小波包时频分析方法

小波包时频分析方法

小波包变换分析非稳定信号分析在机械和其他设备的故障诊断和状态检测中发挥着重要作用。20世纪40年代出现的短时傅里叶变换(ShortTimeFourierTransform,简称STFT)和20世纪80年代兴起的小波变换是目前公认的两种分析非平稳信号的典型方法,而小波包变换则是一种比小波变换更精细的分析方法。短时傅里叶变换在频率检测上具有良好的性质,但它通常是一种固定窗变换,在缓变与瞬变信号共存的宽频带信号分析中其时间与频率分辨力矛盾突出。小波包变换则具有多尺度分解和在多种频带上对信号进行观察的优点,但小波包变换的结果通常是小波包分量,时频谱信息不直观。为此,作者将小波包变换与短时傅里叶变换融合起来,形成小波包时频分析方法,发挥两种变换的优点,为非平稳信号分析提供一种更有效的手段。1小波包变换和短期傅里叶变换1.1多层小波分解小波包变换是在小波变换(WaveletTransform,简称WT)基础上提出来的。小波变换是一种多尺度分析,包括连续小波变换(CWT)和离散小波变换(DWT)。CWT能显示信号在任意尺度上的小波谱,从而揭示信号的频率时变规律。DWT又称为小波分解,它将信号频带按二进制划分,信号最终被表示成不同尺度上的小波分量。小波分解的过程可用如图1所示的小波分解树表示,图中:S表示原信号,A表示低频信号,D表示高频信号。图1中只给出了3层小波分解树,实际中可进行多层小波分解。小波包变换又称小波包分解,其过程类似小波分解,只是它不仅可以对信号的低频成分进行细分,还可以对信号的高频成分进行细分,如图2所示。小波包分解具有关系S=A1+D1=AA2+DA2+AD2+DD2=…。1.2局部频谱信息短时傅里叶变换(STFT)是为克服傅里叶变换不能分析局部信号的频谱信息而提出来的。设信号为s(t),为了观察s(t)在某时刻τ的频谱信息,先对信号在τ处施加一窗函数w(t),再进行傅里叶变换,即SΤFΤ(τ,f)=∫Rw(t-τ)s(t)e-j2πftdt(1)STFT(τ,f)=∫Rw(t−τ)s(t)e−j2πftdt(1)这就是短时傅里叶变换,它能粗略揭示信号的局部频谱信息。2波包时间频率分析2.1小波包基函数小波包时频分析的原理就是先采用正交小波将信号分解成各尺度上的正交小波包分量,再对各正交小波包分量用其相应的小波包基函数为窗函数进行短时傅里叶变换,得到时频谱信息,这样就可以同时发挥小波包变换多尺度、多分辨的优点以及短时傅里叶变换在频率识别上的优点,克服两种变换单独使用时的不足。为实现小波包时频分析需建立一些关键的概念。为此笔者分别给出了小波包时频分量谱、小波包时频分量幅度谱、小波包时频谱和小波包时频幅度谱等概念和定义。2.2小波包基函数设信号s(t)在尺度j(对应于小波包分解树的第k层)上关于小波包函数un(t)的小波包分量为s(j)n(j)n(t),则定义s(t)在尺度j上的小波包时频分量谱或k阶小波包时频分量谱为WΡS(j)n(τ,f)=∫Ru[j,0]n(t-τ)s(j)n(t)e-j2πftdt=2-j/2∫Run(2-j(t-τ))s(j)n(t)e-j2πftdt(2)WPS(j)n(τ,f)=∫Ru[j,0]n(t−τ)s(j)n(t)e−j2πftdt=2−j/2∫Run(2−j(t−τ))s(j)n(t)e−j2πftdt(2)其中u[j,r]n(t)=2-j/2un(2-jt-r)(j,r∈Ζ)(3)式(3)为un(t)在尺度j、平移位置r上的小波包基函数,而s(j)n(t)=∑rWsn(j,r)u[j,r]n(t)=2-j/2∑rWsn(j,r)un(2-jt-r)(4)Wsn(j,r)=<s(t),¯u[j,r]n(t)>=2-j/2∫Rs(t)¯un(2-jt-r)dt(5)并称|WPS(j)n(τ,f)|为信号s(t)在尺度j上的小波包时频分量幅度谱或k阶小波包时频分量幅度谱。2.3指标2f设信号s(t)在尺度j(对应于小波包分解树的第k层)上的小波包时频分量谱依次为WPS(j)0(τ,f),WPS(j)1(τ,f),…,WPS(j)2k-1(τ,f),则定义WΡS(j)(τ,f)=2k-1∑n=0WΡS(j)n(τ,f)(6)为信号s(t)在尺度j上的小波包时频谱或k阶小波包时频谱,并称|WPS(j)(τ,f)|为信号s(t)在尺度j上的小波包时频幅度谱或k阶小波包时频幅度谱。2.4小波包分量和小波包分量的关系设信号s(t)在尺度j(对应于小波包分解树的第k层)上的小波包分解为s(t)=2k-1∑n=0s(j)n(t)(7)则以上定义的小波包时频分量谱满足如下能量守恒性质∫R|s(t)|2dt=2k-1∑n=0∫R∫R|WΡS(j)n(τ,f)|2dτdf(8)证明:由于小波包分解树上同一层小波包分量相互正交,所以由式(7)得∫R|s(t)|2dt=2k-1∑n=0∫R|s(j)n(t)|2dt(9)由傅里叶变换的能量守恒性质和公式(2)得∫R|WΡS(j)n(τ,f)|2df=∫R|u[j,0]n(t-τ)s(j)n(t)e-j2πft|2dt=∫R|u[j,0]n(t-τ)|2|s(j)n(t)|2dt∫R∫R|WΡS(j)n(τ,f)|2dfdτ=∫R∫R|u[j,0]n(t-τ)|2|s(j)n(t)|2dtdτ∫R∫R|WΡS(j)n(τ,f)|2dτdf=∫R(∫R|u[j,0]n(t-τ)|2dτ)|s(j)n(t)|2dt又∫R|u[j,0]n(τ)|2dτ=1∫R∫R|WPS(j)n(τ,f)|2dτdf=∫R|s(j)n(t)|2dt(10)由式(9)和式(10)得到式(8),于是性质得证。3小波包时频分量谱的信号仿真与分析图3(a)为一看似正常的正弦信号。图3(b)(c)分别是对信号用db3小波所获得的小波包分解树第2层上的两个小波包分量及小波包时频幅度谱。图3(d)(e)分别是原信号的连续小波变换谱和STFT谱。从图3(b)(c)(d)(e)看不出正弦信号有何异样,但若对图3(b)中的第2个小波包分量计算小波包时频分量幅度谱,得到图3(f)的结果。从图3(f)可以看出,原信号在时刻100左右处存在一奇异。事实上,图3(a)所示信号是在Matlab中按如下方式构造出来的带奇异的仿真信号t=1∶256t=t/64.0x=sin(2*pi*5*t)x(100)=x(100)+0.1由此可见,小波包时频分量谱在诊断信号中的奇异方面具有较强能力。图4(a)为一实测机械磨床振动信号。图4(b)(c)(d)分别是原信号的CWT,STFT和三阶小波包时频幅度谱。从图3(a)所示时域信号可以看出,信号的能量主要集中在A,B,C3处,而每一大处的能量又主要集中在几个小位置,图4(b)(d)均能反映这些规律,但图4(d)反映更加清楚,图4(c)虽然反映了原信号的能量主要集中在3处,但在每一处内部的能量分布情况未能很好反映。这说明小波包时频谱在检测信号深层次细节上也具有比其他信号分析方法较强的能力。4非平稳信号分析方法的创新在两种典型的非平稳信号分析方法——小波包变换与短时傅里叶变换的基础上,综合两种方法的优点,提出了小波包时频分析法,并建立了相应的小波包时频分量谱、小波包时频分量幅度谱、小波包时频谱、小波包时频幅度谱等关键概念,证明了小波包时频分析的能量守恒性,从而形成了一套较完整的分析体系。算例表明,该分析方法具有比连续小波变换、小波包变换和短时傅里叶变换等非平稳信号分析方法更好的一些特性,具有一定的理论和应用价值。需说明的是,文献将小波