ\F(1,OAB图3CDPEHGF又∵EF＝4，∴点O到AB、CD的距离之和d为：d＝PH＋PG＝EQ\F(1,2)PE＋EQ\F(1,2)PF＝EQ\F(1,2)(PE＋PF)＝2②如图4，当AB与CD不平行时，四边形OMPN是平行四边形证明如下：AB图4DOPO′O″NMC设O′、O″为EQ\o\ac(APB,\s\up9(︵))和EQ\o\ac(AB图4DOPO′O″NMC∵O′与O关于AB对称，O″与O关于CD对称∴M为OO′的中点，N为OO″的中点∵EQ\o\ac(CPD,\s\up9(︵))与EQ\o\ac(APB,\s\up9(︵))所在圆外切，∴连心线O′O″必过切点P∵EQ\o\ac(CPD,\s\up9(︵))与EQ\o\ac(APB,\s\up9(︵))所在圆与⊙O都是等圆，∴O′P＝O″P＝2∴PM＝EQ\F(1,2)OO″＝ON，PM∥OO″，也即PM∥ON∴四边形OMPN是平行四边形40．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，过CD延长线上一点E作⊙O的切线交AB的延长线于F，切点为G，连接AG交CD于K．OGDEACBFOGDEACBFHK（2）若KG2＝KD·GE，试判断AC与EF的位置关系，并说明理由；（3）在（2）的条件下，若sinE＝EQ\F(3,5)，AK＝2eq\r(,5)，求FG的长．解：（1）连接OGOGDEACBFHK∵EFOGDEACBFHK∴∠OGA＋∠KGE＝90°∵CD⊥AB，∴∠OAG＋∠HKA＝90°∵OA＝OG，∴∠OGA＝∠OAG∴∠KGE＝∠HKA，∴KE＝GE（2）AC与EF的位置关系是AC∥EF理由如下：连接DG∵KG2＝KD·GE＝KD·KE，∴EQ\F(KG,KD)＝EQ\F(KE,KG)∵∠DKG＝∠GKE，∴△KDG∽△KGE，∴∠AGD＝∠E又∵在⊙O中，∠AGD＝∠ACD，∴∠E＝∠ACD，∴AC∥EF（3）∵∠ACH＝∠E，∴sin∠ACH＝sinE＝EQ\F(3,5)在Rt△ACH中，设AH＝3t，则AC＝5t，CH＝4t由AC∥EF，易得△ACK是等腰三角形，CK＝AC＝5t∴HK＝CK－CH＝t在Rt△AHK中，由勾股定理得AH2＋HK2＝AK2即(3t)2＋t2＝(2eq\r(,5))2，解得t＝eq\r(,2)∴AH＝3eq\r(,2)，CA＝CK＝5eq\r(,2)连接BC由△ACH∽△ABC，得AC2＝AH·AB（或由射影定理得）∴AB＝EQ\F(AC2,AH)＝EQ\F((5eq\r(,2))2,3eq\r(,2))＝EQ\F(25eq\r(,2),3)在Rt△EFH中，由sinE＝EQ\F(3,5)