广东省广州市海珠区中学山大附属中学2024届九年级数学第一学期期末学业水平测试模拟试题含解析

广东省广州市海珠区中学山大附属中学2024届九年级数学第一学期期末学业水平测试模拟试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题（每题4分，共48分）1．在平面直角坐标系中，点(2，-1)关于原点对称的点的坐标为（）A． B． C． D．2．如图相交于点，下列比例式错误的是（）A． B． C． D．3．如图，四边形是边长为5的正方形，E是上一点，，将绕着点A顺时针旋转到与重合，则（）A． B． C． D．4．如图，△ABC中，D为AC中点，AF∥DE，S△ABF：S梯形AFED=1：3，则S△ABF：S△CDE=（）A．1：2 B．2：3 C．3：4 D．1：15．如图，D是等边△ABC边AD上的一点，且AD：DB=1：2，现将△ABC折叠，使点C与D重合，折痕为EF，点E、F分别在AC、BC上，则CE：CF=（）A． B． C． D．6．如图，在△ABC中，AB＝18，BC＝15，cosB＝，DE∥AB，EF⊥AB，若＝，则BE长为（）A．7.5 B．9 C．10 D．57．如图，在平面直角坐标系中，点P在函数y＝（x＞0）的图象上从左向右运动，PA∥y轴，交函数y＝﹣（x＞0）的图象于点A，AB∥x轴交PO的延长线于点B，则△PAB的面积（）A．逐渐变大 B．逐渐变小 C．等于定值16 D．等于定值248．抛物线y＝x2先向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到新的抛物线解析式是()A．y＝(x+1)2+3 B．y＝(x+1)2﹣3C．y＝(x﹣1)2﹣3 D．y＝(x﹣1)2+39．根据下表中的二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数yx

…

-1

0

1

2

…

y

…

-1

-7-2

-7…A．只有一个交点 B．有两个交点，且它们分别在y轴两侧C．有两个交点，且它们均在y轴同侧 D．无交点10．的绝对值是（）A． B．2020 C． D．11．反比例函数的图象分布的象限是（）A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第一象限 D．第二象限12．如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径，∠BAC=28º，则∠P的度数是（）A．50º B．58ºC．56º D．55º二、填空题（每题4分，共24分）13．若方程x2＋2x－11＝0的两根分别为m、n，则mn（m＋n）＝______．14．如果线段a、b、c、d满足，则=_________.15．已知点是线段的一个黄金分割点，且，，那么__________．16．己知圆锥的母线长为，底面半径为，则它的侧面积为__________（结果保留）．17．如图，在直角△OAB中，∠AOB=30°，将△OAB绕点O逆时针旋转100°得到△OA1B1，则∠A1OB=°．18．四边形ABCD与四边形位似，点O为位似中心．若，则________．三、解答题（共78分）19．（8分）如图，为线段的中点，与交于点，，且交于，交于.（1）证明：.（2）连结，如果，，，求的长.20．（8分）已知二次函数.（1）当二次函数的图象经过坐标原点O（0，0）时，求二次函数的解析式；（2）如图，当m=2时，该抛物线与y轴交于点C，顶点为D，求C、D两点的坐标；（3）在（2）的条件下，x轴上是否存在一点P，使得PC+PD最短？若P点存在，求出P点的坐标；若P点不存在，请说明理由．21．（8分）在面积都相等的一组三角形中，当其中一个三角形的一边长为1时，这条边上的高为1．（1）①求关于的函数解析式；②当时，求的取值范围；（2）小明说其中有一个三角形的一边与这边上的高之和为4，你认为小明的说法正确吗？为什么？22．（10分）如图，PA，PB是圆O的切线，A,B是切点，AC是圆O的直径，∠BAC=25°，求∠P的度数.23．（10分）如图，海中有一个小岛，它的周围海里内有暗礁，今有货船由西向东航行，开始在岛南偏西的处，往东航行海里后到达该岛南偏西的处后，货船继续向东航行，你认为货船在航行途中有没有触礁的危险．24．（10分）[问题发现]如图①，在中，点是的中点，点在边上，与相交于点，若，则_____;[拓展提高]如图②，在等边三角形中，点是的中点，点在边上，直线与相交于点，若，求的值.[解决问题]如图③，在中，，点是的中点，点在直线上，直线与直线相交于点，.请直接写出的长.25．（12分）我们可以把一个假分数写成一个整数加上一个真分数的形式,如=3+.同样的,我们也可以把某些分式写成类似的形式,如=3+.这种方法我们称为“分离常数法”.(1)如果=1+,求常数a的值;(2)利用分离常数法,解决下面的问题:当m取哪些整数时,分式的值是整数?(3)我们知道一次函数y=x-1的图象可以看成是由正比例函数y=x的图象向下平移1个单位长度得到,函数y=的图象可以看成是由反比例函数y=的图象向左平移1个单位长度得到.那么请你分析说明函数y=的图象是由哪个反比例函数的图象经过怎样的变换得到?26．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A（﹣2，1），B（1，n）两点．根据以往所学的函数知识以及本题的条件，你能提出求解什么问题？并解决这些问题（至少三个问题）.

参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、D【分析】根据关于原点的对称点，横、纵坐标都互为相反数”解答即可得答案．【题目详解】∵关于原点的对称点，横、纵坐标都互为相反数，∴点(2，-1)关于原点对称的点的坐标为（-2，1），故选：D.【题目点拨】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标的特点，熟记关于原点的对称点，横、纵坐标都互为相反数是解题关键.2、D【分析】根据相似三角形的性质和平行线分线段成比例定理，对每个选项进行判断，即可得到答案.【题目详解】解：∵，∴，，故A、B正确；∴△CDG∽△FEG，∴，故C正确；不能得到，故D错误；故选：D.【题目点拨】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理.3、D【分析】根据旋转变换的性质求出、，根据勾股定理计算即可．【题目详解】解：由旋转变换的性质可知，，∴正方形的面积＝四边形的面积，∴，，∴，，∴．故选D．【题目点拨】本题考查的是旋转变换的性质、勾股定理的应用，掌握性质的概念、旋转变换的性质是解题的关键．4、D【分析】本题考查了平行四边形性质，相似三角形的性质和判定的应用，注意：相似三角形的面积比等于相似比的平方．【题目详解】△ABC中，∵AF∥DE，∴△CDE∽△CAF，∵D为AC中点，∴CD：CA=1：2，∴S△CDE：S△CAF=（CD：CA）2=1：4，∴S△CDE：S梯形AFED=1：3，又∵S△ABF：S梯形AFED=1：3，∴S△ABF：S△CDE=1：1．故选D．【题目点拨】本题考查了中点的定义，相似三角形的判定与性质，根据相似三角形的性质得出S△CDE：S△CAF=1：4是解题的关键．5、B【题目详解】解：由折叠的性质可得，∠EDF=∠C=60º,CE=DE,CF=DF再由∠BDF+∠ADE=∠BDF+∠BFD=120º可得∠ADE=∠BFD，又因∠A=∠B=60º，根据两角对应相等的两三角形相似可得△AED∽△BDF所以，设AD=a，BD=2a，AB=BC=CA=3a，再设CE==DE=x，CF==DF=y，则AE=3a-x，BF=3a-y，所以整理可得ay=3ax-xy，2ax=3ay-xy，即xy=3ax-ay①，xy=3ay-2ax②；把①代入②可得3ax-ay=3ay-2ax，所以5ax=4ay，，即故选B．【题目点拨】本题考查相似三角形的判定及性质．6、C【分析】先设DE＝x，然后根据已知条件分别用x表示AF、BF、BE的长，由DE∥AB可知，进而可求出x的值和BE的长．【题目详解】解：设DE＝x，则AF＝2x，BF＝18﹣2x，∵EF⊥AB，∴∠EFB＝90°，∵cosB＝＝，∴BE＝（18﹣2x），∵DE∥AB，∴，∴∴x＝6，∴BE＝（18﹣12）＝10，故选：C．【题目点拨】本题主要考查了三角形的综合应用，根据平行线得到相关线段比例是解题关键．7、C【分析】根据反比例函数k的几何意义得出S△POC＝×2＝1，S矩形ACOD＝6，即可得出，从而得出，通过证得△POC∽△PBA，得出，即可得出S△PAB＝1S△POC＝1．【题目详解】如图，由题意可知S△POC＝×2＝1，S矩形ACOD＝6，∵S△POC＝OC•PC，S矩形ACOD＝OC•AC，∴，∴，∴，∵AB∥轴，∴△POC∽△PBA，∴，∴S△PAB＝1S△POC＝1，∴△PAB的面积等于定值1．故选：C．【题目点拨】本题考查了反比例函数的性质以及矩形的面积的计算，利用相似三角形面积比等于相似比的平方是解决本题的关键．8、D【分析】按“左加右减，上加下减”的规律平移即可得出所求函数的解析式.【题目详解】抛物线y＝x2先向右平移1个单位得y＝（x﹣1）2，再向上平移3个单位得y＝（x﹣1）2+3.故选D.【题目点拨】本题考查了二次函数图象的平移，其规律是是：将二次函数解析式转化成顶点式y=a(x-h)2+k

（a，b，c为常数，a≠0），确定其顶点坐标(h，k)，在原有函数的基础上“h值正右移，负左移；k值正上移，负下移”．9、B【分析】根据表中数据可得抛物线的对称轴为x=1，抛物线的开口方向向上，再根据抛物线的对称性即可作出判断.【题目详解】解：由题意得抛物线的对称轴为x=1，抛物线的开口方向向上则该二次函数的图像与x轴有两个交点，且它们分别在y轴两侧故选B.【题目点拨】本题考查二次函数的性质，属于基础应用题，只需学生熟练掌握抛物线的对称性，即可完成.10、B【分析】根据绝对值的定义直接解答．【题目详解】解：根据绝对值的概念可知：|−2121|＝2121，故选：B．【题目点拨】本题考查了绝对值．解题的关键是掌握绝对值的概念，注意掌握一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；1的绝对值是1．11、A【解题分析】先根据反比例函数的解析式判断出k的符号，再根据反比例函数的性质即可得出结论．【题目详解】解：∵反比例函数y=中，k=2＞0，

∴反比例函数y=的图象分布在一、三象限．

故选：A．【题目点拨】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数y=（k≠0）中，当k＞0时，反比例函数图象的两个分支分别位于一三象限是解答此题的关键．12、C【分析】利用切线长定理可得切线的性质的PA=PB，，则，，再利用互余计算出，然后在根据三角形内角和计算出的度数．【题目详解】解：∵PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，∴PA=PB，，∴在△ABP中∴故选：C．【题目点拨】本题主要考查了切线长定理以及切线的性质，熟练掌握切线长定理以及切线性质是解题的关键．二、填空题（每题4分，共24分）13、22【分析】

【题目详解】∵方程x2＋2x－11＝0的两根分别为m、n，∴m+n=-2,mn=-11,∴mn(m＋n)＝（-11）×(-2)=22.故答案是：2214、【分析】设，，则，，代入计算即可求得答案.【题目详解】∵线段满足，∴设，，则，，∴，故答案为：．【题目点拨】本题考查了比例线段以及比例的性质，设出适当的未知数可使解题简便．15、【分析】根据黄金分割的概念得到，把代入计算即可．【题目详解】∵P是线段AB的黄金分割点，∴故答案为．【题目点拨】本题考查了黄金分割点的应用，理解黄金分割点的比例并会运算是解题的关键．16、【分析】求出圆锥的底面圆周长，利用公式即可求出圆锥的侧面积．【题目详解】解：圆锥的底面圆周长为，则圆锥的侧面积为．故答案为．【题目点拨】本题考查了圆锥的计算，能将圆锥侧面展开是解题的关键，并熟悉相应的计算公式．17、70【解题分析】∵将△OAB绕点O逆时针旋转100°得到△OA1B1，∴∠A1OA=100°．又∵∠AOB=30°，∴∠A1OB=∠A1OA－∠AOB=70°．18、1∶3【解题分析】根据四边形ABCD与四边形位似，，可知位似比为1：3，即可得相似比为1：3，即可得答案.【题目详解】∵四边形与四边形位似，点为位似中心．，∴四边形与四边形的位似比是1∶3，∴四边形与四边形的相似比是1∶3，∴AB∶OA∶OA′=1∶3，故答案为1∶3.【题目点拨】本题考查了位似的相关知识，位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，其对应的面积比等于相似比的平方．三、解答题（共78分）19、（1）见解析；（2）【分析】（1）由，可证∠AFM=∠BMG，从而可证；（2）当时，可得且，再根据可求BG，从而可求CF，CG，进而可求答案.【题目详解】（1）证明：∵∴,又∵∴.解：（2）∵，∴且∵为的中点，∴又∵,∴∴∴,∴【题目点拨】本题考查的是相似三角形的判定与性质和勾股定理，熟练掌握相似三角形的相关知识与勾股定理是解题的关键.20、（1）或；（2）C点坐标为：（0，3），D（2，－1）；（3）P（，0）．【分析】（1）根据二次函数的图象经过坐标原点O（0，0），直接代入求出m的值即可．（2）把m=2，代入求出二次函数解析式，利用配方法求出顶点坐标以及图象与y轴交点即可．（3）根据两点之间线段最短的性质，当P、C、D共线时PC+PD最短，利用相似三角形的判定和性质得出PO的长即可得出答案．【题目详解】解：（1）∵二次函数的图象经过坐标原点O（0，0），∴代入得：，解得：m=±1．∴二次函数的解析式为：或．（2）∵m=2，∴二次函数为：．∴抛物线的顶点为：D（2，－1）．当x=0时，y=3，∴C点坐标为：（0，3）．（3）存在，当P、C、D共线时PC+PD最短．过点D作DE⊥y轴于点E，∵PO∥DE，∴△COP∽△CED．∴，即，解得：∴PC+PD最短时，P点的坐标为：P（，0）．21、（1）①；②；（2）小明的说法不正确．【分析】（1）①直接利用三角形面积求法进而得出y与x之间的关系；②直接利用得出y的取值范围；

（2）直接利用的值结合根的判别式得出答案．【题目详解】(1)①，

∵为底，为高，

∴，

∴；

②当时，，

∴当时，的取值范围为：；(2)小明的说法不正确，理由：根据小明的说法得：，整理得：，∵，，，∴，方程无解，∴一个三角形的一边与这边上的高之和不可能是4，∴小明的说法不正确．【题目点拨】本题主要考查了反比例函数的应用以及一元二次方程的解法，正确得出y与x之间的关系是解题关键．22、∠P=50°【解题分析】根据切线性质得出PA=PB，∠PAO=90°，求出∠PAB的度数，得出∠PAB=∠PBA，根据三角形的内角和定理求出即可．【题目详解】∵PA、PB是⊙O的切线，∴PA=PB，∴∠PAB=∠PBA，∵AC是⊙O的直径，PA是⊙O的切线，∴AC⊥AP，∴∠CAP=90°，∵∠BAC=25°，∴∠PBA=∠PAB=90°-25°=65°，∴∠P=180°-∠PAB-∠PBA=180°-65°-65°=50°．【题目点拨】本题考查了切线长定理，切线性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质的应用，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力，题目具有一定的代表性，难度适中，熟记切线的性质定理是解题的关键．23、无触礁的危险，理由见解析【分析】作高AD，由题意可得∠ACD=60°，∠ABC=30°，进而得出∠ABC=∠BAC=30°，于是AC=BC=20海里，在Rt△ADC中，利用直角三角形的边角关系，求出AD与15海里比较即可．【题目详解】解：过点A作ADBC，垂足为D∵∠ABC=∠ACD=∴∠BAC==∠ABC∴BC=AC=20∴=AD=20=10所以货船在航行途中无触礁的危险．【题目点拨】本题考查了解直角三角形的应用，解一般三角形的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，正确作出高线是解题的关键．24、[问题发现]；[拓展提高]；[解决问题]或.【分析】[问题发现]由，可知AD是中线，则点P是△ABC的重心，即可得到2∶3；[拓展提高]过点作交于点，则EF是△ACD的中位线，由平行线分线段成比例，得到，通过变形，即可得到答案；[解决问题]根据题意，可分为两种情况进行讨论，①点D在点C的右边；②点D在点C的左边；分别画出图形，求出BP的长度，即可得到答案.【题目详解】解：[问题发现]：∵，∴点D是BC的中点，∴AD是△ABC的中线，∵点是的中点，则BE是△ABC的中线，∴点P是△ABC的重心，∴；故答案为：.[拓展提高]：过点作交于点.是的中点，是的中点，∴EF是△ACD的中位线，，，，∴，，即..[解决问题]：∵在中，，，∵点E是AC的中点，∴，∵CD=4，则点D可能在点C的右边和左边两种可能；①当点D在点C的右边时，如图：过点P作PF⊥CD与点F，∵，，∴△ACD∽△PFD，∴，即，∴，∵，，∴△ECB∽△PBF，∴，∵，∴，解得：，∴，，∴；②当点D在点C的左边时，如图：过点P作PF⊥CD与点F，与①同理，可证△ACD∽△PFD，△ECB∽△PBF，∴，，∵，∴，解得：，∴，，∴；∴或.【题目点拨】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例，勾股定理，以及三角形的重心，解题