江苏专版2023-2024学年新教材高中数学第3章圆锥曲线与方程3.3抛物线3.3.1抛物线的标准方程分层作业苏教版选择性必修第一册

3.3.1抛物线的标准方程分层作业A层基础达标练1.已知点，直线，若动点到的距离等于，则点的轨迹是()A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.直线2.顶点在坐标原点，准线方程为的抛物线的标准方程是()A. B. C. D.3.（多选题）对抛物线，下列描述正确的是()A.焦点坐标为 B.焦点坐标为C.准线方程为 D.准线方程为4.（多选题）对标准形式的抛物线，给出下列条件：①焦点在轴上；②焦点在轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；④由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足的坐标为.其中满足抛物线方程为的是()A.① B.② C.③ D.④5.已知抛物线上一点的纵坐标为，该点到准线的距离为6，则该抛物线的标准方程为()A. B.或C. D.或6.若抛物线的准线与直线间的距离为3，则抛物线的方程为.7.已知点与点的距离比它到直线的距离小2.（1）求点的轨迹的方程；（2）若轨迹上有两点，在第一象限，且，，求证：直线的斜率是.B层能力提升练8.已知为坐标原点，为抛物线的焦点，为上一点，若，则的面积为()A.2 B. C. D.49.已知直线和直线，则抛物线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值是()A. B.2 C. D.310.已知是抛物线的焦点，直线与抛物线交于，两点，且，则下列结论正确的是()A. B. C. D.11.（多选题）在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为，准线为，为抛物线上一点，，为垂足.若直线的斜率，则下列结论正确的是()A.准线方程为 B.焦点坐标为C.点的坐标为 D.的长为312.已知点是抛物线上的动点，点在轴上的射影是点，点的坐标是，则的最小值为()A.7 B.8 C.9 D.1013.已知是抛物线上的一点，为抛物线的焦点，若以为直径作圆，则这个圆与轴的关系是()A.相交 B.相切C.相离 D.以上三种情况都有可能14.[课本改编题]一抛物线形的拱桥如图所示，桥的跨度米，拱高米，在建造时每隔4米用一个柱子支撑，则支柱的长度为米.15.[2023宿迁期末]已知点为抛物线上一点，若点到两定点，的距离之和最小，则点的坐标为.16.如图，一隧道内设双行线公路，其截面由长方形的三条边和抛物线的某一段构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少要有.（1）以抛物线的顶点为原点，其对称轴所在的直线为轴，建立平面直角坐标系（如图），求该抛物线的方程；（2）若行车道总宽度为，请计算通过隧道的车辆限制高度为多少米.C层拓展探究练17.如图，正方体的棱长为1，点在棱上，且，点是平面上的动点，且动点到直线的距离与点到点的距离的平方差为1，则动点的轨迹是()A.圆 B.抛物线 C.双曲线 D.直线18.如图，已知点，抛物线的焦点是，，是抛物线上两点，四边形是矩形.（1）求抛物线的方程；（2）求矩形的面积.3.3.1抛物线的标准方程分层作业A层基础达标练1.C2.B3.BC4.BD5.D6.或7.（1）解因为点与点的距离比它到直线的距离小2，所以点到点的距离与它到直线的距离相等，所以点的轨迹是以为焦点，以直线为准线的抛物线.故轨迹的方程为.（2）证明如图，设,在准线上的投影分别为,，连接，，过点作交于点.因为，，又，所以.因为，所以.故直线的斜率是.B层能力提升练8.A9.B10.A11.BC[解析]由抛物线方程为，得焦点坐标为,，准线方程为，故错误，正确.因为直线的斜率为，所以直线的方程为，当时，，所以,.因为，为垂足，所以点的纵坐标为，可得点的坐标为,，故正确.根据抛物线的定义，可知，故错误.故选.12.C[解析]易知抛物线的焦点为，准线方程为.如图，连接，延长交准线于点，根据抛物线的定义，知所以，当且仅当，，三点共线时，等号成立，所以的最小值为9.故选.13.B[解析]如图，过的中点作准线的垂线，交直线于点，交轴于点；过点作准线的垂线，垂足为，交轴于点，则，，所以，所以这个圆与轴相切.故选.14.3.84[解析]建立如图所示的平面直角坐标系,使抛物线的焦点在轴上.可设抛物线的标准方程为.因为桥的跨度米，拱高米，所以,，代入标准方程，得，解得，所以抛物线的标准方程为.把点的横坐标代入,得，解得.支柱的长度为（米）.15.,[解析]如图，过点作抛物线准线的垂线，垂足为.由抛物线的定义，知点到焦点,的距离与点到准线的距离相等，即，所以.易知当，，三点共线时，取得最小值，所以，此时点的坐标为,.16.（1）解根据题意可设该抛物线的方程为,结合图象，可得点的坐标为因为点在抛物线上，所以，解得,所以该抛物线的方程为.（2）设车辆高为，过点作轴的垂线交抛物线于点，则，故，代入方程，解得，所以通过隧道的车辆限制高度为.C层拓展探究练17.B[解析]如图，在正方体中，作，垂足为，则平面，过作，则平面，则为点到直线的距离.由题意得，由已知得，所以，即点到点的距离等于点到的距离，所以根据抛物