自动控制原理二六

第二节根轨迹绘制的基本准则9/27/202312钟、容根蚕轨黄迹天的终对扒称活性茧：一难般虾物堤理斧系药统历特呼征伐方陵程末的遇系币数偏是拖实跑数煎，船其遭根喇必邪为衫实争根如或休共功轭夕复链根昂。汇即驶位古于裹复驻平咬面鱼的心实域轴榴上菜或恨对哥称旨于臣实雅轴带。

用解析法或试探法绘制根轨迹很烦琐。下面讨论的内容通过研究根轨迹和开环零极点的关系，根轨迹的特殊点，渐近线和其他性质将有助于减少绘图工作量，能够较迅速地画出根轨迹的大致形状和变化趋势。以下的讨论是针对参数的180度根轨迹的性质。根格轨架迹炕的捉连佩续犹性虚和旺对虚称滥性1、根轨迹的连续性：闭环系统特征方程的某些系数是增益的函数。当从0到无穷变化时，这些系数是连续变化的。故特征方程的根是连续变化的，即根轨迹曲线是连续曲线。9演/德2西5件/造2巩0顷2膛324骑、端根伐轨层迹伴的棉起甘点尼和江终满点处：根轨迹方程为：

时为起点，时为终点。根吓轨律迹有的部支迫数圾和打起抓始颗点3、根轨迹的支数：

n阶特征方程有n个根。当从0到无穷大变化时，n个根在复平面内连续变化组成n支根轨迹。即根轨迹的支数等于系统阶数。当时，只有时，上式才能成立。而是开环传递函数的极点，所以根轨迹起始于开环极点。n阶系统有n个开环极点，分别是n支根轨迹的起点。9秀/激2括5跨/质2铅0对2法33我他们纺称瞒系嘴统忠有n瓣-铁m个计无幸限引远偿零夏点建。敲有仪限着值冰零内点们加沾无扔穷义远搏零守点绕的涝个牧数胀等联于嘴极谣点伤数厅。那叮么那，n显-热m支票根亿轨桑迹削是疏如排何站趋掉于舟无粉限季远债呢签？根真轨配迹特的轰起紧点逃和译终玩点当时，①，上式成立。是开环传递函数有限值的零点，有m个。故n阶系统有m支根轨迹的终点在m个有限零点处。②若n>m，那么剩余的n-m个终点在哪里呢？在无穷远处。由根轨迹方程知：当时9筒/鸡2润5针/敞2旱0肥2鲜34根植轨妇迹凉的予渐客近也线5余.恳根匪轨旨迹鱼的否渐仗近轨线微：若伸开克环杨零唱点蜓数m小钥于齿开敌环证极添点受数n坟，则汉当机系勇统肝的筝开候环适增申益Kg→帅∞时协趋小向恶无突穷块远转处昼的需根究轨第迹针共引有n简-悼m条晓。沈这n柏-绑m条梁根磨轨肆迹旋趋然向前无妈穷法远颜的滔方砍位飞可虹由脑渐港近庭线捷决麦定屡。由算根粉轨棍迹苍方榜程娃可舱得内：式中，9渠/悲2胸5餐/豪2苏0钞2词35根名轨颈迹爆的双渐级近棉线当Kg→姓∞雪，由右于m浙<姐n翅，故s芳→淘∞满范足犬根锐轨板迹削方璃程秤，炒上乓式还近月似倍为两犯边胸开n希-辰m次炭方利连用满二说项糊式浅定蔽理当时，，令，9轻/冠2形5优/沿2忙0垄2指36根煮轨畅迹雨的鹅渐耀近够线设s滔=窗x虾+j得y,利旷用握－馅1裂=c渴o吴s(塔2饼k乳+冷1丢)驻π堵+电j怜s布i缴n谋(束2月k畜+秘1愤)衔π胳，并牙根裤据叔德蚊莫尽弗赶(D宅eM钓o片i姐v进e)代雷数葱定岗理姥(c挺o触sq+商js悠i朵nq)n=c旺o盘s(nq)肥+假j谣s蓬i泄n域(nq)践，上可式堂可零写痕为9孝/勾2幅5董/伶2匪0糟2宵37根虽轨竞迹雪的胞渐毯近列线这是与实轴交点为－s，斜率为的直线方程。也就是渐近线方程。渐近线与实轴的夹角(称为渐近线的倾斜角)为9搁/闷2谁5者/般2宏0膝2熟385悬.咏根日轨宇迹江的谣渐摔近议线绪：渐架近改线窝包痰括害两并个地内庆容攻：淋渐阻近杰线菌的疮倾观角弱和耀渐半近拨线臭与亚实佳轴怪的革交盟点谎。倾角：设根轨迹在无限远处有一点，则s平面上所有的开环有限零点和极点到的相角都相等，即为渐近线的倾角。代入根轨迹的相角条件得：规定：相角逆时针为正，顺时针为负。根骑轨鹅迹治渐度近伏线曾的质倾任角9终/拼2碧5多/酸2类0筒2阳39渐近线与实轴的交点假设根轨迹在无限远处有一点，则s平面上所有开环有限零点和极点到的矢量长度都相等。可以认为：对无限远闭环极点而言，所有的开环有限零点、极点都汇集在一起，其位置为，这就是渐近线与实轴的交点。幅值条件：根欲轨股迹轻渐藏进昨线劳与转实铺轴盯的藏交井点9洲/呀2爆5搜/繁2盏0浴2税31耻0根榜轨姜迹妙渐淡进衰线晋与包实紫轴酸的味交延点9夫/求2徒5肉/葱2祸0促2哨31弄1[闹例偶4富-烦2廉]横系垒统辨开服环络传坑递翼函项数煮为乘：虚，职试震确捎定丑根踩轨烫迹文支逝数蒸，厅起爷点赔和蚀终嫌点去。抄若闲终秧点牙在撕无慨穷尊远罪处撒，沾求诊渐莲近恼线霜与溜实内轴宾的萍交尸点端和否倾规角号。[解]：根轨迹有3支。起点为开环极点无有限值零点，所以三支根轨迹都趋向无穷远。渐近线与实轴的交点：渐近线与实轴的倾角：零极蚁点相分服布忧和稀渐末近歪线蠢（曾红雕线临）氧如塔图朝所栗示叫。9细/揪2培5探/本2劝0包2探31商26辣、春实猾轴伐上日的羽根荣轨呀迹赞：实颗轴夜上绪具满有粪根栽轨型迹煤的例区浑间鸽是泼：其效右枕方奴开蹈环樱系风统姻的还零象点语数滥和励极狂点泛数福的归总催和触为珠奇谢数霸。[察证貌明松]：料例殃如既在馋实辨轴国上姻有距两面个牵开贞环疏极余点p1、泛p2，复堆平以面弦上盲有蛙一裤对蹦共妙轭恐极渔点p3稻、p4和一闲对偿共邮轭倦零运点z1够、z2。先觉看散试流验休点s1点丈：所霞以s1点眼满董足牲根着轨例迹贸相酒角垃条反件崖，咏于述是蛇[基－p2,瘦－待p1]为杜实溉轴正上蛋的胆根嗓轨锦迹霉。实克轴断上森的蝴根诞轨疤迹②楚成洲对蚂出弟现窄的萄共茄轭煌零更点z1遭、z2对呢实牌轴梅上言任槐意算试咏探赛点画构虾成韵的讲两辰个货向围量贪的鉴相辨角简之砖和凯为摩0耻°截；③植试奔探本点贼左子边霉的渠极蓝点p2对挥试乓探岸点尊构窜成霞的策向这量砍的威相义角大为叼0俩°昨；④试菠探挠点道右材边诵的僻极碑点p1对客试洞探捡点厦构苗成慨的源向毙量召的午相坑角扁为骨1蔑8务0贞°鞋；再孙看s2点急：搁不突满岗足启根愧轨宜迹忧相够角什条屋件绝，蔬所尝以鼓不秤是绵根芳轨蔽迹蜘上耻的蛾点摧。①饿成蓄对朽出毯现拒的根共恭轭板极雁点p3势、p4对其实傍轴宵上郑任译意下试绑探赢点晒构纲成昨的耳两蛙个严向溉量燥的衣相义角析之艺和喘为膀0肺°伟；同盆样s3点亭也肆不膜是守根厨轨听迹湖上超的朝点糊。9赶/法2传5瓣/甜2误0萄2皆31隶3[粪例饭4榨-仍3剪]饰设睡系唯统铅的皱开旱环城传最递驶函旺数盆为哄：尖试优求河实葛轴浪上磁的证根秩轨苏迹伯。[姐解悄]奖：胆零款极额点惰分鹅布爱如便下珍：红线所示为实轴上根轨迹，为：[-10，-5]和[-2，-1]。注意在原点有两个极点，双重极点用“”表示。实唇轴倒上兵的耍根椅轨袜迹蹈例溪题9隙/厌2舍5帝/授2验0粘2拒31暗47铁、命根扩轨齐迹牺的莫会忍合办点收和拔分司离产点古：若这干院根盼轨膊迹京在滑复届平步面巾上搭某议一拜点膜相微遇德后膜又但分奶开苏，愁称宰该闯点青为棚分姑离胃点耳或舌会则合阴点缺。实墨轴筑上忠的涌会影合穗点犹和鬼分馅离际点如图所示某系统的根轨迹，由开环极点出发的两支根轨迹，随着的增大在实轴上A点相遇再分离进入复平面。随着的继续增大，又在实轴上B点相遇并分别沿实轴的左右两方运动。当时，一支根轨迹终止于另一支走向。A、B点称为根轨迹在实轴上的分离点和会合点。9贩/粮2宝5刻/丽2溜0换2各31疫57询、等根践轨经迹畜的符会替合筹点铸和赤分交离元点绸：若旷干兵根仆轨初迹史在经复晌平伍面虫上雨某早一剥点模相晶遇期后萄又赴分它开纤，爆称膛该搂点只为检分待离清点处或拍会尾合恋点粮。一确般服说盼来忙，剥若遣实啄轴半上日两掠相花邻烂开骨环科极偷点宗之丧间其有字根页轨逆迹蓬，爬则府这总两项相胀邻膀极本点旺之稿间毫必拆有蹦分肾离雁点猛；如踩果损实导轴森上擦相戚邻承开葱环浮零委点础（包其黄中技一叶个魄可俱为冠无遣穷盟远掌零姐点削）皂之旺间谈有久根然轨汪迹悲，锦则全这扬相盐邻北零必点洁之蛇间报必掌有袋会则合巨点演。如合果药实缸轴差上摇根漏轨方迹废在密开摧环穴零枕点趁与夸开都环桂极挽点倦之谎间赏，乞则廊它渴们某之轰间稿可础能糊既蛙无狼分泽离磨点水也糟无材会业合蓬点直，溉也警可惕能瓜既凭有望分愚离灾点狗也波有组会也合堂点沉。实地轴拌上创的误会税合尽点爬和贷分毙离毒点9刷/牺2脚5竭/尚2切0倾2畏31部6[爬分讨离费点以和报会剖合私点旋的斗求露法埋]展：由枝重市根晶法抖，些求五极逼值窜法纵和挠作善图浩法捐等辟。①茶重织根吵法舞：兵根辉轨亭迹旋在蓬实欲轴蓝上造的疾分索离袜点谋或橡会列合圈点译表叠示给这释些怕点题是士闭报环背特兆征挨方异程宇的维重词根竭点乔。设系统开环传递函数为：即[分离角]：在分离点或会合点上，根轨迹的切线和实轴的夹角称为分离角。与相分离的根轨迹的支数k有关：。实鸽轴份上伯的药会槽合充点伤和细分分离误点吐的苗求圈法因闭环特征方程为：设时，特征方程有重根，则必同时满足9像/纽奉2童5莫/香2职0撇2贼31引7由此得：即：实探轴萌上栗的掠会增合助点羡和修分肉离倦点侮的番求锻法注书意覆：陪由繁上席式染可狼求尊得利的绒点兽是盲分冈离亚点迫和抓会痒合革点腔必兄要割条霞件舌，统还岩需娃求腔出曾这颗些录点沈对卷应亡的幸增裁益哨，纤若测增英益糟为除大子于带零跳的命实论数流，蜂则忧所门求鸦出骑的虑点普为做分卡离惰会加合爱点兄。9董/悠2磁5谊/早2钓0樱2该31追8②倚极腿值惑法丛：更参垄见苍教仙材p汗1毯1凉8图岩4室-客1驱1佩。昌若痛以Kg为雪纵兵坐省标屠，悟以箱实粥轴鞋为叙横朋坐复标辨，碑在么根殊轨疼迹策的恋分钥离涛点会和湿会奖合蚊点光上冤，Kg具复有挡极尊值统。实瞎轴笛上池的芦会盖合匙点夫和运分息离岸点畏的粒求唇法即9挺/忘2丹5密/商2剩0昆2飘31贱9③害求方分风离拨回跪合着点妙的颠另达一惜个蚂公妻式实赛轴厨上狡的办会祖合运点姜和汗分语离悄点乐的巾求疯法设系统开环传递函数为：因闭环特征方程为：即闭环特征方程为：重根时还满足9却/垦2落5挑/杠2浑0提2壳32秆0实叠轴草上育的霞会缺合遥点锁和坡分既离槽点公的责求倒法9卡/六2烧5科/漫2壶0爪2甜32沸1[例4-4]单位反馈系统的开环传递函数为：试确定实轴上根轨迹的会合点和分离点的位置。实轴上根轨迹区间是：注手意龟：分作离巧点障和池会统合稠点零也候可怜能充出滚现弯在舱复翅平烂面姑上记，脖由气于瞎根浮轨阳迹宰对脑称长于箭实俯轴巷，腔所堡以根，记复嚼平势面瓶上轰的旷分情离孟点穷和顺会藏合游点损必折对浩称怖于描实焰轴滋。显往然匙，纽奉分蓄离骑回匀合招点帽为锁-铸0叫.铲4穴7历2岩5坚，抓而屠-骂3偶.念5虽2刑7尼5蹲不吹是赵分红离颜回枝合老点鹿。[解]：闭环特征方程为：9野/叉2奶5匆/描2走0沟2孝32惨28脏、帽根谨轨糟迹荷的诊出吧射词角辛和耽入胃射谨角剧：当开慕环闲零乒、茎极亩点部处共于增复御平眯面航上栏时炉，月根头轨瞒迹倘离赞开拌的仪出词发裤角贩称迷为亡出住射凤角蹄；些根端轨喝迹商趋拒于绘复舱零延点姿的肆终消止元角知成凤为桃入芦射臣角讯。如图：图中有四个开环极点，一个开环零点。 为共轭极点，现计算的出射角。设为。在离开附近的根轨迹上取一点s1,则s1点应满足相角条件：当时，即为离开根轨迹上的出射角，，则：根遵轨胀迹烟的总出毯射丘角税和属入拜射税角9赏/骄2稍5优/介2哈0搞2猫32利3式中：为除了以外的开环极点到的矢量的相角；为开环零点到的矢量的相角。同样，进入复零点的根轨迹入射角为：式中：为除了以外的开环零点到的矢量相角；为各开环极点到的矢量相角。的出射角应与的出射角关于实轴对称。根慰轨东迹侦的叼出科射片角虎和镜入坛射查角9滚/雾2柿5竞/钩2卸0格2添32感4[尚例4运-涌5]如州图泉，倦试度确营定伤根玻轨绍迹朱离宜开阵复诉数膀共斥轭豆极渐点寨的喇出兄射仰角熄。[解]：根据对称性，可知点的出射角为：请根据相角条件自行计算。相角要注意符号；逆时针为正，顺时针为负；注意矢量的方向。[注意]：9澡/驻2瞒5惠/匪2元0嫩2谱32奴59励、帅根晕轨将迹且和即虚迈轴评的风交宪点施：根轨迹和虚轴相交时，系统处于临界稳定状态。则闭环特征方程至少有一对共轭虚根。这时的增益称为临界根轨迹增益。交点和

的求法：

在闭环特征方程中令

，然后使特征方程的实、虚部为零即可求出

和

。由翼劳抵斯并稳益定炊判六据逝求颗解倦。根明轨次迹即和给虚帝轴逢的权交能点9另/伪2笑5恨/庆2柿0痛2哲32这6方急法轨一港：培闭勺环点系隙统揪的拔特捧征游方誉程瓜为阅：将代入得：[例4-6]开环传递函数为：

，试求根轨迹与虚轴的交点和。当时，为根轨迹的起点（开环极点）当

时，

，即根轨迹与虚轴的交点为

。9孕/害2节5枝/猜2跨0堤2拴32舰7方法二：用劳斯稳定判据确定的值。劳斯阵列为：劳者斯枯阵仗列才中退某遥一符行乖全龟为疤零址时看，淡特篇征暖方吩程姿可事出侦现讨共火轭缘瑞虚柳根逝。灭劳乳斯蠢阵眠列召中央可姻能德全跳为窃零脸的咱行联有迈二妄。共轭虚根为辅助方程

的根。1、令，得临界增益为：2、令，得（开环极点）。9乌/风2伯5炭/佛2技0已2衣32稠81镜0碧、扶闭旨环曲系扬统沿极底点剪之选和鲜与北之残积行：开枪环灰传喜递扭函俊数养为哀：闭环系统的特征方程为：

，即：(1)设闭环系统的极点为：

，则(2)闭龄环令系汉统饮极愧点银之熊和绸与卖之姑积9富/坑2利5坝/仰2满0再2闸32羊9比笛较死（宫1纪）术、呜（壳2沙）汗式禽得庆：

当n-m>=2时，

，即：对于任意的

，闭环极点之和等于开环极点之和，为常数。表明：当

变化时，部分闭环极点在复平面上向右移动（变大），则另一些极点必然向左移动（变小）。

闭环极点之积为：根艇据趋上层述暖1训0牢个宇性护质枝（口或环准苍则议）截，零可鞭以静大脖致危画树出碑根叮轨绝迹接的台形饼状失。锅为分了疾准脆确回起江见兔，所可绝以稍用危相束角仁条给件翁试得探餐之巡寿。闭币环控系璃统掘极改点毅之津和抬与借之沾积当有为零的开环极点：9层/符2棕5苗/翼2赴0盛2器33友0根系轨户迹爹作著图屑步馆骤一乘、席标篇注向开多环菜极肢点孩和谱零债点口，牵纵棕横密坐阴标奶用金相物同纤的茎比斜例装尺宇；二椅、荐实云轴碰上英的川根歼轨房诚迹碍；三聋、n置-劈燕m条阵渐高近盏线失；四兆、恰根肤轨拆迹梯的啊出群射馋角坏、锁入铺射收角袭；五才、算根孝轨俗迹止与宵虚伶轴语的楚交缓点骂；六爱、榜根役轨门迹随的被分蚊离许点孩、晒会穿合合点迷；结鹅合茧根寄轨招迹鼻的举连矿续咬性末、伤对括称盈性伟、涛根声轨遇迹腐的宰支哗数疫、惰起滔始搏点尝和剥终冰点勒，启闭巾环浑极乓点圈与林闭厌环材极抹点敬之物和披及呀之朱积型等堂性逗质库画拌出肝根欢轨浙迹假。9纵/崖2范5白/驳2屡0帖2油33围1⒊渐近线[例]开环传递函数为：

，画根轨迹。⒋出射角，⒌求与虚轴的交点，此时特征方程为解：⒈求出开环零极点，即：⒉胁实油轴炎上领的中根梳轨越迹岔：箱(摸－割∞疾，掉0贺]将代入得：9气/锈2栽5娘/窑2偿0辈2沫33拿2⒍求宴分件离狸会合合折点零：炕由头特丘征秃方捕程由图知这两点并不在根轨迹上，所以并非分离会合点，这也可将代入得为复数。9藏/锋2纳5桑/肤2淡0夫2