专题拓展集合中常考参数问题

集合中常考参数问题一、根据集合中元素的互异性求参数集合具有三特性质确定性、互异性、无序性，其中互异性即各元素之间互不相同。解决此类问题时，既要利用集合中元素的确定性，又要注意对元素互异性的检验与分类讨论思想的应用。二、已知元素与集合的关系求参数的思路当时，若集合A是用描述法表示的，则一定满足集合中元素的共同特征，任意满足方程（组）、不等式（组）等；若集合A是用列举法表示的，则一定等于集合中的某个元素，反之，当时，结论相反。利用上述结论建立方程（组）或不等式（组）求解参数即可，注意根据集合中元素的互异性对求得的参数值进行检验。三、利用集合间的包含关系确定参数范围的方法由集合间关系求解参数的三部曲第一步：弄清两个集合之间的关系，谁是谁的子集；第二步：看集合中是否含有参数，若，且A中含参数应考虑参数使该集合为空集的情形；第三步：将集合间的包含关系转化为方程(组)或不等式(组)，求出相关的参数的值或取值范围.常采用数形结合的思想，借助数轴解答.[四、已知集合相等求参数的方法从集合相等的概念入手，寻找两个集合中元素之间的关系，先分析一个集合中元素与另一个集合中的哪个元素相等，共有几种情况，然后通过列方程或方程组求解。当集合中未知元素不止一个时，往往要分类讨论，求出参数值后要注意检验是否使集合中的元素满足互异性。五、根据集合运算的结果确定参数的取值范围方法一：根据集合运算结果确定集合对应区间的端点值之间的大小关系，从而确定参数的取值范围.[来方法二：（1）化简所给集合；（2）用数轴表示所给集合；（3）根据集合端点间关系列出不等式（组）；（4）解不等式（组）；（5）检验.【注意】（1）确定不等式解集的端点之间的大小关系时，需检验能否取“=”；（2）千万不要忘记考虑空集。题型一根据集合的互异性求参数【例1】（2022秋·高一课时练习）若集合，则下列说法中正确的是（）A．a可取全体实数B．a可取除去0以外的所有实数C．a可取除去3以外的所有实数D．a可取除去0和3以外的所有实数【答案】D【解析】由集合中元素的互异性可知，即，故，，因此a可取除去0和3以外的所有实数，故选：D.【变式11】（2023秋·高一课时练习）若，求的取值范围．【答案】【解析】，得综上，且即的取值范围为【变式12】（2022秋·高一课时练习）已知集合}中各元素之和等于3，求实数的值，并用列举法表示集合.【答案】答案见解析【解析】根据集合中元素的互异性知，当方程有重根时，重根只能算作集合的一个元素，由，当时，可得，不符合题意；当时，即时，可得，符合题意；当且时，此时，可得，解得，此时，符合题意，综上可得，实数的值为或.当时，；当时，.【变式13】（2023·江苏·高一专题练习）由，，3组成的一个集合A，若A中元素个数不是2，则实数a的取值可以是（）A．B．1C．D．2【答案】D【解析】由题意由，，3组成的一个集合A，A中元素个数不是2，因为无解，故由，，3组成的集合A的元素个数为3，故，即，即a可取2，即A，B，C错误，D正确，故选：D题型二根据元素与集合的关系求参数【例2】（2023·江苏·高一专题练习）若，且，则的取值范围为.【答案】【解析】由于，所以，解得，故答案为：【变式21】（2023春·天津北辰·高一校考阶段练习）已知，求实数x的值．【答案】【解析】由题意可知：，，令，解得；令，解得或，不符合题意.故答案为：.【变式22】（2023·江苏·高一专题练习）（多选）已知集合，且，则实数的取值不可以为（）A．B．C．D．【答案】ACD【解析】因为集合，且，则或，解得.当时，集合中的元素不满足互异性；当时，，集合中的元素不满足互异性；当时，，合乎题意.综上所述，.故选：ACD.【变式23】（2023·全国·高一专题练习）（多选）已知集合A中有3个元素2，4，6，且当时，，则a可能为（）A．2B．4C．6D．2或4或6【答案】AB【解析】对于A，当时，，满足题意，A正确；对于B，当时，，满足题意，B正确；对于C，当时，，不合题意，C错误；对于D，由ABC知：或4，D错误．故选：AB．题型三根据集合相等关系求参数【例3】（2023春·河北石家庄·高一校考期中）若，则的值是（）A．0B．1C．1D．【答案】B【解析】因为，所以①或②，由①得或，其中与元素互异性矛盾，舍去，符合题意，由②得，符合题意，两种情况代入，答案相同.故选：B【变式31】（2022秋·福建泉州·高一校考阶段练习）已知集合，集合，若，则.【答案】或【解析】由集合知，是方程的两根，则，由，或解得或，则或.故答案为：或.【变式32】（2023秋·全国·高一专题练习）已知集合，．若，则值为．【答案】5【解析】依题意，，所以1和2为方程的两根，由根与系数的关系得，解得，所以.故答案为：5【变式33】（2023秋·高一课时练习）由三个数a，，1组成的集合与由，a＋b，0组成的集合相等，求的值．【答案】1【解析】由a，，1组成一个集合，可知，由题意可得或,解得或（不满足集合元素的互异性，舍去）.所以.题型四根据元素的个数求参数【例4】（2023秋·高一课时练习）已知集合含有两个元素和，求实数的取值范围．【答案】【解析】根据集合中元素的互异性可知：，解得：，实数的取值范围为.【变式41】（2023秋·高一课时练习）若集合A＝{x∈R|x2＋ax＋1＝0，a∈R}，且A中只有一个元素，求a的值．【答案】a＝±2【解析】当Δ＝a2－4＝0，即a＝±2时，方程x2＋ax＋1＝0有两个相同解，即A中只有一个元素，所以a＝±2．【变式42】（2023·江苏·高一专题练习）若集合恰有8个整数元素，写出a的一个值：．【答案】7（答案不唯一，实数a满足即可）【解析】依题意可得，解得，则．所以集合的整数元素的最小值为3，从而最大值为10，所以，解得．故答案为：7（答案不唯一）.【变式43】（2023·全国·高一专题练习）（多选）关于的方程的解集中只含有一个元素，则的可能取值是（）A．B．0C．1D．5【答案】ABD【解析】由已知方程得：，解得：且；由得：；若的解集中只有一个元素，则有以下三种情况：①方程有且仅有一个不为和的解，，解得：，此时的解为，满足题意；②方程有两个不等实根，其中一个根为，另一根不为；由得：，，此时方程另一根为，满足题意；③方程有两个不等实根，其中一个根为，另一根不为；由得：，，此时方程另一根为，满足题意；综上所述：或或.故选：ABD题型五根据子集与真子集求参数【例5】（2023秋·高一课时练习）若集合至多有一个真子集，求a的取值范围．【答案】或.【解析】①当A无真子集时，即时，则方程无实根，所以，解之得.②当A只有一个真子集时，即A为单元素集，这时有两种情况：当时，方程化为，解得，符合题意；当时，由，解得，符合题意.综上，当集合A至多有一个真子集时，a的取值范围是或.【变式51】（2023·全国·高一专题练习）若集合的所有子集个数是，则的取值是（）A．B．C．D．或【答案】D【解析】因为集合的所有子集个数是，则集合有且只有一个元素，①当时，即当时，则，合乎题意；②当时，即当时，则关于的方程只有一个实数解，则，解得.综上所述，或.故选：D.【变式52】（2022秋·河北保定·高一校联考阶段练习）已知集合恰有8个子集，则a的取值范围是．【答案】【解析】集合恰有8个子集，故集合中有3个元素，即有三个不同的解，即有两个不为0的解,即，且，解得且，，所以.故答案为：【变式53】（2022秋·上海普陀·高一校考阶段练习）若集合至多有两个子集，则实数的取值范围为．【答案】或．【解析】若集合至多有两个子集，则集合中至多有一个元素．当时，，此时集合为，符合题意，当时，方程是一元二次方程，时，解得，，此时集合为，符合题意，时，解得，此时集合为空集，符合题意，综上，的取值范围是或．故答案为：或．题型六根据集合间的包含关系求参数【例6】（2023秋·高一课时练习）（多选）已知集合，若，则实数m的取值可以是（）A．0B．2C．1D．3【答案】AB【解析】由，，得或．所以实数m的取值可以是0，2，.故选：AB【变式61】（2023·全国·高一专题练习）已知集合，，若，则实数的取值可以是（）A．0B．1C．D．【答案】AC【解析】当时，，满足条件，当时，若，则，无解，若，则，无解，若，则，无解，若，则，得，综上可知，或，只有AC符合条件.故选：AC【变式62】（2023·全国·高一专题练习）（多选）设集合，若，则a的可能取值为（）A．B．C．D．【答案】CD【解析】因为，如图：所以，所以，故a的可能取值为，.故选：CD.【变式63】（2023秋·高一课时练习）已知全集，集合，且，则的取值范围为．【答案】【解析】因为，可得，又因为，当时，即，可得，满足；当时，则满足，解得，综上所述，，即实数的取值范围是.故答案为：.题型七根据集合的交集求参数【例7】（2022秋·江苏徐州·高一统考期中）若，则实数等于（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为，且，则，解得，此时，，合乎题意.故选：B.【变式71】（2023·全国·高一专题练习）已知集合，，若，则实数a的所有可能取值构成的集合为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】集合，∵，∴，①当时，，符合题意，②当时，，，则有或，解得：或，综上所述，实数a的所有可能的取值组成的集合为故选：D【变式72】（2023·全国·高一专题练习）设集合，，若，则k的取值范围是．【答案】【解析】因为，，所以，故答案为：【变式73】（2023·江苏·高一专题练习）已知：，且，则实数的取值范围是.【答案】【解析】因集合，，由得：，当，即时，，则，当时，则，解得，综上，即实数的取值范围是.故答案为：.题型八根据集合的并集求参数【例8】（2023秋·高一课时练习）已知集合，集合，，求k的值．【答案】3【解析】由题意可知，解得.所以k的值为3.【变式81】（2023秋·高一课时练习）集合，，若，则，.【答案】5；6【解析】由题意知，由可知，故2,3为的两根，则，即，故答案为：5；6【变式82】（2023·全国·高一专题练习）已知集合，且，试求k的取值范围．【答案】【解析】由可得，若时，，解得；若时，则，解得；综上所述，【变式83】（2023秋·高一课时练习）已知集合．（1）求；（2）若集合满足，求实数a的取值范围．【答案】（1）；（2）【解析】（1）由条件可得，∴．（2）由条件可得，而，则，即实数a的取值范围为．题型九根据集合的补集求参数【例9】（2023秋·江苏南通·高一校考开学考试）设全集，集合，，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意集合，，又因为，且全集，所以，解得，但当时，集合违背了元素之间的互异性，而当时，集合，，满足题意,综上所述：.故选：A.【变式91】（2022秋·浙江舟山·高一舟山中学校考阶段练习）设全集，集合，，则的值为（）A．B．和C．D．【答案】C【解析】因为，集合，，由补集的定义可知的可能取值为3或4，当即时，不满足题意；当即时，，此时满足题意，综上，故选：C【变式92】（2022秋·河北保定·高一保定一中校考阶段练习）已知集合，，，则实数．【答案】【解析】，.，，即.当时，得，分别代入集合与集合中得：，，此时不符合题意，舍去；当，得或，将分别代入集合与集合中得：，，不符合题意，舍去；将分别代入集合与集合中得：，，符合题意.综上所述：.故答案为：.【变式93】（2022·高一课时练习）设，，全集，，或，则.【答案】1【解析】因为，，所以或.又或，所以，，所以.故答案为：1.题型十根据集合的交并补求参数【例10】（2023·全国·高一专题练习）设集合或，，若，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由集合或，则，又集合且，则，故选：B.【变式101】（2022秋·陕西渭南·高一渭南市瑞泉中学校考阶段练习）设，集合,.（1）当时求；（2）若，求实数m的取值.【答案】（1）；（2）或2.【解析】（1），解得：或2，所以，当时，，故；（2）的根的判别式，当时，解为，故，此时满足，符合要求，当时，的两根为，，此时，要想，则，解得：，综上：或2.【变式1