2023-2024学年人教A版选择性必修第一册 1-4-2 第2课时　用空间向量研究夹角问题 课件（39张）

第2课时用空间向量研究夹角问题课程标准素养目标能用向量的方法解决简单夹角问题,并能描述解决这一类问题的程序,体会向量方法在研究几何问题中的作用.1.了解向量的夹角与空间各种角的关系(数学抽象).2.用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算(数学运算).课前自主学习主题

用空间向量求空间角1.如何通过向量表示异面直线所成的角?提示:通过两异面直线的方向向量的夹角来表示异面直线所成的角.如图:2.如何通过空间向量表示直线与平面所成的角?提示:可通过直线的方向向量与平面的法向量的夹角来表示直线与平面所成的角.如图:3.如何通过空间向量表示两个平面所构成的夹角?提示:可通过两平面的法向量的夹角来表示两个平面所构成的角.如图:结论:空间向量与空间角的关系角的分类向量求法范围异面直线所成的角直线与平面所成的角平面与平面的夹角

课堂合作探究

【思维导引】(1)利用线面垂直的性质定理得PA⊥AD,再利用线面垂直及面面垂直的判定定理可证得结果;(2)以A为原点,建立空间坐标系A-xyz,求出平面PCD的法向量,利用空间向量求出线面夹角,得到关于t的方程,求解即可.【解析】(1)因为PA⊥底面ABCD,AD⊂平面ABCD,所以PA⊥AD.又AB⊥AD,且PA∩AB=A,所以AD⊥平面PAB.又AD⊂平面PAD,所以平面PAB⊥平面PAD.(2)如图以A为原点,以AB,AD,AP所在直线为x,y,z轴建立空间坐标系Axyz,在底面ABCD内,作CE∥AB交AD于E,则CE⊥AD,在直角△CDE中,DE=CE=1由已知得AB=AP=t,则B(t,0,0),P(0,0,t),由AB+AD=4,则AD=4-t,则E(0,3-t,0),C(1,3-t,0),D(0,4-t,0),

【定向训练】1.(2022·杭州高二检测)如图,四棱锥P-ABCD的底面为正方形,PD⊥底面ABCD.设平面PAD∩平面PBC=l.(1)证明:l∥平面ABCD,(2)若PD=AD=1,求直线l与平面PAC所成角的正弦值.【解析】(1)四棱锥P-ABCD的底面为正方形,所以AD∥BC,因为AD⊂平面PAD,BC⊄平面PAD,所以BC∥平面PAD,又因为平面PAD∩平面PBC=l,所以BC∥l,又因为BC⊂平面ABCD,l⊄平面ABCD,所以l∥平面ABCD.(2)由PD⊥底面ABCD且四棱锥P-ABCD的底面为正方形,可知DA,DC,DP两两互相垂直,以D为原点,以DA,DC,DP所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系如图所示:

【思维导引】(1)在三棱锥A-A1BC中,利用等体积法求解即可.(2)建立合适的空间直角坐标系,求出平面ABD和平面BDC的法向量,然后求解即可.

【类题通法】两平面夹角的两种求法(1)基向量法:找两个起点在棱上,且与棱垂直的向量,这两个向量的夹角即为两平面夹角的大小.(2)坐标法:建立适当的空间直角坐标系,求得两个相关半平面的法向量,再借助平面的法向量求解.

1.已知空间四个点A(1,1,1),B(-4,0,2),C(-3,-1,0),D(-1,0,4),则直线AD与平面ABC所成的