指数函数省赛一等奖

第4章指数函数与对数函数42指数函数人教A版2019高中数学必修第一册什么是指数函数？【问题1】随着中国经济的高速增长，旅游人数不断增加，A、B两个景区自2001年起采取了不同的应对措施，A地提高了门票价格，B地则取消了门票下表给了A、B两个景区2001~2015年的游客人次及逐年增加量比较一下两地景区旅游人次的变化情况，你发现了怎样的规律？A地区经营地比较平衡，稳定，B地区发展比较快什么是指数函数？为了便于观察，我们把表格中的数据画成图像：观察图像和表格，可以发现：A景区的游客人次近似于直线上升线性增长，年增加量大致相等约为10万人次；B景区的游客人次是非线性增长，年增加量越来越大，难从图像和年增加量都难看出变化规律什么是指数函数？【探究】我们知道，年增加量是对相邻两年的游客人次做减法得到的那么能否通过对B景区每年的游客人次做其他运算来发现规律呢？增加量=变后量-变前量【尝试】从2002年起，将B景区每年的游客人次除以上一年的游客人次，可以得到2002年游客人次2001年游客人次=

2003年游客人次2002年游客人次=

2015年游客人次2014年游客人次=

增长率=增加量变前量【结论】结果表明，B景区的游客人次的年增长率都约为111-1=011，是一个常数什么是指数函数？【总结】像这样，增长率为常数的变化方式，称为指数增长因此，B景区的游客人数近似于指数增长即从2011年起，每一年的游客人次都是上一年的11倍左右，增长量越来越多t年后，景区的游客人次:

容易看出这是一个函数，其中指数t是自变量认真观察并回答下列问题：1、一个细胞分裂一次得两个细胞，分裂次得4个，分裂3次得8个，问若分裂次所得细胞个数为ｙ，则y与的函数关系是：

(2)、《庄子·天下篇》中写道：“一尺之棰，日取之半，万世不竭”可以理解为一根1米长的绳子从中间剪一次剩下米，再从中间剪一次剩下米，若这条绳子剪x次剩下y米，则y与x的函数关系是：新课引入什么是指数函数？【定义】如果用字母代替上述两个问题中的底数111和0999，那么函数

一般地，函数叫做指数函数其中是自变量，定义域是R

和y=2就都可以表示为的形式，

其中，是自变量，底数是一个大于0且不等于1的常量

所以它是指数函数指数函数的结构特征【1】解析式中的系数为1【2】底数是常数，满足【3】自变量是指数，且

因此，指数函数的定义只是一个形式定义判断一个函数是不是指数函数关键是看这个函数的解析式变形整理之后是不是具备以上三个特征例如，等都是指数函数，这是因为

其中，称为指数型函数，

称为正整数指数函数指数函数的结构特征【问题】指数函数中为什么规定？【答】①若，则当时，；当时，无意义

②若，则对于的某些数值，可以无意义如，这时对于等情况在实数范围内函数值不存在

②若，则对于任意，，是一个常量，没有研究的必要为了避免上述情况的发生，所以规定，这样规定之后，对于任意的实数，都有意义且

典型例题例2回到问题1中，如果平均每位游客出游一次可给当地带来1000元门票之外的收入，A地景区的门票价格为150元，比较这15年间A，B两地旅游收入变化情况应用探究例2回到问题2中，如果平均每位游客出游一次可给当地带来1000元门票之外的收入，A地景区的门票价格为150元，比较这15年间A，B两地旅游收入变化情况解：设经过x年，游客给A、B两地带来的收入分别为f(x)，g(x)，则f(x)=1150(600+10x)

，g(x)=1000×278×1.11x，

f(x)-g(x)=1150(600+10x)

-1000×278×1.11x，

应用探究利用计算工具可以算出：当=0时，f0-g0=412000当≈1022时，f1022≈g1022结合右图可知：当<1022时，f>g当>1022时，f<g当=14时，g14-f14≈347303g(x)

f(x)

应用探究这说明：（1）2001年，游客给A地带来的收入高于B地412000万元；（2）2001后的10年，f>g，游客给A地带来的收入仍高于B地，但g比f增长的速度快，大约2011年2月某个时刻就有f=g了，这时游客给A地带来的收入和B地差不多；（3）10年后，f<g，游客给B地带来的收入高于了A地，由于g增长的速度越来越快，而f增长的速度不变，到2015年，游客给B地带来的收入已经高于了A地347303万元了应用探究指数函数的图象和性质：在同一坐标系中分别作出如下函数的图像：

列表如下：

x-3-2-1-0.500.51230.130.250.50.7111.42488421.410.710.50.250.13指数函数的图像和性质【二】指数函数的性质：在同一坐标系中作出底数不同的指数函数图像

-3-2-11231一般地，指数函数的图像和性质如下表所示：

（1）过定点（0，1）2减函数3增函数

指数函数的图像和性质【1】指数函数既不是奇函数也不是偶函数【2】指数函数在y轴右侧的图像，底数越大图像越高（底大图高）

-3-2-11231

【3】①当

②当

③当

④当

【4】指数函数图像下端与轴无限接近，但永不相交【5】指数函数都是下凸的函数

指数函数的应用【例题】比较下列各题中两个值的大小【解】（1）函数是增函数，且25＜3，则1725＜173

（2）函数是减函数，且，则

（3）

【1】求下列函数的定义域和值域【解】12

【2】不论为何值，函数的图像一定经过点P，则点P的坐标是多少？【解】方法一当

所以函数经过