求曲线的方程

求曲线的方程一、复习回顾曲线的方程和方程的曲线的概念：在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f,y=0的实数解满足下列关系：1曲线上的点的坐标都是这个方程的解；2以这个方程的解为坐标的点都在曲线上这个方程叫做曲线的方程；这个曲线叫做方程的曲线解:B1引入:在数学中,建立曲线方程,然后用方程研究曲线的方法,叫做解析法或坐标法。解析几何的两大基本问题——1据已知条件,求表示平面曲线的方程由曲线求方程2通过方程,研究平面曲线的性质由方程来研究曲线新知探究：满足某种条件的点的集合或轨迹曲线,yf,y=02坐标法和解析几何的本质、基本问题．解析几何的本质——坐标法——对于一个几何问题,在建立直角坐标系的基础上,用坐标表示点,用方程表示曲线,通过研究方程的性质间接地来研究曲线的性质,这一研究几何问题的方法称为坐标法用代数的方法来研究几何问题新知探究：如果某条曲线C是由动点M运动产生的，我们就称曲线C是点M的轨迹，曲线C的方程称为M的轨迹方程。注意：“轨迹”、“方程”要区分：2若是求轨迹，求得方程还不够，还应指出方程所表示的曲线类型（定形、定位、定量）。1求轨迹方程，求得方程就可以了；3轨迹和轨迹方程：二、例题分析0xyAB例1:如果A,B两点的坐标是-1,-1,3,7,动点P到A,B的距离相等你知道动点P的轨迹是什么吗？如何证明你的结论？0xyABM二、例题分析例1:如果A,B两点的坐标是-1,-1,3,7,动点P到A,B的距离相等你知道动点P的轨迹是什么吗？如何证明你的结论？0xyABC解:设M,y是线段AB的垂直平分线上任意一点,也就是点M属于集合由两点间的距离公式，点M所适合条件可表示为：将上式两边平方，整理得：2y－7=0③例1:如果A,B两点的坐标是-1,-1,3,7,动点P到A,B的距离相等你知道动点P的轨迹是什么吗？如何证明你的结论？2y－7=0③1由求方程的过程可知，垂直平分线上每一点的坐标都是方程③解；我们证明方程③是线段AB的垂直平分线的方程2设点M1的坐标1,y1是方程③的解，即:点M1到A、B的距离分别是12y1-7=0,1=7-2y1即点M1在线段AB的垂直平分线上由1、2可知方程③是线段AB的垂直平分线的方程变式1:已知等腰三角形底边的两个端点是Ａ-1,-1Ｂ3,7,求第三个顶点C的轨迹方程．ABC0xy2y-7=0,且不过点1,3注:求得的轨迹方程要与动点的轨迹一一对应,否则要“多退少补”,多余的点要剔除用,y的取值范围来限制,不足的点要补充5如果曲线或轨迹有对称中心，通常以对称中心为原点7尽可能使曲线上的关键点在坐标轴上6如果曲线或轨迹有对称轴，通常以对称轴为坐标轴建立坐标系的要点：2以已知定直线为坐标轴轴或y轴;3以已知线段所在直线为坐标轴轴或y轴，以已知线段的中点为原点;4以已知互相垂直的两定直线为坐标轴;8让尽量多的点在坐标轴上1以已知定点为原点;动点具有的几何条件比较明显时，由题设所给或通过分析图形的几何性质而得出的动点所满足的几何条件列出等式，再用坐标代替这等式，化简得曲线的方程，这种方法叫直接法．适用范围:任何情况练习:如图,圆O1和圆O2的半径都等于1,O1O2=4,过动点､,N分别为切点,使得，建立平面直角坐标系,并求动点P的轨迹方程解:以O1O2的中点O为坐标原点,O1O2所在直线为轴,建立直角坐标系如图所示,则O1-2,0,O22,0由已知得PM2=2PN2,∵圆的半径为1,∴PO21-1=2PO22-1,设P,y,则22y2-1=2,即-62y2=33故所求动点P的轨迹方程为-62y2=33xyA(6,0)OBM例2.已知定点A(6,0),曲线C:x2+y2=4上的动点B,点M满足,求点M的轨迹方程.相关点代入法:规律技巧:在求轨迹方程时经常遇到已知一动点的轨迹方程,求另一动点的轨迹方程的问题,而解决这类问题的解法称为代入法或相关点法而此法的关键是如何来表示出相关的点练习:点A3,0为圆2y2=1外一点,,当的轨迹方程分析:相关点代入法:解法1:设点M的坐标为,y∵M为线段AB的中点,∴A的坐标为2,0,B的坐标为0,2y∵l1⊥l2,且l1、l2过点P2,4,例4:过点的轨迹方程∴PA⊥PB,PA·PB=-1整理得2y-5=0≠1∵当=1时,A､B的坐标分别为2,0､0,4,∴线段AB的中点坐标是1,2,它满足方程2y-5=0综上所求,点M的轨迹方程是2y-5=0规律技巧:在平面直角坐标系中,遇到垂直问题,常利用斜率之积等于-1解题,但需注意斜率是否存在,即往往需要讨论,如解法1求轨迹方程有时利用平面几何知识更为方便快捷解法2:∵l1⊥l2,OA⊥OB,∴O,A,∴|MO|∴点M的轨迹为线段O的轨迹方程是即2y-5=0在求曲线方程的过程中，根据题中所给几何特征，利用平面几何知识将其转化为相应的数量关系得出方程，这种方法叫做几何法。练习:平面α的斜线AB交α于点B,过定点A的动直线l与AB垂直,且交α于点C,则动点C的轨迹是A一条直线B一个圆C一个椭圆D双曲线的一支解析:设l与l′是动直线AC中的任意两条,则这两条直线确定一个平面β,且斜线AB⊥β由过平面外一点有且只有一个平面与已知直线垂直,可知过定点A和AB垂直的直线都在β内,故点C在平面α与β的交线上,故选AA3将几何特征转化为数量关系而得出方程2准确写出几何特征本节课的关键问题1如何建立平面直角坐标系？4简化方程的过程是否同解变形分析:建立坐标系时,要充分利用已知条件中的定点、定直线,使问题中的几何特征显现出来,从而使曲线方程的形式更简单作MB⊥x轴,垂足为B,则点M属于即将①式移项平方化简得因为曲线在轴上方,所以y>的坐标0,0是这个方程的解,但不属于已知曲线所以曲线的方程应是B32，0和y轴的距离相等的动点的轨迹方程是____解:设动点为，y，则由题设得化简得:y2=4-1这就是所求的轨迹方程y2=4-15在三角形ABC中，若|BC|=4，BC边上的

中线AD的长为3，求点A的轨迹方程设A，y，又D0，0，所以化简得:2y2=9y≠0这就是所求的轨迹方程解:取B、C所在直线为轴，线段BC的中垂线为y轴，建立直角坐标系1直接法:求轨迹方程最基本的方法,直接通过建立,y之间的关系,构成F,y=0即可①直接法②定义法③代入法④参数法求轨迹方程的常见方法:3代入法:’’,y’是定曲线F,y=0上的动点,另一动点P，y依赖于P’’,y’，那么可寻求关系式’=f,y,y’=g,y后代入方程F’,y’=0中，得到动点P的轨迹方程2定义法：如果能够确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可用曲线定义写出方程。30思考2点差法32返回33返回练习求到坐标原点的距离等于2的点的轨迹方程已知点M到轴的距离和到点F0,4的距离相等，求点F的轨迹方程3已知两点A2,0,B-2,0,的轨迹方程BDACB37小结1求曲线方程的一般步