七年级数学上册专题4.5 直线、射线、线段（知识讲解）-2022-2023学年七年级数学上册基础知识专项讲练（人教版）

/专题4.5直线、射线、线段（知识讲解）【学习目标】理解直线、射线、线段的概念及表示方法，理解点和直线的位置关系；理解并掌握直线、射线、线段之间的区别和联系；识别线段、射线、线段的数量，并能掌握线段上的点和线段数量内在关系；理解直线交点个数与直线量关之间的内在关系。【要点梳理】要点一、直线1．概念：直线是最简单、最基本的几何图形之一，是一个不作定义的原始概念，直线常用“一根拉得紧的细线”、“一张纸的折痕”等实际事物进行形象描述．2.表示方法：（1）可以用直线上的表示两个点的大写英文字母表示，如图1所示，可表示为直线AB(或直线BA)．（2）也可以用一个小写英文字母表示，如图2所示，可以表示为直线．特别说明：直线的特征：（1）直线没有长短，向两方无限延伸．（2）直线没有粗细．（3）两点确定一条直线．（4）两条直线相交有唯一一个交点．3.点与直线的位置关系：（1）点在直线上，如图3所示，点A在直线m上，也可以说：直线m经过点A．（2）点在直线外，如图4，点B在直线n外，也可以说：直线n不经过点B．要点二、线段1.概念：直线上两点和它们之间的部分叫做线段．2.表示方法：（1）线段可用表示它两个端点的两个大写英文字母来表示，如图5所示，记作：线段AB或线段BA．（2）线段也可用一个小写英文字母来表示，如图5所示，记作：线段a．要点三、射线1.概念：直线上一点和它一侧的部分叫射线，这个点叫射线的端点．如图6所示，直线l上点O和它一旁的部分是一条射线，点O是端点．图6图62.特征：是直的，有一个端点，不可以度量，不可以比较长短，无限长．3.表示方法：（1）可以用两个大写英文字母表示，其中一个是射线的端点，另一个是射线上除端点外的任意一点，端点写在前面，如图6所示，可记为射线OA．（2）也可以用一个小写英文字母表示，如图6所示，射线OA可记为射线l．特别说明：(1)端点相同，而延伸方向不同，表示不同的射线．如图7中射线OA，射线OB是不同的射线．图7图7(2)端点相同且延伸方向也相同的射线，表示同一条射线．如图8中射线OA、射线OB、射线OC都表示同一条射线．图8图8要点四、直线、射线、线段的区别与联系1.直线、射线、线段之间的联系（1）射线和线段都是直线上的一部分，即整体与部分的关系．在直线上任取一点，则可将直线分成两条射线；在直线上取两点，则可将直线分为一条线段和四条射线．（2）将射线反向延伸就可得到直线；将线段一方延伸就得到射线；将线段向两方延伸就得到直线．2．三者的区别如下表特别说明：（1）联系与区别可表示如下：（2）在表示直线、射线与线段时，勿忘在字母的前面写上“直线”“射线”“线段”字样．【典型例题】类型一、直线、射线、线段的理解1．如图，在数轴上，点A表示3，点B表示－.数轴是什么图形？数轴上原点O左边的部分(包括原点)是什么图形？怎样表示？射线OB上的点表示什么数？端点表示什么数？数轴上表示不小于－且不大于3的部分是什么图形？怎样表示？【答案】(1)直线;(2)射线，射线OB;(3)非正数，0;(4)线段，线段AB【分析】（1）数轴是直线；（2）根据射线的定义，即可解答；（3）根据负数和0，即可解答；（4）根据线段的定义，即可解答．解：（1）数轴是直线；（2）数轴在原点O左边的部分（包括原点）是射线，表示为射线OB；（3）射线OB上的点表示0和负数，端点表示0；（4）数轴上表示不小于-，且不大于3的部分是线段，表示为线段AB．【点拨】本题考查了数轴，解决本题的关键是熟记数轴的有关概念．举一反三：【变式1】指出下图中的直线、射线、线段，并一一表示出来．【答案】射线AB、射线BA，射线BC、射线CB；线段AB、线段AC、线段BC，直线AB、直线BC、直线AC等．【分析】根据直线、射线、线段的概念求解即可．解：∵，∴通过分析上图可得：射线AB，射线BA，射线BC，射线CB；线段AB，线段AC，线段BC； 直线AB、直线BC、直线AC等．【点拨】此题考查了直线、射线、线段的概念，解题的关键是熟练掌握直线、射线、线段的概念．【变式2】判断下列说法是否正确：（1）线段和射线都是直线的一部分（2）直线和直线是同一条直线；（3）射线和射线是同一条射线；（4）把线段向一个方向无限延伸可得到射线，向两个方向无限延伸可得到直线．【答案】（1）（2）（4）正确，（3）错误．【分析】根据直线、射线、线段的定义以及表示方法对各小题分析判断即可得解．解：（1）线段和射线都是直线的一部分，正确；（2）直线和直线是同一条直线，正确；（3）射线的端点是点，射线的端点是点，不是同一条射线，故本小题错误；（4）把线段向一个方向无限延伸可得到射线，向两个方向无限延伸可得到直线，正确．综上所述：（1）（2）（4）正确，（3）错误．【点拨】本题考查了直线、射线、线段的定义与表示，解题的关键是熟记概念与它们的区别与联系．类型二、几何语言描述：直线、射线、线段2．数学学习过程中，正确掌握几何语言是学好几何知识的必备条件．(1)下列语句中，能正确描述图1的有（填序号），①直线a经过O，B两点；②直线a，b相交于点O；③点A在直线b的延长线上；④经过O，A两点有且只有一条直线b．(2)已知平面上三点A，B，C，如图2，按下列语句画图：①画射线AB，直线AC；②连接BC，并延长BC到点D，使．【答案】(1)①②④(2)画图见详解．【分析】利用直线、射线、线段的定义，根据题中的几何语言画出对应的几何图形．(1)①正确，点O点B都在直线a上．②正确，直线a，b的交点是点O．③错误，直线b向两端无限延伸的，点A在直线b上．④正确，两点确定一条直线．故：①②④正确．(2)①如图，射线AB，直线AC就是所求的线；②连接BC，并延长BC到点D，使．如图线段BD就是所求的线段．【点拨】本题考查了直线射线以及线段的知识，解题的关键是掌握三者各自的特点．举一反三：【变式】作图题：如图，平面上四个点A、B、C、D，根据下列语句作图画直线AB；画射线BC；画线段CD，连结AD．（不写作法）【答案】图形见分析分析：根据直线、射线、线段的定义作图即可.解：如图所示：类型三、由几何语言的描述画直线、射线、线段3．已知四点A、B、C、D．根据下列语句，画出图形．①画直线AB；②连接AC、BD，相交于点O；③画射线AD、射线BC，相交于点P．【分析】根据直线、射线、线段的性质画图即可．解：如图【点拨】此题主要考查了简单作图，解答此题需要熟练掌握直线、射线、线段的性质，认真作图解答即可．举一反三：【变式1】作图：如图，平面内有A，B，C，D四点按下列语句画图：（1）画射线AB，直线BC，线段AC（2）连接AD与BC相交于点E.【分析】利用作射线，直线和线段的方法作图．解：如图：【点拨】本题考查了作图﹣复杂作图，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图．【变式2】如图按下列语句画图（1）连接BC．（2）画直线AB、CD相交于E．（3）作射线AD．（4）连接AC、BD，相交于点O．【分析】根据线段、直线、射线的画法即可得．解：由题意，画图如下：【点拨】本题考查了画线段、直线、射线，熟练掌握线段、直线、射线的画法是解题关键．类型四、点线位置关系4．按下列要求分别画出图形．（1）直线AB外有一点C；（2）P是直线a外一点，经过点P有一条直线b与直线a相交于点Q．【答案】（1）见分析；（2）见分析【分析】（1）根据点与直线的关系进行作图即可；（2）根据点与直线的关系进行作图即可．解：（1）如图所示（画法不唯一）；（2）如图所示（画法不唯一）．【点拨】本题考查了点与直线的相关作图，明确点与直线的位置关系是解题的关键．举一反三：【变式】按照下列语句画出图形．（1）点P在直线AB上，但不在直线CD上；（2）点Q既不在直线a上，也不在直线b上；（3）直线EF经过点D，点C不在直线EF上．【答案】（1）见分析；（2）见分析；（3）见分析【分析】（1）画两条直线、，在上标记一点，且不在直线上；（2）画两条直线，在这两条直线外标记一点；（3）画一条直线，在直线上标记一点，直线外标记一点．解：（1）如图所示：（画法不唯一）（2）如图所示：（画法不唯一）（3）如图所示：（画法不唯一）【点拨】此题考查了点与直线的位置关系，熟练掌握点与直线的位置关系是解题的关键．类型五、直线、射线、线段的数量问题5．若直线上有两个点，则以这两点为端点可以确定一条线段．请仔细观察图形，解决下列问题：(1)如图1，直线l上有3个点A，B，C，则可以确定条线段；(2)如图2，直线l上有4个点A，B，C，D，则可以确定条线段；(3)若直线上有n个点，一共可以确定多少条线段？请写出解题过程．【答案】(1)3(2)6(3)条，见分析【分析】（1）根据线段定义即可求解．（2）根据线段的定义即可求解．（3）由（1）（2）找出规律即可求解．（1）解：由图可得：直线l上有3个点A，B，C，可得线段AB、线段BC和线段AC，则可以确定3条线段，故答案为：3．（2）有图可得：直线l上有4个点A，B，C，D，可得线段AB、线段AC、线段AD、线段BC、线段BD和线段CD，则可以确定6条线段，故答案为：6．（3）由（1），（2）可得，当直线上有n个点，则：．【点拨】本题考查了线段的定义及数量关系，熟练掌握线段的定义及数量关系是解题的关键．举一反三：【变式1】如图，在平面内有A，B，C三点．(1)画直线AB；画射线AC；画线段BC；(2)在线段BC上任取一点D（不同于B，C两点），连接AD，并延长AD至点E，使；(3)数一数，此时图中共有多少条线段？多少条射线？【答案】(1)见分析(2)见分析(3)有8条线段，6条射线【分析】（1）根据直线、射线、线段的定义，即可求解；（2）先画出线段AD，再延长AD至点E，使，即可求解；（3）根据射线、线段的定义，即可求解．(1)解：如图，直线AB，射线AC，线段BC即为所求；(2)解：如图，线段AD和DE即为所求；(3)解：图中的线段有AB、AC、AD、DE、AE、CD、DB、BC，共有8条，射线有AC、CH、AG、BG、BF、AF，共有6条．【点拨】本题主要考查了直线、射线、线段的定义，熟练掌握直线没有端点、长度无限，可以向两端无限延长；射线只有一个端点，长度无限，可以向一端无限延长；线段有两个端点，长度有限是解题的关键．【变式2】（1）【观察思考】如图，线段上有两个点、，分别以点、、、为端点的线段共有________条．（2）【模型构建】若线段上有个点（包括端点），则该线段上共有___________条线段．（3）【拓展应用】若有10支球队参加校级篮球比赛，比赛采用单循环制（即每支球队之间都要进行一场比赛），请你应用上述模型构建，求一共要进行多少场比赛？【答案】（1）6；（2）；（3）45场【分析】（1）从左向右依次固定一个端点A，C，D找出线段，最后求和即可；（2）根据数线段的特点列出式子化简即可；（3）将实际问题转化成（2）的模型，借助（2）的结论即可得出结论．解：（1）∵以点A为左端点向右的线段有：线段AB、AC、AD，以点C为左端点向右的线段有线段CD、CB，以点D为左端点的线段有线段DB，∴共有3＋2＋1＝6（条）．故答案为：6；（2）设线段上有m个点，该线段上共有线段x条，则x＝（m−1）＋（m−2）＋（m−3）＋…＋3＋2＋1，∴倒序排列有x＝1＋2＋3＋…＋（m−3）＋（m−2）＋（m−1），∴2x＝m＋m＋m＋…＋m＝m（m−1），∴x＝m（m−1）．故答案为：；（3）把10支球队看作直线上的10个点，每两支球队之间的一场比赛看作一条线段，由题知，当m＝10时，．答：一共要进行45场比赛．【点拨】此题主要考查了线段的计数问题，解本题的关键是找出规律，此类题目容易数重或遗漏，要特别注意．类型六、直线相交的交点个数问题6．按要求完成作图及作答：(1)如图1，请用适当的语句表述点P与直线l的关系：；(2)如图1，画直线PA；(3)如图1，画射线PB；(4)如图2，平面内三条直线交于A、B、C三点，点M、N是平面内另外两点，若分别过点M、N各作一条直线，则新增的两条直线使得平面内最多新增个交点．【答案】(1)P在直线l外；(2)见分析(3)见分析(4)7【分析】（1）根据点与直线的关系即可填空；（2）根据直线的定义即可画直线PA；（3）根据射线的定义即可画射线PB；（4）根据题意画出图形即可得平面内最多新增的交点个数．解：(1)点P与直线l的关系：P在直线l外；故答案为：P在直线l外；(2)如图1，直线PA即为所求；(3)如图1，射线PB即为所求；(4)如图2，新增的两条直线使得平面内最多新增7个交点．故答案为：7．【点拨】本题考查了作图−应用与设计作图，直线的性质：两点确定一条直线，相交线，解决本题的关键是掌握直线的性质．举一反三：【变式1】两条直线相交，有一个交点，三条直线相交，最多有多少个交点？四条直线呢？你能发现什么规律吗？【答案】两条直线相交，最多有1个交点，三条直线相交，最多有3个交点，四条直线相交，最多有6个交点，…，规律：n条直线相交，最多有个交点．【分析】根据两直线相交，最多有1个交点，三直线相交最多有1+2=3个交点，四条直线相交，最多有1+2+3=6个交点，由此可以发现最多交点个数就是从1开始的连续的正整数相加，最后一个加数比直线的条数少1，由此进行求解即可解：两条直线相交，最多有1个交点，三条直线相交，最多有1+2=3个交点，四条直线相交，最多有1+2+3=6个交点……由此可以发现最多交点个数就是从1开始的连续的正整数相加，最后一个加数比直线的条数少1，一般地，n条直线相交，最多有（首尾相加和为n，第二和倒数第二个的和也为n，由此即可推出此式子）个交点．【点拨】本题主要考查了直线的交点个数问题，解题的关键在于能够根据特例推出相应的规律