离散-代数系统-总汇

第三部分代数结构一、本部分的主要内容代数系统----二元运算及其性质、代数系统和子代数半群与群----半群、独异点、群环与域-----环、整环、域格与布尔代数----格、布尔代数二、本部分的基本要求掌握代数系统的基本概念掌握各种重要的代数系统的定义和性质了解和使用基本的证明方法第十章代数系统主要内容二元运算及其性质一元和二元运算定义及其实例二元运算的性质代数系统代数系统定义及其实例子代数与后面各章的关系是后面典型代数系统的基础第一节二元运算及其性质二元运算与一元运算的定义1.二元运算的定义与实例定义10.1设S为集合,函数f：S×S→S称为S上的二元运算,简称为二元运算.也称S对f封闭.例（1）加法、乘法是自然数集合N上的二元运算，减法和除法不是.（2）加法、减法和乘法是整数集合Z上的二元运算，而除法不是.（3）乘法、除法是非零实数集R*上的二元运算，加法、减法不是.（4）设S={a1,a2,…,an},ai

aj=ai为S上二元运算.

（5）设Mn(R)表示所有n阶(n≥2)实矩阵的集合，即则矩阵加法和乘法都是Mn(R)上的二元运算.（6）S为任意集合，则∪、∩、－、

为P(S)上的二元运算.（7）SS为S上的所有函数的集合，则合成运算

为SS上的二元运算.

2.一元运算的定义与实例定义10.2设S为集合，函数f：S→S称为S上的一元运算，简称为一元运算.例（1）求相反数是整数集合Z，有理数集合Q和实数集合R上的一元运算.

（2）求倒数是非零有理数集合Q*，非零实数集合R*上的一元运算.

（3）求共轭复数是复数集合C上的一元运算.

（4）在幂集P(S)上规定全集为S，则求绝对补运算~是P(S)上的一元运算.

（5）设S为集合，令A为S上所有双射函数的集合，A

SS，求一个双射函数的反函数为A上的一元运算.（6）在n(n≥2)阶实矩阵的集合Mn(R)上，求转置矩阵是Mn(R)上的一元运算.

二元与一元运算的表示1．算符可以用

,∗,·,

,

,

等符号表示二元或一元运算，称为算符.对二元运算

，如果x与y运算得到z，记做x

y=z；对一元运算

,x的运算结果记作

x.2．表示二元或一元运算的方法---解析公式和运算表公式表示例设R为实数集合，如下定义R上的二元运算∗：

x,y∈R,x∗y=x.那么3∗4=3，0.5∗(

3)=0.5运算表（表示有穷集上的一元和二元运算）二元运算的运算表

一元运算的运算表

a1

a2

…

an

aia1a2...ana1

a1

a1

a2

…

a1

ana2

a1

a2

a2

…

a2

an....an

a1

an

a2

…

an

an

a1a2...an

a1

a2

an例

A=P({a,b}),

,∼分别为对称差和绝对补运算（{a,b}为全集）

的运算表

∼的运算表

{a}{b}{a,b}

x∼x

{a}{b}{a,b}

{a}{b}{a,b}{a}

{a.b}{b}{b}{a,b}

{a}{a,b}{b}{a}

{a}{b}{a,b}{a,b}{a}{b}

二元运算的性质1．主要算律定义10.3设

为S上的二元运算,（1）若对于任意的x,y∈S有x

y=y

x,则称运算在S上满足交换律.（2）若对于任意的x,y,z∈S有(x

y)

z=x

(y

z),则称运算在S上满足结合律.（3）若对于任意的x∈S有x

x=x,则称运算在S上满足幂等律.定义10.4设

和∗为S上两个不同的二元运算,（1）若对于任意的x,y,z∈S有(x∗y)

z=(x

z)∗(y

z)，z

(x∗y)=(z

x)∗(z

y),则称

运算对∗运算满足分配律.（2）若

和∗都可交换,并且对于任意的x,y∈S有x

(x∗y)=x，x∗(x

y)=x,则称

和∗运算满足吸收律.

例Z,Q,R分别为整数、有理数、实数集；Mn(R)为n阶实矩阵集合,n

2；P(B)为幂集；AA为从A到A的函数集，|A|2集合运算交换律结合律幂等律Z,Q,R普通加法+普通乘法

有有有有无无Mn(R)矩阵加法+矩阵乘法

有无有有无无P(B)并

交

相对补

对称差

有有无有有有无有有有无无AA函数符合

无有无例Z,Q,R分别为整数、有理数、实数集；Mn(R)为n阶实矩阵集合,n

2；P(B)为幂集；AA为从A到A的函数集，|A|2

集合

运算分配律吸收律Z,Q,R普通加法+与乘法

对+可分配+对

不分配无Mn(R)矩阵加法+与乘法

对+可分配+对

不分配无P(B)并

与交

对

可分配

对

可分配有交

与对称差

对

可分配无2．特异元素：单位元、零元和逆元定义10.5设

为S上的二元运算,（1）单位元如果存在el（或er）

S，使得对任意x∈S都有el

x=x(或x

er

=x)，则称el

(或er)是S中关于

运算的左(或右)单位元.若e∈S关于

运算既是左单位元又是右单位元，则称e为S上关于

运算的单位元.单位元也叫做幺元.（2）零元如果存在θl（或θr）∈S，使得对任意x∈S都有θl

x=θl(或x

θr

=θr)，则称θl

(或θr)是S中关于

运算的左(或右)零元.若θ∈S关于

运算既是左零元又是右零元，则称θ为S上关于运算

的零元.

（3）可逆元素及其逆元令e为S中关于运算

的单位元.对于x∈S，如果存在yl（或yr）∈S使得yl

x=e（或x

yr=e），则称yl（或yr）是x的左逆元（或右逆元）.关于

运算，若y∈S既是x的左逆元又是x的右逆元，则称y为x的逆元.如果x的逆元存在，就称x是可逆的.第二节代数系统第十章习题课解第十一章半群与群第一节半群与独异点

第二节群的定义与性质第三节子群图1第四节陪集与拉格朗日定理