平面向量数量积的物理背景及其含义

241平面向量数量积的物理背景及其含义1向量的模和夹角分别是什么概念？向量的夹角两个非零向量a和b

，作，，则

叫做向量a

和b

的夹角．OABabOABba若，a

与b

同向OABba若，a

与b

反向OABab若，a

与b

垂直，记作

2我们研究了向量的哪些运算？这些运算的结果是什么？3我们是怎样引入向量的加法运算的？我们又是按照怎样的顺序研究这种运算的？物理模型概念性质运算律应用问题1:如图所示，一物体在力F的作用下产生位移S，求力F所做的功FSW＝︱F︱︱s︱cosθW＝︱F︱︱s︱cosθ问题2：功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积,如果我们将公式中的力与位移推广到一般向量，其结果又该如何表述？两个向量的大小及其夹角余弦的乘积。平面向量的数量积的定义说明：已知两个非零向量a和b，它们的夹角为

，我们把数量

叫做a与b的数量积（或内积），记作a·b

，即规定：零向量与任意向量的数量积为0，即0．（1）（2）a·b中间的“·”在向量的运算中不是乘号，既不能省略，也不能写成a×b

，a×b

表示向量的另一种运算．问题3：向量的数量积运算与线性运算的结果有什么不同？夹角的范围

正负0数量积符号由cos的符号所决定问题4：向量的数量积是一个数量，那么它什么时候为正？什么时候为负？什么时候为0？物理上力所做的功实际上是将力正交分解，只有在位移方向上的力做功．θsF平面向量数量积的几何意义向量a在b方向上的投影是什么？

投影一定是正数吗？|b|cosθ叫向量b

在a

方向上的投影．，过点B作垂直于直线OA，垂足为，则|b|cosθOABab︱a︱cosθ说明：（2）投影也是一个数量，不是向量。（1）OABabBOAabOABabθ为锐角时，|b|cosθ＞0θ为钝角时，|b|cosθ＜0θ为直角时，|b|cosθ=0当

=0

时投影为|b|当

=180

时投影为-|b|.问题5：根据投影的概念，数量积a·b=︱a|︱b︱cosθ的几何意义如何？

数量积a·b等于a的模与b在a方向上的投影︱b︱cosθ的乘积，或等于b的模与a在b方向上的投影︱a︱cosθ的乘积.平面向量的数量积的运算性质问题6：设a与b都是非零向量，若a⊥b，则a·b等于多少？反之成立吗？a⊥ba·b＝0问题7：当a与b同向时，a·b等于什么？当a与b反向时，a·b等于什么？特别地，a·a等于什么？当a与b同向时，a·b＝︱a︱︱b︱；当a与b反向时，a·b＝－︱a︱︱b︱；a·a＝a2＝︱a︱2或︱a︱＝.问题8：︱a·b︱与︱a︱︱b︱的大小关系如何？为什么？︱a·b︱≤︱a︱︱b︱问题9：对于向量a，b，如何求它们的夹角θ？（３）a·b≤|a|·|b|（１）a⊥ba·b=0判断两向量垂直的依据特别地，（２）当a与b同向时，a·b＝|a|·|b|；

当a与b反向时，a·b＝－|a|·|b|（４）平面向量的数量积的运算性质设向量a、b为两非零向量：类比实数的乘法运算律：数量积的运算律：关于向量的数量积运算：平面向量的数量积的运算律数量积运算不满足结合律。思考１：

a·b与b·a相等吗？为什么？

思考２：对于非零向量a，b，c，(a·b)·c表示什么意义?(a·b)·c

与a·(b·c)相等吗？为什么？探究1思考３：对于向量a，b，c，(a＋b)·c表示什么意义？它与

a·c＋b·c相等吗？为什么？探究2思考４：对于实数λ,(λa)·b表示什么意义?它可以转化为哪些运算?

探究3问题10:我们学过了实数乘法的哪些运算律？这些运算律对向量是否也适用？例题数乘结合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)交换律：分配律：对于实数a、b、c有（a·b)c=a(b·c);但对于向量a、b、c，（a·b)c=a(b·c)不成立，这是因为（a·b)c表示一个与c共线的向量，而a(b·c）表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线，所以（a·b)c=a(b·c)不成立。即：

问题ONMabbac证明：

向量a、b、a+b在c上的射影的数量分别是OM、MN、ON,

则

(a+b)·c=ON|c|=(OM+MN)|c|=OM|c|+MN|c|=a·c+b·c.

问题

当λ<0时，向量与、与的方向的关系如何？此时，向量与

、

与的夹角与向量

与

的夹角相等吗？问题例1：已知｜ａ｜＝３，｜ｂ｜＝６，当①ａ∥ｂ，②ａ⊥ｂ，③ａ与ｂ的夹角是60°时，分别求ａ·ｂ.解：①当ａ∥ｂ时，若ａ与ｂ同向，则它们的夹角θ＝０°，∴ａ·ｂ＝｜ａ｜·｜ｂ｜cos0°＝3×6×1＝18；若ａ与ｂ反向，则它们的夹角θ＝180°，∴ａ·ｂ＝｜ａ｜｜ｂ｜cos180°＝3×6×（-1）＝－18；②当ａ⊥ｂ时，它们的夹角θ＝90°，∴ａ·ｂ＝０；③当ａ与ｂ的夹角是60°时，有ａ·ｂ＝｜ａ｜｜ｂ｜cos60°＝3×6×