七年级数学上册专题05 有理数相关概念类易错题专训（解析版）

/专题05有理数相关概念类易错题专训1．下列说法中，正确的是（）A．一个有理数不是正数就是负数 B．一个有理数不是整数就是分数 C．若|a|＝|b|，则a与b互为相反数 D．整数包括正整数和负整数【分析】根据有理数的分类，以及绝对值的概念判断即可．【解答】解：A．0既不是正数也不是负数，故A错误；B．整数和分数统称为有理数；故B正确；C．若|a|＝|b|，则a＝b或a与b互为相反数．故C错误；D．整数包括正整数、0和负整数，故D错误．故选：B．2．下列各数中，绝对值最小的是（）A．﹣3 B．﹣2 C．0 D．3【分析】绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数，故0的绝对值最小．【解答】解：∵|﹣3|＝3，|﹣2|＝2，|0|＝0，|3|＝3，∴绝对值最小的数是0．故选：C．3．下列说法正确的是（）A．所有的整数都是正数 B．整数和分数统称有理数 C．0是最小的有理数 D．不是正数的数一定是负数【分析】由实数的分类可知B正确，ACD错误．【解答】解：A．﹣1，﹣2，0等都是整数，但不是正数，不符合题意；B．根据有理数的分类可知B正确，符合题意；C．负有理数比0小，不符合题意；D．0既不是正数，也不是负数，不符合题意，故选：B．4．下列说法，正确的是（）A．一个数不是正数就是负数 B．只有符号不同的两个数叫做互为相反数 C．没有绝对值最小的有理数 D．倒数等于本身的数是0，±1【分析】根据有理数、正负数、绝对值、相反数和倒数的定义即可得出答案．【解答】解：A．一个数不是正数就是负数，说法错误，如0，既不是正数也不是负数；B．只有符号不同的两个数叫做互为相反数，说法正确；C．没有绝对值最小的有理数，说法错误，绝对值最小的有理数是0；D．倒数等于本身的数是0，±1，说法错误，0没有倒数．故选：B．5．如图，数轴上A、B两点所表示的两个数分别是m、n，把m、n、﹣m、﹣n按从小到大顺序排列，排列正确的是（）A．﹣m＜﹣n＜m＜n B．m＜n＜﹣m＜﹣n C．m＜﹣n＜﹣m＜n D．m＜﹣n＜n＜﹣m【分析】根据数轴表示数的方法得到m＜0＜n，且|m|＞n，则﹣m＞n，﹣n＞m，即可得到m、n、﹣m、﹣n的大小关系．【解答】解：∵m＜0＜n，且|m|＞n，∴﹣m＞n，﹣n＞m，∴m、n、﹣m、﹣n的大小关系为m＜﹣n＜n＜﹣m．故选：D．6．绝对值大于3小于7的正整数有（）个．A．2 B．3 C．4 D．5【分析】首先根据有理数大小比较的方法，判断出绝对值大于3，且小于7的正整数有哪些即可．【解答】解：绝对值大于3小于7的正整数有：4、5、6，共3个．故选：B．7．当﹣1＜x＜0时，，x，﹣x的大小关系是（）A． B． C． D．【分析】根据﹣1＜x＜0时，可得：＜﹣1，0＜﹣x＜1，据此判断出，x，﹣x的大小关系即可．【解答】解：∵﹣1＜x＜0时，∴＜﹣1，0＜﹣x＜1，∴＜x＜﹣x．故选：B．8．已知2020|a+1|与2021|b+3|互为相反数，则a﹣b的值为（）A．﹣1 B．﹣2 C．4 D．2【分析】根据相反数的定义列出算式，根据非负数的性质求出a、b的值，代入计算即可．【解答】解：因为2020|a+1|与2021|b+3|互为相反数，所以2020|a+1|+2021|b+3|＝0，所以a+1＝0，b+3＝0，解得，a＝﹣1，b＝﹣3，则a﹣b＝﹣1﹣（﹣3）＝2，故选：D．9．下列说法错误的有（）①最大的负整数是﹣1；②绝对值是本身的数是正数；③有理数分为正有理数和负有理数；④数轴上表示﹣a的点一定在原点的左边；⑤在数轴上7与9之间的有理数是8．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】根据负整数的意义，可判断①；根据绝对值的意义，可判断②；根据有理数的分类，可判断③；根据负数的意义，可判断④；根据有理数的意义，可判断⑤．【解答】解：①最大的负整数是﹣1，故①正确；②绝对值是它本身的数是非负数，故②错误；③有理数分为正有理数、0、负有理数，故③错误；④a＜0时，﹣a在原点的右边，故④错误；⑤在数轴上7与9之间的有理数有无数个，故⑤错误；故选：D．10．若a+b＜0，a＜0，b＞0，则a，﹣a，b，﹣b的大小关系是（）A．a＜﹣b＜b＜﹣a B．﹣b＜a＜﹣a＜b C．a＜﹣b＜﹣a＜b D．﹣b＜a＜b＜﹣a【分析】用“特值法”可以迅速求解．【解答】解：按题意，可设a＝﹣2，b＝1，则﹣a＝2，﹣b＝﹣1．由于﹣2＜﹣1＜1＜2，所以a＜﹣b＜b＜﹣a．故选：A．11．已知a，b，c为非零的实数，则的可能值的个数为（）A．4 B．5 C．6 D．7【分析】分a、b、c三个数都是正数，两个正数，一个正数，都是负数四种情况，根据绝对值的性质去掉绝对值号，再根据有理数的加法运算法则进行计算即可得解．【解答】解：①a、b、c三个数都是正数时，a＞0，ab＞0，ac＞0，bc＞0，原式＝1+1+1+1＝4；②a、b、c中有两个正数时，设为a＞0，b＞0，c＜0，则ab＞0，ac＜0，bc＜0，原式＝1+1﹣1﹣1＝0；设为a＞0，b＜0，c＞0，则ab＜0，ac＞0，bc＜0，原式＝1﹣1+1﹣1＝0；设为a＜0，b＞0，c＞0，则ab＜0，ac＜0，bc＞0，原式＝﹣1﹣1﹣1+1＝﹣2；③a、b、c有一个正数时，设为a＞0，b＜0，c＜0，则ab＜0，ac＜0，bc＞0，原式＝1﹣1﹣1+1＝0；设为a＜0，b＞0，c＜0，则ab＜0，ac＞0，bc＜0，原式＝﹣1﹣1+1﹣1＝﹣2；设为a＜0，b＜0，c＞0，则ab＞0，ac＜0，bc＜0，原式＝﹣1+1﹣1﹣1＝﹣2；④a、b、c三个数都是负数时，即a＜0，b＜0，c＜0，则ab＞0，ac＞0，bc＞0，原式＝﹣1+1+1+1＝2．综上所述，的可能值的个数为4．故选：A．12．a的相反数是，则a的倒数是．【分析】直接利用相反数的定义得出a的值，再利用倒数的定义得出答案．【解答】解：∵a的相反数是，∴a＝﹣，∴a的倒数是：﹣．故答案为：﹣．13．已知m，n互为相反数，则2m+2n+2﹣＝.【分析】直接利用相反数的定义代入得出答案．【解答】解：∵m，n互为相反数，∴m+n＝0，∴原式＝2（m+n）+2﹣0＝2×0+2＝2．故答案为：2．14．将数分类：﹣2，0，﹣0.1314，11，，﹣4，0.03，2%．正数：{}；非负数：{}；负分数：{}；非负整数：{}．【分析】根据有理数的定义以及正数、非负数、负分数、非负整数的定义分别得出即可．【解答】解：正数：{11，，0.03，2%}；非负数：{0，11，，0.03，2%}；负分数：{﹣0.1314，﹣4}；非负整数：{0，11}．故答案为：11，，0.03，2%；0，11，，0.03，2%；﹣0.1314，﹣4；0，11．15．已知有理数a＜﹣1，则化简|a+1|+|1﹣a|的结果是．【分析】先化简每一个绝对值，然后再进行计算即可解答．【解答】解：∵a＜﹣1，∴a+1＜0，1﹣a＞0，∴|a+1|+|1﹣a|＝﹣a﹣1+1﹣a＝﹣2a，故答案为：﹣2a．16．若▲表示最小的正整数，■表示最大的负整数，●表示绝对值最小的有理数，则（▲+●）×■＝．【分析】最大的负整数是﹣1，最小的正整数是1，绝对值最小的数是0．由此代入计算即可．【解答】解：▲是1，■是﹣1，●是0，∴（▲+●）×■＝（1+0）×（﹣1）＝﹣1．故答案为：﹣1．17．定义：对于任意两个有理数a，b，可以组成一个有理数对（a，b），我们规定（a，b）＝a+b﹣1．例如（﹣2，5）＝﹣2+5﹣1＝2．根据上述规定解决下列问题：（1）有理数对（2，﹣1）＝；（2）当满足等式（﹣5，3x+2m）＝5的x是正整数时，则m的正整数值为．【分析】（1）原式利用题中的新定义计算即可求出值；（2）已知等式利用题中的新定义化简，根据x与m都为整数，确定出m的值即可．【解答】解：（1）根据题中的新定义得：原式＝2+（﹣1）﹣1＝1﹣1＝0．故答案为：0；（2）已知等式化简得：﹣5+3x+2m﹣1＝5，解得：x＝，由x、m都是正整数，得到11﹣2m＝9或11﹣2m＝3，解得：m＝1或4．故答案为：1或4．18．当x＝a时，代数式|x﹣1|+9有最小值b，则a+b的值为．【分析】直接利用绝对值的性质得出a，b的值，即可得出答案．【解答】解：∵代数式|x﹣1|+9有最小值b，∴x﹣1＝0，b＝9，解得：x＝1，故a＝1，则a+b＝10．故答案为：10．19．把下列各数的序号填在相应的数集内：①1，②，③+3.4，④0，⑤，⑥﹣6.5，⑦+10，⑧﹣4，⑨﹣6．（1）正整数集合{…}；（2）正分数集合{…}；（3）负分数集合{…}；（4）负数集合{…}；（5）非负整数集合{…}．【分析】分别根据正整数、正分数、负分数、负数、以及非负整数的定义填空即可．【解答】解：（1）正整数集合{1，+10…}；故答案为：①⑦；（2）正分数集合{+3.4，…}；故答案为：③⑤；（3）负分数集合{，﹣6.5…}；故答案为：②⑥；（4）负数集合{，﹣6.5，﹣4，﹣6…}；故答案为：②⑥⑧⑨；（5）非负整数集合{1，0，+10…}；故答案为：①④⑦．20．如图，有四个点M，N，P，Q在一条缺失了原点和单位长度标记的数轴上，对应的有理数分别为m，n，p，q，且m+p＝0，则在m，n，p，q四个有理数中，绝对值最小的一个数是．【分析】根据题意得到m与p互为相反数，且中点为坐标原点，即可找出绝对值最小的数．【解答】解：∵m+p＝0，∴m与p互为相反数，∴M、P的中点为坐标原点，∴点Q离原点最近，∴绝对值最小的一个数是q．故答案为：q．21．将下列各数填在相应的圆圈里：+6，﹣8，75，﹣0.4，0，23%，，﹣2021，﹣1.8．【分析】根据有理数的分类进行填空即可．【解答】解：如图：22．用数轴上的点表示下列各数，并把它们用“＜”连接起来．（1）点A：3的相反数；（2）点B：﹣1.5的倒数；（3）点C：1.25；（4）点D：绝对值最小的数．【分析】先分别求出点A，B，C，D所表示的数，再在数轴上表示即可．【解答】解：由题意可得，点A表示的数是﹣3，点B表示的数是﹣，点D表示的数是0，将它们在数轴上表示如下：把它们用“＜”连接起来为：﹣3＜﹣＜0＜1.25．23．请根据图示的对话解答下列问题．（1）a＝，b＝．（2）已知|m﹣a|+|b+n|＝0，求mn的绝对值．【分析】（1）根据相反数和倒数的定义可得结果；（2）根据绝对值的非负数性质解答即可．【解答】解：（1）2的相反数为﹣2，故a＝﹣2；的倒数是﹣3，故b＝﹣3；故答案为：﹣2；﹣3；（2）由题意，得|m﹣（﹣2）|+|﹣3+n|＝0，而|m﹣（﹣2）|≥0，|﹣3+n|≥0，所以m＝﹣2，n＝3，所以mn＝﹣2×3＝﹣6．因为|﹣6|＝6，所以mn的绝对值为6．24．有理数a、b、c在数轴上的位置如图，（1）判断正负，用“＞”或“＜”填空：c﹣b0，a+b0，a﹣c0．（2）化简：|c﹣b|+|a+b|﹣2|a﹣c|．【分析】（1）根据数轴确定出a、b、c的正负情况解答即可；（2）根据数轴确定绝对值的大小，然后化简合并即可．【解答】解：（1）由图可知，a＜0，b＞0，c＞0，且|b|＜|a|＜|c|，c﹣b＞0，a+b＜0，a﹣c＜0；故答案为：＞，＜，＜；（2）原式＝c﹣b+[﹣（a+b）]﹣[﹣2（a﹣c）]＝c﹣b﹣a﹣b+2a﹣2c＝a﹣2b﹣c．25．若|a|＝7，|b|＝4，（1）若ab＞0，求a+b的值；（2）若|a+b|＝a+b，求a﹣b的值．【分析】（1）若ab＞0，则a、b同号，求出a、b的值，再把它们相加即可．（2）若|a+b|＝a+b，则a+b≥0，求出a、b的值，再把它们相减即可．【解答】解：∵|a|＝7，|b|＝4，∴a＝±7，b＝±4，（1）若ab＞0，则a＝﹣7，b＝﹣4或a＝7，b＝4，①a＝﹣7，b＝﹣4时，a+b＝﹣7﹣4＝﹣11．②a＝7，b＝4时，a+b＝7+4＝11．（2）若|a+b|＝a+b，则a+b≥0，可得a＝7，b＝﹣4或a＝7，b＝4，①a＝7，b＝﹣4时，a﹣b＝7+4＝11．②a＝7，b＝4时，a﹣b＝7﹣4＝3．26．在抗洪抢险中，解放军战士的冲锋舟加满油沿东西方向的河流抢救灾民，早晨从A地出发，晚上到达B地，约定向东为正方向，当天的航行路程记录如下（单位：千米）：14，﹣9，+8，﹣7，13，﹣6，+12，﹣5．（1）请你帮忙确定B地位于A地的什么方向，距离A地多少千米？（2）若冲锋舟每千米耗油0.5升，油箱容量为28升，求冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充多少升油？（3）救灾过程中，冲锋舟离出发点A最远处有多远？【分析】（1）根据有理数的加法，可得和，再根据向东为正，和的符号，可判定方向；（2）根据行车就耗油，可得耗油量，再根据耗油量与已有的油量，可得答案；（3）根据有理数的加法，可得每次的距离，再根据有理数的大小比较，可得最远．【解答】解：（1）∵14﹣9+8﹣7+13﹣6+12﹣5＝20，答：B地在A地的东边20千米；（2）这一天走的总路程为：14+|﹣9|+8+|﹣7|+13+|﹣6|+12|+|﹣5|＝74千米，应耗油74×0.5＝37（升），故还需补充的油量为：37﹣28＝9（升），答：冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充9升油；（3）∵路程记录中各点离出发点的距离分别为：14千米；14﹣9＝5（千米）；14﹣9+8＝13（千米）；14﹣9+8﹣7＝6（千米）；14﹣9+8﹣7+13＝19（千米）；14﹣9+8﹣7+13﹣6＝13（千米）；14﹣9+8﹣7+13﹣6+12＝25（千米）；14﹣9+8﹣7+13﹣6+12﹣5＝20（千米），25＞20＞19＞14＞13＞＞6＞5，∴最远处离出发点25千米；（每小题2分）27．先阅读，后探究相关的问题【阅读】|5﹣2|表示5与2差的