角动量和力矩下的定义

角动量和力矩下的定义

角动量和力是力学的两个非常重要的基本概念。目前许多高校所使用的大学物理教材中,对角动量和力矩下定义时分了几种情况。在理解这些定义时,学生常常孤立地去记忆这几个定义,未去思考这些定义之间的关系,而教材也未在这方面作更多的叙述。针对这种情况,本文分析了这几个定义之间的联系。另外,通过一道例题讨论了非严格条件下如何使用角动量守恒定律。1旋转轴接触问题的解析定义1若质量为m的质点运动速度为v,质点到坐标原点的位置矢量为r,则质点相对于坐标原点的角动量L为:定义2若刚体对转轴的转动惯量为J,绕轴转动角速度为ω,则刚体相对于转轴的角动量Lz为:定义3若力F的作用点到坐标原点的位置矢量为r,则该力相对于坐标原点的力矩M为:定义4如图1,过力F的作用点作垂直于z轴的平面Σ,平面与z轴相交于O点,O到力的作用点的位置矢量为r,并将力F分解为平行于z轴的分力F//和沿平面Σ且垂直于z轴的分力F⊥,则定义力F相对于参考轴z轴的力矩为:2未固结条件下,转轴与点之间的角动量定义为u.c、y、z三个坐标轴若质点m在直角坐标系中的速度为v=vxi+vyj+vzk,某时刻该质点所在处的位置矢量为r=χi+yj+kz,则根据公式(1),该质点在直角坐标下相对于坐标原点的角动量具体为:式中m(yvz-zvy),m(zvx-χvz),m(χvy-yvx)是角动量L在3个坐标轴的分量,理论力学进一步把这三个分量定义为该质点分别相对于三个坐标轴的角动量:若体系有n个质点,则质点系对坐标原点的角动量等于每个质点对坐标原点的角动量的矢量和:同样,理论力学把上式中三个分量定义为该质点系相对于x、y、z三个坐标轴的角动量:由定义(5)和(6)可见,质点或质点系相对于三个坐标轴的角动量就是其对坐标原点的角动量的三个分量,方向分别沿三个坐标方向。换言之,质点或质点系对某坐标轴的角动量也就是其对坐标原点的角动量在该坐标轴上的投影。刚体是一种特殊的质点系,公式(2)与公式(6)都可作为定轴转动刚体对转轴的角动量的定义,这两个定义在形式上不同。当质点系定轴转动时,其内部每个质点都绕着同一转轴在各自的转动平面内做着角速度相同的圆周运动,彼此同步有序。体系内每个质点的转动平面可以不同,但所有转动平面彼此平行(或重叠)且垂直于转轴。每个质点做圆周运动的圆心是该质点的转动平面与转轴的交点(图2a,虚线为质点的转动平面)。为便于讨论,当图2a中的质点mi绕z轴恰好旋转到YOZ平面上时,我们作出图2b,图2b中mi的速度方向垂直于纸面向内,有向线段标出了当前位置质点相对于坐标原点的角动量Li,其大小为:根据公式(5)的定义,质点mi对转轴z的角动量Liz就是Li沿z方向的投影,从图2b中我们看出Liz与转动角速度矢量ω同向,大小为:=Σ是质点系相对于转轴z的转动惯量,若绕z轴转动的是质量连续分布的刚体则:其中J=∫r2dm,由于体系中每个质点的Liz的方向与旋转角速度ω的方向一致,不妨将上式改写为矢量形式,于是得到公式(2)。以上分析说明,公式(2)与公式(6)虽然形式上不同,但却是一致的。3fy-yf若已知某力为F=Fχi+Fyj+Fzk,力的作用点相对于坐标原点的位置为r=χi+yj+zk,则根据公式(3),该力对坐标原点的力矩具体为:式中(yFz-zFy),(zFχ-χFz),(χFy-yFχ)是力矩M在三个坐标轴的分量,理论力学定义这三个分量叫力F分别相对于三个坐标轴的力矩,由此可见,欲求力F对某一轴线的力矩(如z轴),可先求F对该轴线上某一点(如原点)的力矩M,再将M投影至该直线上即可。公式(7)与公式(4)都用来表示力对参考轴的力矩,但在形式上又有不同。过力的作用点作平面Σ并使该平面垂直于参考轴z,将力沿坐标方向分解(图3a)。作俯视图(图3b),我们发现公式(4)中的F⊥和r分别满足F⊥=Fxi+Fyj和r=xi+yj，则：其结果与公式(7)中的Mz完全一样,所以用公式(7)或公式(4)来定义力对参考轴的力矩其实是一致的。4体系的角动量守角动量守恒是力学中三大守恒定律之一,大到天体,小到微观粒子,角动量守恒的例子随处可见,质点系对某参考点(参考轴)角动量守恒的条件为:体系对该参考点(参考轴)的合外力矩为0。但该条件过于严格,现实中没有外力矩作用的体系很难找到,在使用角动量守恒解决实际问题时,一般要把条件适当放宽。例;一绳跨过一半径为的定滑轮,两端分别系有质量为m和M的物体,且M>m(图4a)。最初M静止在桌上,抬高m,使绳处于松弛状态。当m自由下落距离h后,绳才被拉紧。求绳刚拉紧时两物体的速率。不计轮、绳的质量、轴承摩擦及绳的伸长。解:设m自由下落h这一过程结束的时刻为t1,m与M二者具有共同运动初速率v的时刻为t2,则冲击过程持续的时间Δt=t2-t1(非常短)。许多教材在对这道题进行解答时,都选择滑轮、m、M和与m、M相连的绳整体作为研究对象,提出整个体系在冲击阶段对O点的角动量守恒,滑轮半径为r,于是有:在Δt阶段,对m、M和滑轮作受力分析(图4b)。对选定的体系而言,张力T1、T2对转轴O的力矩为内力矩;重力Mg、mg,支持力N对转轴O的力矩属于外力矩(张力T虽是体系的外力,但由于其过转轴,对轴的力矩为0,不计)。因为Mg和mg不相等,而N的大小在冲击过程中很难确定,我们没有理由认为这些力对O的合外力矩为0。那么使用角动量守恒的理由何在?为此,我们对m和M分别使用角动量定理来研究。根据角动量定理,质点对参考点的合力矩的冲量等于该质点对同一参考点的角动量的增量。对物体m,其t1时刻相对于O的初角动量大小为,t2时刻相对于O的末角动量大小为rmv,选择运动方向作为正方向,m所受的力对O的合力矩为mgr-T1r,运用角动量定理有:同理,对M有:冲击过程中张力T1、T2为冲击力,远大于重力和支持力,于是计算中忽略重力与支持力的力矩(mgr、Mgr、Nr),上两式变为:由于不计轮与绳的质量,则T1=T2,代入上两式并整理得:等式左边正好是整个体系在冲击初态时刻相对O的总角动量,等式右边正好为整个体系在冲击末态时刻相对O的总角动量,于是我们得到体系在冲击过程的初态和末态对O的角动量相同——守恒。考虑到我们选定滑轮、m、M和与m、M相连的绳为整体,我们在计算中忽略的力矩正好是该体系相对于转轴O的外力矩。这道题目的计算告诉我们,在实际解题过程中,只要体系的内力矩远大于外力矩,体系就近似满足角动量守恒,可按角动量守恒来处理,