2023-2024学年山东省济南实验中学八年级（上）开学数学试卷（含解析）

2023-2024学年山东省济南实验中学八年级第一学期开学数学试卷一.选择题（共10小题，4*10＝40分）1．如图，数字代表所在正方形的面积，则A所代表的正方形的面积为（）A．10 B．28 C．100 D．不能确定2．如图，平面直角坐标系中点P的坐标是（）A．（2，1） B．（﹣2，1） C．（1，﹣2） D．（﹣2，﹣1）3．下列各组数分别为一个三角形三边的长，其中能构成直角三角形的一组是（）A．2，3，4 B．6，8，10 C．5，12，14 D．1，1，24．下列说法正确的个数为（）①有理数与无理数的差都是有理数；②无限小数都是无理数；③无理数都是无限小数；④两个无理数的和不一定是无理数；⑤无理数分为正无理数、零、负无理数．A．2个 B．3个 C．4个 D．5个5．下列说法中，正确的是（）A．0.09的平方根是0.3 B．＝±2 C．0的立方根是0 D．1的立方根是±16．若△ABC中，AB＝c，AC＝b，BC＝a，下列不能判定△ABC为直角三角形的是（）A．a＝32，b＝42，c＝52 B．a：b：c＝5：12：13 C．（c+b）（c﹣b）＝a2 D．∠A+∠B＝∠C7．在平面直角坐标系中，点A的坐标是（3a﹣5，a+1）．若点A到x轴的距离与到y轴的距离相等，且点A在y轴的右侧，则a的值为（）A．1 B．2 C．3 D．1或38．如图，正方体的棱长为4cm，A是正方体的一个顶点，B是侧面正方形对角线的交点．一只蚂蚁在正方体的表面上爬行，从点A爬到点B的最短路径是（）A．9 B．3+6 C．2 D．129．如图，将边长为8cm的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，点A落在点F处，折痕为MN，则线段CN的长是（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm10．设S1＝1，S2＝1，S3＝1，…，Sn＝1，则的值为（）A． B． C． D．二.填空题（共6小题，4*6＝24分）11．一直角三角形两条直角边长分别为3和4，则该三角形的斜边长为．12．如图，所有的四边形是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形面积为9cm2，则图中所有的正方形的面积之和为cm2．13．已知a、b满足+|b+3|＝0，则（a+b）2021的值为．14．已知P点坐标为（4﹣a，3a+9），且点P在x轴上，则点P的坐标是．15．如图，实数﹣，，m在数轴上所对应的点分别为A，B，C，点B关于原点O的对称点为D．若m为整数，则m的值为．16．如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，分别以△ABC的三条边为直角边作三个等腰直角三角形：△ABD、△ACE、△BCF，若图中阴影部分的面积S1＝6.5，S2＝3.5，S3＝5.5，则S4＝．三.解答题（4小题，共计36分）17．（16分）计算：（1）；（2）；（3）；（4）．18．如图，一高层住宅发生火灾，消防车立即赶到距大厦9米处（车尾到大厦墙面），升起云梯到火灾窗口，已知云梯长15米，云梯底部距地面3米，问：发生火灾的住户窗口距离地面BD有多高？19．已知：在平面直角坐标系中，A（0，1），B（2，0），C（4，3）（1）求△ABC的面积；（2）设点P在x轴上，且△ABP与△ABC的面积相等，求点P的坐标．20．在△ABC中，∠BAC＝90°，D为△ABC内一点，连接DA，DC，延长DA到点E，使得AE＝AD．（1）如图1，延长CA到点F，使得AF＝AC，连接BF，EF．若BF⊥EF，求证：CD⊥BF；（2）连接BE，交CD的延长线于点H，如图2，若BC2＝BE2+CD2，试判断CD与BE的位置关系，并证明．

参考答案一.选择题（共10小题，4*10＝40分）1．如图，数字代表所在正方形的面积，则A所代表的正方形的面积为（）A．10 B．28 C．100 D．不能确定【分析】由勾股定理即可求出答案．解：由勾股定理可知：SA＝36+64＝100，故选：C．【点评】本题考查勾股定理，解题的关键是熟练运用勾股定理，本题属于基础题型．2．如图，平面直角坐标系中点P的坐标是（）A．（2，1） B．（﹣2，1） C．（1，﹣2） D．（﹣2，﹣1）【分析】根据点的坐标的定义判断即可．解：由图可得，点P的横坐标是﹣2，纵坐标是1，故点P的坐标为（﹣2，1）．故选：B．【点评】本题考查了点的坐标，掌握点的坐标的定义是解答本题的关键．3．下列各组数分别为一个三角形三边的长，其中能构成直角三角形的一组是（）A．2，3，4 B．6，8，10 C．5，12，14 D．1，1，2【分析】先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，看看是否相等即可．解：A．∵22+32≠42，∴以2，3，4为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；B．∵62+82＝102，∴以6，8，10为边能组成直角三角形，故本选项符合题意；C．∵52+122≠142，∴5，12，14为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；D．∵12+12≠22，∴以1，1，2为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；故选：B．【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理的逆定理的内容是解此题的关键，注意：如果一个三角形的两边a、b的平方和等于第三边c的平方，即a2+b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形．4．下列说法正确的个数为（）①有理数与无理数的差都是有理数；②无限小数都是无理数；③无理数都是无限小数；④两个无理数的和不一定是无理数；⑤无理数分为正无理数、零、负无理数．A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【分析】根据有理数，无理数的定义即可判定．解：①有理数与无理数的差都是无理数，故不正确；②无限不循环小数都是无理数，故不正确；③无理数都是无限不循环小数，故不正确；④两个无理数的和不一定是无理数，正确；⑤无理数分为正无理数、零、负无理数，正确．故选：A．【点评】此题主要考查了实数、无理数、有理数的定义及其关系，有理数都可以化为小数，其中整数可以看作小数点后面是零的小数，分数都可以化为有限小数或无限循环小数，无理数是无限不循环小数，其中有开方开不尽的数，如2，33等，也有π这样的数．5．下列说法中，正确的是（）A．0.09的平方根是0.3 B．＝±2 C．0的立方根是0 D．1的立方根是±1【分析】根据平方根的意义、立方根的意义，可得答案．解：A、0.09的平方根是±0.3，故A不符合题意；B、＝2，故B不符合题意；C、0的立方根是0，故C符合题意；D、1的立方根是1，故D不符合题意；故选：C．【点评】本题考查了实数，利用平方根的意义、立方根的意义是解题关键．6．若△ABC中，AB＝c，AC＝b，BC＝a，下列不能判定△ABC为直角三角形的是（）A．a＝32，b＝42，c＝52 B．a：b：c＝5：12：13 C．（c+b）（c﹣b）＝a2 D．∠A+∠B＝∠C【分析】根据勾股定理的逆定理可以判断选项B、C、D是否符合题意，根据三角形内角和，可以判断选项B是否符合题意，本题得以解决．解：a＝32，b＝42，c＝52，则a2+b2≠c2，故选项A符合题意；当a：b：c＝5：12：13时，设a＝5x，b＝12x，c＝13x，则a2+b2＝（5x）2+（12x）2＝c2，故选项B不符合题意；由（c+b）（c﹣b）＝a2整理得：a2+b2＝c2，故选项C不符合题意；由∠A+∠B＝∠C，可知∠C＝90°，故选项D不符合题意；故选：A．【点评】本题考查勾股定理的逆定理，会用勾股定理的逆定理判断三角形的形状是解答本题的关键．7．在平面直角坐标系中，点A的坐标是（3a﹣5，a+1）．若点A到x轴的距离与到y轴的距离相等，且点A在y轴的右侧，则a的值为（）A．1 B．2 C．3 D．1或3【分析】根据点A到x轴的距离与到y轴的距离相等可得3a﹣5＝a+1或3a﹣5＝﹣（a+1），解出a的值，再由点A在y轴的右侧可得3a﹣5＞0，进而可确定a的值．解：∵点A到x轴的距离与到y轴的距离相等，∴3a﹣5＝a+1或3a﹣5＝﹣（a+1），解得：a＝3或1，∵点A在y轴的右侧，∴点A的横坐标为正数，∴3a﹣5＞0，∴a＞，∴a＝3．故选：C．【点评】此题主要考查了点的坐标，关键是掌握到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值．8．如图，正方体的棱长为4cm，A是正方体的一个顶点，B是侧面正方形对角线的交点．一只蚂蚁在正方体的表面上爬行，从点A爬到点B的最短路径是（）A．9 B．3+6 C．2 D．12【分析】将正方体的左侧面与前面展开，构成一个长方形，用勾股定理求出距离即可．解：如图，AB＝＝2，故选：C．【点评】本题考查了最短路径问题，勾股定理，解题的关键是将平面展开，组成一个直角三角形．9．如图，将边长为8cm的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，点A落在点F处，折痕为MN，则线段CN的长是（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm【分析】由折叠的性质可得DN＝NE，由中点的性质可得EC＝4cm，结合正方形的性质可得∠BCD＝90°；设CN的长度为xcm，则EN＝DN＝（8﹣x）cm，接下来在直角△CEN中运用勾股定理就可以求出CN的长度．解：∵四边形MNEF是由四边形ADMN折叠而成的，∴DN＝NE．∵E是BC的中点且BC＝8cm，∴EC＝4cm．∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD＝90°．设CN的长度为xcm，则EN＝DN＝（8﹣x）cm，由勾股定理NC2+EC2＝NE2，得x2+42＝（8﹣x）2，解得x＝3．故选：A．【点评】本题考查翻折变换的问题，折叠问题其实质是轴对称，对应线段相等，对应角相等，找到相应的直角三角形利用勾股定理求解是解决本题的关键．10．设S1＝1，S2＝1，S3＝1，…，Sn＝1，则的值为（）A． B． C． D．【分析】观察第一步的几个计算结果，得出一般规律．解：，，，＝，…，，∴＝1+1…+1+﹣＝24+1﹣＝．故选：A．【点评】本题考查了数字算式的变化规律．关键是观察几个结果的结果，由特殊到一般，得出规律．二.填空题（共6小题，4*6＝24分）11．一直角三角形两条直角边长分别为3和4，则该三角形的斜边长为5．【分析】此题直接利用勾股定理解答即可．解：这个直角三角形的斜边长＝＝5，故答案为：5．【点评】此题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．12．如图，所有的四边形是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形面积为9cm2，则图中所有的正方形的面积之和为27cm2．【分析】根据勾股定理有S正方形2+S正方形3＝S正方形1，S正方形C+S正方形D＝S正方形2，S正方形A+S正方形B＝S正方形3，等量代换即可求所有正方形的面积之和．解：如图所示，根据勾股定理可知，S正方形2+S正方形3＝S正方形1，S正方形C+S正方形D＝S正方形，S正方形A+S正方形E＝S正方形2，∴S正方形C+S正方形D+S正方形A+S正方形E＝S正方形1，则S正方形1+S正方形2+S正方形3+S正方形C+S正方形D+S正方形A+S正方形E＝3S正方形1＝3×9＝27（cm2）．故答案为：27．【点评】本题考查了勾股定理．有一定难度，注意掌握直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．13．已知a、b满足+|b+3|＝0，则（a+b）2021的值为﹣1．【分析】根据非负数的性质列式求出a、b的值，然后代入代数式进行计算即可得解．解：由题意得，a﹣2＝0，b+3＝0，解得a＝2，b＝﹣3，所以，（a+b）2021＝（2﹣3）2021＝﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查了非负数的性质．解题的关键是掌握非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．14．已知P点坐标为（4﹣a，3a+9），且点P在x轴上，则点P的坐标是（7，0）．【分析】直接利用x轴上点的坐标特点得出3a+9＝0，求出a的值，进而得出答案．解：∵P点坐标为（4﹣a，3a+9），且点P在x轴上，∴3a+9＝0，解得：a＝﹣3，∴4﹣a＝7，故点P的坐标是：（7，0）．故答案为：（7，0）．【点评】此题主要考查了点的坐标，正确得出a的值是解题关键．15．如图，实数﹣，，m在数轴上所对应的点分别为A，B，C，点B关于原点O的对称点为D．若m为整数，则m的值为﹣3．【分析】先求出点D表示的数，然后确定点C的取值范围，根据m为整数，即可得到m的值．解：∵点B表示的数是，点B关于原点O的对称点是点D，∴点D表示的数是﹣，∵点C在点A、D之间，∴﹣＜m＜﹣，∵﹣4＜﹣＜﹣3，﹣3＜﹣＜﹣2，∴﹣＜﹣3＜﹣，∵m为整数，∴m的值为﹣3．答案为：﹣3．【点评】本题主要考查了对称的性质和估算无理数的大小，解答本题的关键是确定无理数的整数部分．16．如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，分别以△ABC的三条边为直角边作三个等腰直角三角形：△ABD、△ACE、△BCF，若图中阴影部分的面积S1＝6.5，S2＝3.5，S3＝5.5，则S4＝2.5．【分析】设AB＝BD＝a，AC＝CE＝b，BC＝CF＝c，S△ABG＝m，S△ACH＝n，由a2+b2＝c2，可得S△ABD+S△ACE＝S△BCF，由此构建关系式，可得结论．解：∵△ABD、△ACE、△BCF均是等腰直角三角形，∴AB＝BD，AC＝CE，BC＝CF，设AB＝BD＝a，AC＝CE＝b，BC＝CF＝c，S△ABG＝m，S△ACH＝n，∵a2+b2＝c2，∴S△ABD+S△ACE＝S△BCF，∴S1+m+n+S4＝S2+S3+m+n，∴S4＝3.5+5.5﹣6.5＝2.5故答案为：2.5．【点评】本题考查了勾股定理在几何计算中的应用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．三.解答题（4小题，共计36分）17．（16分）计算：（1）；（2）；（3）；（4）．【分析】（1）先把各根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可；（2）从左到右依次计算即可；（3）先算乘法，再算加减即可；（4）先根据数的开方法则及绝对值的性质分别计算出各数，再根据实数的运算法则进行计算即可．解：（1）原式＝3+3﹣2+5＝8+；（2）原式＝÷×＝×＝＝1；（3）原式＝3++2﹣＝3+2+2﹣＝5+；（4）原式＝4+﹣1+3＝6+．【点评】本题考查的是二次根式的混合运算，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键．18．如图，一高层住宅发生火灾，消防车立即赶到距大厦9米处（车尾到大厦墙面），升起云梯到火灾窗口，已知云梯长15米，云梯底部距地面3米，问：发生火灾的住户窗口距离地面BD有多高？【分析】根据AB和AC的长度，构造直角三角形，根据勾股定理就可求出直角边BC的长．解：过点A作AC⊥BD，垂足为C，由题意可知：AE＝CD＝3米，AC＝9米，AB＝15米；在Rt△ABC中，根据勾股定理，得AC2+BC2＝AB2，即，BC2+92＝152，BC2＝152﹣92＝144，∴BC＝12（米），∴BD＝BC+CD＝12+3＝15（米）；答：发生火灾的住户窗口距离地面15米．【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，熟练记忆勾股定理公式是解题关键．19．已知：在平面直角坐标系中，A（0，1），B（2，0），C（4，3）（1）求△ABC的面积；（2）设点P在x轴上，且△ABP与△ABC的面积相等，求点P的坐标．【分析】（1）过点C向x、y轴作垂线，垂足分别为D、E，然后依据S△ABC＝S四边形CDEO﹣S△AEC﹣S△ABO﹣S△BCD求解即可．（2）设点P的坐标为（x，0），于是得到BP＝|x﹣2|，然后依据三角形的面积公式求解即可．解：（1）过点C作CD⊥x轴，CE⊥y，垂足分别为D、E．S△ABC＝S四边形CDEO﹣