曲线与方程1(高二数学)

曲线与方程为什么复习回顾:我们研究了直线和圆的方程0,b和斜率为的直线l的方程为____________2在直角坐标系中,平分第一、三象限的直线方程是______________a,b,半径为r的圆C的方程为_______________________-y=0点的横坐标与纵坐标相等x=y（或x-y=0）第一、三象限角平分线含有关系：x-y=0xy0（1）上点的坐标都是方程x-y=0的解（2）以方程x-y=0的解为坐标的点都在上曲线方程坐标系中,平分第一、三象限的直线方程是-y=0思考1曲线上点的坐标都是这个方程的解;2以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点那么,这个方程叫做曲线的方程;这条曲线叫做方程的曲线定义:1曲线的方程—反映的是图形所满足的数量关系;方程的曲线—反映的是数量关系所表示的图形f(x,y)=00xy一般地,在直角坐标系中,如果某曲线C看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹上的点与一个二元方程f,y=0的实数解建立了如下的关系:说明:2“曲线上的点的坐标都是这个方程的解”,阐明曲线上没有坐标不满足方程的点，也就是说曲线上所有的点都符合这个条件而毫无例外3“以这个方程的解为坐标的点都在曲线上”,阐明符合条件的所有点都在曲线上而毫无遗漏由曲线的方程的定义可知:如果曲线C的方程是f,y=0，那么点P00,y0在曲线C上的充要条件是f0,y0=0例1:判断下列命题是否正确解:1不正确，不具备2，应为=3,2不正确,不具备1，应为y=±13正确4不正确,不具备2,应为=0-3≤y≤01过点A（3，0）且垂直于轴的直线的方程为︱︱=32到轴距离等于1的点组成的直线方程为y=13到两坐标轴的距离之积等于1的点的轨迹方程为︱y︱=14△ABC的顶点A0,-3，B1,0，C-1,0，D为BC中点，则中线AD的方程=0练习2:下列各题中，下图各曲线的曲线方程是所列出的方程吗？为什么？1曲线C为过点A1，1，B-1，1的折线如图1其方程为-yy=0;2曲线C是顶点在原点的抛物线其方程为=0;3曲线C是Ⅰ,Ⅱ象限内到轴，y轴的距离乘积为1的点集其方程为y=。10xy-110xy-11-2210xy-11-221练习3:下述方程表示的图形分别是下图中的哪一个？①-=0|x|-|y|=0②③x-|y|=011OXY11OXY11OXY-1-111OXY-1ABCDC练习4:设圆M的方程为,直线l的方程为y-3=0,点P的坐标为2,1,那么在直线上，但不在圆上在圆上，但不在直线上；既在圆上，也在直线上既不在圆上，也不在直线上练习5:已知方程的曲线经过点,则m=_____,n=______.由两点间的距离公式，点M所适合条件可表示为：将上式两边平方，整理得：2y－7=0①我们证明方程①是线段AB的垂直平分线的方程（1）由求方程的过程可知，垂直平分线上每一点的坐标都是方程①解；（2）设点M1的坐标（1,y1）是方程①的解，即:2y1－7=01=7－2y1解:设M,y是线段AB的垂直平分线上任意一点,也就是点M属于集合、B两点的坐标是－1,－1，3,7，求线段AB的垂直平分线的方程分析:利用坐标法求曲线方程要先有（或建立）坐标系．在具体问题中：一种是给定了坐标系；另一种是没给定坐标系，需自己建立适当的坐标系．即点M1在线段AB的垂直平分线上由1、2可知方程①是线段AB的垂直平分线的方程点M1到A、B的距离分别是由上面的例子可以看出，求曲线（图形）的方程，一般有下面几个步骤：说明：一般情况下，化简前后方程的解集是相同的，步骤（5）可以省略不写，如有特殊情况，可适当予以说明既审查验证特殊情况。另外，也可以省略步（2），直接列出曲线方程1建系设动点：建适当的坐标系,用实数对（,y）表示所求曲线上任意一点M的坐标；（求谁设谁）2列几何条件:写出适合条件集合|}3坐标代换:用坐标表示条件,列出方程f,y=0;4化简:化方程f,y=0为最简形式；5证明:说明化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上，点A到l的距离是2,一条曲线也在l的上方，它上面的每一点到A的距离减去到l的距离的差都是2,建立适当的坐标系，求这条曲线的方程取直线l为轴,过点A且垂直于直线l的直线为y轴,建立坐标系Oy,解：2列式3）代换4化简5）审查1）建系设点因为曲线在轴的上方，所以y＞0,所以曲线的方程是设点M,y是曲线上任意一点，MB⊥轴，垂足是B，通过上述两个例题了解坐标法的解题方法，明确建立适当的坐标系是求解曲线方程的基础；同时，根据曲线上的点所要适合的条件列出等式，是求曲线方程的重要环节，严格按步骤解题是基本能力。（，y）yx0例3以AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立如图所示的坐标系.求直角顶点C的轨迹方程。解：由题意知A（-a，0），B（a，0），分析:求轨迹方程时，要充分挖掘图形的几何性质，寻找形成曲线的条件所包含的等量关系．设点C（，y）C（，y）B（a，0）A（-a，0）0法1：故三点不共线，点C的纵坐标y≠0法2：由A、B、C三点不共线，ABC法3：连结OCABC：如图,设C,yB（a，0）yC（，y）A（-a，0）0分析:利用坐标法求曲线方程要先有（或建立）坐标系．在具体问题中：一种是给定了坐标系；另一种是没给定坐标系，需自己建立适当的坐标系．如何建立适当坐标系呢？￥探索性练习已知线段AB的长为6，动点P到A，B的距离平方和为26，求动点P的轨迹方程（组第3题）。#建立适当坐标系的基本原则:（1）定点、定线段常选在坐标轴上（2）原点有时选在定点（3）充分利用对称性，坐标轴可选为对称轴结论:

1坐标系不同虽曲线形状一样其方程却不同

2要注意选择几何图形与坐标系的适当相对位置，以简化方程形式．本节学习了一种方法--直接法求曲线方程;求曲线方程时,这五个步骤不一定要全部实施如第二步、第五步。注意:1