7.4 线性变换的定义及运算_第1页
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文档简介

第7章

线性空间与线性变换主要内容：线性空间的定义与性质线性空间的基、维数、过渡矩阵、坐标变换公式子空间的定义、判定，子空间的运算线性变换的定义及运算线性变换的矩阵线性变换的特征值与特征向量本节主要内容：一、线性变换的定义及性质二、线性变换的运算§7.4线性变换的定义及运算

定义1设有两个非空集合如果对于中任一元素按照一定的对应法则在中有唯一一个确定的元素和它对应.那么,称为从集合到集合的映射,若,则称是的一个变换．

这个对应法则，，，并记定义2设是数域上的两个线性空间,是到的一个映射.如果及满足条件（1）（2）；，则称是到，的一个线性映射.特别地当时,则称是线性变换.由定义2可直接推出线性变换的简单性质：（1），；（2）线性变换保持向量的线性关系,即（3）线性变换将线性相关的向量组变为线性相关的向量组,即若线性空间中的向量组线性相关,则也线性相关.定理1设是维线性空间的一个有序基,对中的任意个向量一定存在唯一线性变换使，，.例设是数域上的线性空间,对任意向量,定义如下三个变换：;,其中是中的零向量;,其中是中固定的数.易证都是上的线性变换.分别称为上的恒等变换、零变换及数乘变换.恒等变换一般记作.本节主要内容：一、线性变换的定义及性质二、线性变换的运算§7.4线性变换的定义及运算

定义3设是实数域上线性空间中的线性变换,,规定（1）（2）（3）以上运算分别称为线性变换的加法、数乘与乘法．可以证明也是线性变换．;;.,,线性变换的加法、数乘满足以下运算规则：（1）（2）（3）;;;（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）（11）;;;;;;;.综上,设={实数域上线性空间

的所有线性变换},则对线性变换的加法和数乘构成一个线性空间．定义4设是上的一个线性变换,若存在上的另一变换,使得则称线性变换为可逆的,为的逆变换..显然,当可逆时,它的逆变换是唯一的,通.定理2设是数域上维线性空间上的一个线性变换,称为的核;称为的像.则都是的子空间,且常记为，.推论1

维线性空间

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