湖北省十堰市八年级(上)期末数学试卷

八年级（上）期末数学试卷题号一二三四总分得分一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）用形状，大小完全相同的图形不能镶嵌成平面图案的是（）A.等腰三角形 B.正方形 C.正五边形 D.正六边形下列计算，正确的是（）A.a2⋅a2=2a2 B.a2+a2=a4 C.(−a2)2=a4 D.(a+1)2=a2+1化简m2m−n+n2n−m的结果是（）A.m+n B.n−m C.m−n D.−m−n若a、b、c为△ABC的三边长，且满足|a-4|+b−2=0，则c的值可以为（）A.5 B.6 C.7 D.8如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD=4，AB=15，则△ABD的面积是（）A.15 B.30 C.45 D.60如图，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，BD是△ABC的角平分线．若在边AB上截取BE=BC，连接DE，则图中等腰三角形共有（）A.2个

B.3个

C.4个

D.5个

如图，△ABC中，BD平分∠ABC，BC的中垂线交BC于点E，交BD于点F，连接CF．若∠A=60°，∠ABD=24°，则∠ACF的度数为（）A.48∘

B.36∘

C.30∘

D.24∘

对于实数a、b，定义一种新运算“⊗”为：a⊗b=1a−b2，这里等式右边是实数运算．例如：1⊗3=11−32=−18．则方程x⊗（-2）=2x−4-1的解是（）A.x=4 B.x=5 C.x=6 D.x=7若分式a+ba3中的a，b的值同时扩大到原来的3倍，则分式的值（）A.是原来的3倍 B.是原来的127 C.是原来的19 D.是原来的13如图△ABC中，∠A=96°，延长BC到D，∠ABC与∠ACD的平分线相交于点A1，∠A1BC与∠A1CD的平分线相交于点A2，依此类推，∠A4BC与∠A4CD的平分线相交于点A5，则∠A5的度数为（）

A.19.2∘ B.8∘ C.6∘ D.3∘二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）分解因式：3m2-12=______．若x2+kxy+49y2是一个完全平方式，则k=______．林林家距离学校a千米，骑自行车需要b分钟，若某一天林林从家中出发迟了c分钟，则她每分钟应骑______千米才能不迟到．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为20°，则顶角的度数是______．如图，四边形ABCD中，∠BAD=120°，∠B=∠D=90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN周长最小时，则∠AMN+∠ANM的度数是______．

如图，在△ABP1中，BP1⊥AP1，AP1=2，∠A=30°，且P1Q1⊥AB，P2Q1⊥AP1，…，PnQn⊥AB，Pn+1Qn⊥AP1，则P2018Q2018长为______．三、计算题（本大题共2小题，共13.0分）已知：a+b=1，ab=-2，且a＞b，求a2+b2，a2-b2的值．

化简：（1-2x−1）•x2−xx2−6x+9

四、解答题（本大题共7小题，共59.0分）分解因式：

（1）-3x2+6xy-3y2；

（2）（a+b）（a-b）+4（b-1）．

如图，BE=CF，DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，且DB=DC，

求证：AD是∠BAC的平分线．

如图，等边△ABC中，E是AB上任意一点，以CE为边作等边△ECD，连接AD，试判断AD与BC的位置关系，并证明你的结论．

某服装店用4500元购进一批衬衫，很快售完，服装店老板又用2100元购进第二批该款式的衬衫，进货量是第一次的一半，但进价每件比第一批降低了10元．（1）这两次各购进这种衬衫多少件？（2）若第一批衬衫的售价是200元/件，老板想让这两批衬衫售完后的总利润不低于2100元，则第二批衬衫每件至少要售多少元？

在当今“互联网+”时代，有一种用“因式分解法”生成密码的方法：将一个多项式因式分解，如将多项式x3+2x2-x-2分解的结果为（x-1）（x+1）（x+2）．当x=19时，x-1=18，x+1=20，x+2=21，此时可得到数字密码182021．

（1）根据上述方法，当x=37，y=12时，对于多项式x3-xy2分解因式后可以形成哪些数字密码（写出两个即可）？

（2）将多项式x3+（m-3n）x2-nx-21因式分解后，利用题目中所示的方法，当x=87时可以得到密码808890，求m，n的值．

如图，△ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点，由A向C运动（与A、C不重合），Q是CB延长线上一点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动（Q不与B重合），过P作PE⊥AB于E，连接PQ交AB于D．

（1）当∠BQD=30°时，求AP的长；

（2）当运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果变化请说明理由．

在△ABC中，AB=AC，D是直线BC上一点，以AD为一条边在AD的右侧作△ADE，使AE=AD，∠DAE=∠BAC，连接CE．

（1）如图，当点D在BC延长线上移动时，若∠BAC=25°，则∠DCE=______．

（2）设∠BAC=α，∠DCE=β．

①当点D在BC延长线上移动时，α与β之间有什么数量关系？请说明理由；

②当点D在直线BC上（不与B，C两点重合）移动时，α与β之间有什么数量关系？请直接写出你的结论．

答案和解析1.【答案】C

【解析】解：A、正三角形的每个内角是60°，能整除360°，能密铺；

B、正方形的每个内角是90°，4个能密铺；

C、正五边形每个内角是：180°-360°÷5=108°，不能整除360°，不能密铺；

D、正六边形每个内角为120度，能找出360度，能密铺．

故选：C．

分别求出等腰三角形的内角和，各个正多边形的每个内角的度数，结合镶嵌的条件即可作出判断．

本题考查的知识点是：一种正多边形的镶嵌应符合一个内角度数能整除360°．任意多边形能进行镶嵌，说明它的内角和应能整除360°．2.【答案】C

【解析】解：A、a2•a2=a4，故此选项错误；

B、a2+a2=2a2，故此选项错误；

C、（-a2）2=a4，故此选项正确；

D、（a+1）2=a2+2a+1，故此选项错误；

故选：C．

根据同底数幂相乘判断A，根据合并同类项法则判断B，根据积的乘方与幂的乘方判断C，根据完全平方公式判断D．

本题主要考查了幂的运算、合并同类项法则及完全平方公式，熟练掌握其法则是解题的关键．3.【答案】A

【解析】解：+

=-

=

=m+n．

故选：A．

首先进行通分运算，进而分解因式化简求出答案．

此题主要考查了分式的加减运算，正确分解因式是解题关键．4.【答案】A

【解析】解：∵|a-4|+=0，

∴a-4=0，a=4；b-2=0，b=2；

则4-2＜c＜4+2，

2＜c＜6，5符合条件；

故选：A．

先根据非负数的性质，求出a、b的值，进一步根据三角形的三边关系“第三边大于两边之差，而小于两边之和”，求得第三边的取值范围，从而确定c的可能值；

本题考查了等腰三角形的性质、三角形三边关系及非负数的性质：有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零；注意初中阶段有三种类型的非负数：（1）绝对值；（2）偶次方；（3）二次根式（算术平方根）．5.【答案】B

【解析】解：由题意得AP是∠BAC的平分线，过点D作DE⊥AB于E，

又∵∠C=90°，

∴DE=CD，

∴△ABD的面积=AB•DE=×15×4=30．

故选：B．

判断出AP是∠BAC的平分线，过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=CD，然后根据三角形的面积公式列式计算即可得解．

本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质以及角平分线的画法，熟记性质是解题的关键．6.【答案】D

【解析】解：∵AB=AC，

∴△ABC是等腰三角形；

∵AB=AC，∠A=36°，

∴∠ABC=∠C=72°，

∵BD是△ABC的角平分线，

∴∠ABD=∠DBC=∠ABC=36°，

∴∠A=∠ABD=36°，

∴BD=AD，

∴△ABD是等腰三角形；

在△BCD中，∵∠BDC=180°-∠DBC-∠C=180°-36°-72°=72°，

∴∠C=∠BDC=72°，

∴BD=BC，

∴△BCD是等腰三角形；

∵BE=BC，

∴BD=BE，

∴△BDE是等腰三角形；

∴∠BED=（180°-36°）÷2=72°，

∴∠ADE=∠BED-∠A=72°-36°=36°，

∴∠A=∠ADE，

∴DE=AE，

∴△ADE是等腰三角形；

∴图中的等腰三角形有5个．

故选：D．

根据已知条件分别求出图中三角形的内角度数，再根据等腰三角形的判定即可找出图中的等腰三角形．

此题考查了等腰三角形的判定，用到的知识点是等腰三角形的判定、三角形内角和定理、三角形外角的性质、三角形的角平分线定义等，解题时要找出所有的等腰三角形，不要遗漏．7.【答案】A

【解析】解：∵BD平分∠ABC，

∴∠DBC=∠ABD=24°，

∵∠A=60°，

∴∠ACB=180°-60°-24°×2=72°，

∵BC的中垂线交BC于点E，

∴BF=CF，

∴∠FCB=24°，

∴∠ACF=72°-24°=48°，

故选：A．

根据角平分线的性质可得∠DBC=∠ABD=24°，然后再计算出∠ACB的度数，再根据线段垂直平分线的性质可得BF=CF，进而可得∠FCB=24°，然后可算出∠ACF的度数．

此题主要考查了线段垂直平分线的性质，以及三角形内角和定理，关键是掌握线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．8.【答案】B

【解析】解：根据题意，得=-1，

去分母得：1=2-（x-4），

解得：x=5，

经检验x=5是分式方程的解．

故选：B．

所求方程利用题中的新定义化简，求出解即可．

此题考查了解分式方程，弄清题中的新定义是解本题的关键．9.【答案】C

【解析】解：原式===×；

故选：C．

根据分式的基本性质即可求出答案．

本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质，本题属于基础题型．10.【答案】D

【解析】解：∵∠ABC与∠ACD的平分线相交于点A1，

∴∠ABC=2∠A1BC，∠A1CD=∠ACD

根据三角形的外角的性质得，∠A1CD=（∠ABC+∠A）=（2∠A1BC+∠A）=∠A1BC+∠A，

根据三角形的外角的性质得，∠A1CD=∠A1BC+∠A1，

∴∠A1=∠A

同理：∠A2=∠A1，

∴∠A2=∠A1=×∠A=∠A

同理：∠A3=∠A

∠A4=∠A，

∠A5=∠A=×96°=3°，

故选：D．

利用角平分线的定义和三角形内角与外角的性质计算．

此题主要考查角平分线的定义和三角形内角与外角的性质，有点难度．11.【答案】3（m+2）（m-2）

【解析】解：3m2-12，

=3（m2-4），

=3（m+2）（m-2）．

故答案为：3（m+2）（m-2）．

先提取公因式3，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．

本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．12.【答案】±14

【解析】解：∵x2+kxy+49y2是一个完全平方式，

∴±2×x×7y=kxy，

∴k=±14．

这里首末两项是x和7y这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去x和7y积的2倍．

本题是完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解．13.【答案】ab−c

【解析】解：所用时间为：b-c．∴林林的骑车速度为．

由速度=总路程÷时间即可列式．

解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系．14.【答案】110°或70°

【解析】解：此题要分情况讨论：当等腰三角形的顶角是钝角时，腰上的高在外部．

根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，即可求得顶角是90°+20°=110°；

当等腰三角形的顶角是锐角时，腰上的高在其内部，

故顶角是90°-20°=70°．

故答案为：110°或70°．

本题要分情况讨论．当等腰三角形的顶角是钝角或者等腰三角形的顶角是锐角两种情况．

考查了等腰三角形的性质，注意此类题的两种情况．其中考查了直角三角形的两个锐角互余；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．15.【答案】120°

【解析】解：作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于M，交CD于N，则A′A″即为△AMN的周长最小值．作DA延长线AH，

∵∠DAB=120°，

∴∠HAA′=60°，

∴∠AA′M+∠A″=∠HAA′=60°，

∵∠MA′A=∠MAA′，∠NAD=∠A″，

且∠MA′A+∠MAA′=∠AMN，∠NAD+∠A″=∠ANM，

∴∠AMN+∠ANM=∠MA′A+∠MAA′+∠NAD+∠A″=2（∠AA′M+∠A″）=2×60°=120°，

故答案为：120°．

根据要使△AMN的周长最小，即利用点的对称，让三角形的三边在同一直线上，作出A关于BC和CD的对称点A′，A″，即可得出∠AA′M+∠A″=∠HAA′=60°，进而得出∠AMN+∠ANM=2（∠AA′M+∠A″）即可得出答案．

此题主要考查了平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性质和垂直平分线的性质等知识，根据已知得出M，N的位置是解题关键．16.【答案】（34）2017

【解析】解：在Rt△AP1Q1中，∵AP1=2，∠A=30°，

∴P1Q1=AP1=1，

由30°的直角三角形的性质可知，

P2Q2=P1Q1=，P3Q3=P2Q2=（）2，…，PnQn=（）n-1，

∴P2018Q2018=（）2017

故答案为：（）2017．

在Rt△AP1Q1中，由AP1=2，∠A=30°，求P1Q1，再由30°的直角三角形中，P2Q2=P2Q1•cos30°=P1Q1•cos30°•cos30°=（）2P1Q1=P1Q1，得出一般规律，利用规律写出答案即可．

本题考查了图形的变化，含30°的直角三角形的性质．关键是由易到难，由特殊到一般找出线段长度的变化规律．17.【答案】解：把a+b=1两边平方得：（a+b）2=1，即a2+b2+2ab=1，

将ab=-2代入得：a2+b2-4=1，即a2+b2=5；

∴（a-b）2=a2+b2-2ab=5+4=9，

∵a＞b，即a-b＞0，

∴a-b=3，

则a2-b2=（a+b）（a-b）=3．

【解析】

利用完全平方公式计算即可求出所求．

此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．18.【答案】解：原式=x−1−2x−1•x(x−1)(x−3)2

=x−3x−1•x(x−1)(x−3)2

=xx−3．

【解析】

先算括号内的减法，再算乘法即可．

本题考查了分式的混合运算，掌握运算法则是解此题的关键．19.【答案】解：（1）-3x2+6xy-3y2

=-3（x2-2xy+y2）

=-3（x-y）2；

（2）（a+b）（a-b）+4（b-1）

=a2-b2+4b-4

=a2-（b-2）2

=（a+b-2）（a-b+2）．

【解析】

（1）直接提取公因式-3，进而利用完全平方公式分解因式得出答案；

（2）直接去括号，再将后三项分组，利用公式法分解因式即可．

此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．20.【答案】证明：∵DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，

∴∠BED=∠CFD，

∴△BDE与△CDF是直角三角形，

∵BE=CFBD=CD，

∴Rt△BDE≌Rt△CDF，

∴DE=DF，

∴AD是∠BAC的平分线．

【解析】

先根据全等三角形的判定定理得出Rt△BDE≌Rt△CDF，进而得出DE=DF，由角平分线的判定可知AD是∠BAC的平分线．

本题考查的是角平分线的判定及全等三角形的判定与性质，熟知到角的两边的距离相等的点在角的平分线上是解答此题的关键．21.【答案】解：结论：AD∥BC．

理由：∵△ABC，△CED都是等边三角形，

∴CB=CA，CE=CD，∠BCA=∠B=∠ECD=60°，

∴∠BCE=∠ACD，

在△BCE和△ACD中，

CB=CA∠BCE=∠ACDCE=CD，

∴△BCE≌△ACD（SAS），

∴∠CAD=∠B=60°，

∴∠DAC=∠ACB，

∴AD∥BC．

【解析】

结论：AD∥BC．证明△BCE≌△ACD（SAS），推出∠CAD=∠B=60°，可得∠DAC=∠ACB解决问题．

本题考查等边三角形的判定和性质，平行线的判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．22.【答案】解：（1）设第二次购进衬衫x件，则第一次购进衬衫2x件，

依题意，得：45002x-2100x=10，

解得，x=15，

经检验，x=15是所列分式方程的解，且符合题意，

∴2x=30．

答：第一次购进衬衫30件，第二次购进衬衫15件．

（2）由（1）可知，第一次购进衬衫的单价为150元/件，第二次购进衬衫的单价为140元/件，

设第二批衬衫的售价为y元/件，

依题意，得：（200-150）×30+（y-140）×15≥2100，

解得：y≥180．

答：第二批衬衫每件至少要售180元．

【解析】

（1）设第二次购进衬衫x件，则第一次购进衬衫2x件，根据单价=总价÷数量结合第二次的进价每件比第一次降低了10元，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；

（2）由单价=总价÷数量可得出第一次、第二次购进衬衫的单价，设第二批衬衫的售价为y元/件，根据总利润=每件利润×销售数量结合总利润不低于2100元，即可得出关于y的一元一次不等式，解之取其最大值即可得出结论．

本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．23.【答案】解：（1）∵x3-xy2=x（x-y）（x+y）

∴当x=37，y=12时，x-y=25，x+y=49

∴可得到数字密码372549或374925

（2）∵当x=87时，密码为808890，且x3的系数是1

∴由（1）可知：x-7=80，x+1=88，x+3=90

∴x3+（m-3n）x2-nx-21=（x-7）（x+1）（x+3）=x3-3x2-25x-21

∴m-3n=-3，n=25

即m=72，n=25

答：m=72，n=25．

【解析】本题考查了因式分解的应用及自定义题型的做法，二问考查了对题干的理解及逆向思维的运用.

（1）由题干方法对其分解因式代数即可；

（2）正难则反思想的介入，x的最高次项系数为1，所以分解后一定是x减某个数或x加5某个数的三个代数式相乘.24.【答案】解：（1）∵△ABC是边长为6的等边三角形，

∴∠ACB=60°，

∵∠BQD=30°，

∴∠QPC=90°，

设AP=x，则PC=6-x，QB=x，

∴QC=QB+BC=6+x，

∵在Rt△QCP中，∠BQD=30°，

∴PC=12QC，即6-x=12（6+x），解得x=2，

∴AP=2；

（2）当点P、Q同时运动且速度相同时，线段DE的长度不会改变．理由如下：

作QF⊥AB，交直线AB于点F，连接QE，PF，

又∵PE⊥AB于E，

∴∠DFQ=∠AEP=90°，

∵点P、Q速度相同，

∴AP=BQ，

∵△ABC是等边三角形，

∴∠A=∠ABC=∠FBQ=60°，

在△APE和△BQF中，

∵∠AEP=∠BFQ=90°，

∴∠APE=∠BQF，

∠AEP=∠BFQ∠A=∠FBQAP=BQ，

∴△APE≌△BQF（AAS），

∴AE=BF，PE=QF且PE∥QF，

∴四边形PEQF是平行四边形，

∴DE=12EF，

∵EB+AE=BE+BF=AB，

∴DE=12AB，

又∵等边△ABC的边长为6，

∴DE=3，

∴点P、Q同时运动且速度相同时，线段DE的长度不会改变．

【解析】