第三节 二叉树模型

第五讲期权的价值决定第一节：期权与期权产品简介第二节：期权的定价原则第三节：二叉树模型第四节：Black-Scholes定价公式主要内容第三节：二叉树模型3.1二叉树模型简介

单期二叉树模型两期二叉树模型多期二叉树模型

3.2.更符合实际的二叉树模型

3.3二叉树的其他应用1979年，J.C.Cox,S.A.Ross&M.Rubin–stein将二叉树模型用于期权定价中，迄今为止，这种模型已经成为金融界最基本的期权定价方法之一。AB1E0E1E3E2B0C2C1C0D0D1D2D3E4二叉树模型的基本假设资本市场完全竞争的市场无摩檫的（无交易费用和税收)市场交易可以连续进行不存在无风险套利机会股票和期权是无限可分下一期的股票价格只取两种可能的值。

例：假设一种不支付红利股票目前的市价为20元，我们知道在3个月后，该股票价格要么是22元，要么是18元。假设现在的无风险年利率等于10%（连续复利），现在我们要找出一份3个月期协议价格为21元的该股票欧式看涨期权的价值。一、单期二叉树无套利定价思想1.（复制待定价的产品）我们构造这样一个投资组合，以便使它与看涨期权的价值特征完全相同：以无风险利率r借入一部分资金B（相当于做空无风险债券），同时在股票市场上购入N股标的股票。该组合的成本是20N-B，到了期末，该组合的价值V是NS1-B。对应于S1的两种可能，V有两个取值：如果S1=22,则V=1=22N-B，如果S1=18,则V=0=18N-B。

一、单期二叉树利用两式联立的方程组，可解得N和B，即：一、单期二叉树无套利定价思想2.－（复制无风险组合）建立一个包含衍生品头寸和基础资产头寸的无风险的资产组合。若数量适当，基础资产多头的赢利就会与衍生品的空头亏损相抵，瞬间无风险。无风险组合的收益率必须等于无风险利率。为了找出该期权的价值，

可构建一个由一单位看涨期权空头和Δ单位的标的股票多头组成的组合。为了使该组合在期权到期时无风险，Δ必须满足下式：

22Δ

－1=18Δ

Δ=0.25

分析一、单期二叉树22D–118D该无风险组合的现值应为：由于该组合中有一单位看涨期权空头和0.25单位股票多头，而目前股票市场为20元，因此：

分析一、单期二叉树2.风险中性定价思想一、单期二叉树在风险中性世界中，我们假定该股票上升的概率为P，下跌的概率为1-P，则得：P=0.6266这样，根据风险中性定价原理，我们就可以给出该期权的价值：一般的例子假设一个无红利支付的股票，当前时刻t股票价格为S，基于该股票的某个期权的价值是f，期权的有效期是T，在这个有效期内，股票价格或者上升到Su，或者下降到Sd（d<exp(rT)<u）。当股票价格上升到Su时，我们假设期权的收益为fu，如果股票的价格下降到Sd时，期权的收益为fd。一、单期二叉树首先，构造一个由Δ股股票多头和一个期权空头组成的证券组合，使得该组合为无风险组合，即：由此计算出该组合为无风险时的Δ值。Su

D–ƒuSdD–ƒd一、单期二叉树无套利定价法的思路一、单期二叉树如果无风险利率用r表示，则该无风险组合的现值一定是（SuΔ-fu）e-rT,而构造该组合的成本是SΔ-f，在没有套利机会的条件下，两者必须相等。即SΔ-f=（SuΔ-fu）e-rT

，所以其中：风险中性定价的思路假定风险中性世界中股票的上升概率为P，由于股票未来期望值按无风险利率贴现的现值必须等于该股票目前的价格，因此该概率可通过下式求得：所以一、单期二叉树fufdf小结在二叉树模型计算欧式看涨期权价值中，不难发现：（1）风险中性概率只依赖股票价格S变动范围（即u,d的值），u，d衡量的是股票价格的波动率，以后会在BS模型中看到波动率的重要性（2）计算公式中没有出现股票实际上涨或下跌的概率，也没有描述投资者对于风险偏好程度的变量。进一步解读所以对于所有投资者来说，无论他对未来股票价格涨跌的概率有什么预期，或他对风险厌恶程度如何，都能对看涨期权的“公平”或“正确”价格达成一致。（3）p称为股票价格上涨的风险中性概率

risknerutralprobability

不要与股票价格上涨的实际概率相混肴，实际概率并不影响期权价格，P也称为等价鞅测度概率资产定价的基本定理：无套利假设等价于存在对未来不确定状态的某一等价概率测度，使得每一种金融资产对该等价概率测度的期望收益都等于无风险证券的收益率表明了无套利定价与风险中性定价的关系（4）无风险对冲组合与套期保值比率：无风险对冲组合复制为无风险债券，所以其收益率等于无风险利率，无风险套利策略：在本节例题中如果期权报价$1，套利策略是什么？如果期权报价$0.5，套利策略是什么？启示：组合保险策略引入无风险债券，与股票适当搭配头寸形成资产组合，能否复制出与衍生产品相同的现金流？组合保险策略如果可以，那么表现出衍生产品的冗余性质。为什么还需要衍生产品？注意：对于单步二叉树，美式期权和欧式期权的价格是相同的，因为只有一个执行机会。练习：求看跌期权的价值，X=21T=3个月，r=0.1$18$22$20一、单期二叉树其实u,d就反映了股票的波动率总结：期权的单期定价：股价的变化如图： 每个步长为3个月，u=1.1，d=0.9，r=12%20221824.219.816.2二、两期二叉树模型与delta动态保值欧式看涨期权定价X=21

B结点处的价值

=e–0.12*0.25(0.6523*3.2+0.3477*0)=2.0257A结点处的价值

=e–0.12*0.25(0.6523*2.0257+0.3477*0) =1.2823201.2823221824.23.219.80.016.20.02.02570.0ABCDEF二、两期二叉树模型与delta动态保值欧式看跌期权的定价X=21 201.0591220.40491824.2019.81.216.24.82.3793ABCDEF二、两期二叉树模型与delta动态保值美式看跌期权的定价：X=21 201.2686221824.2019.81.216.24.80.40493ABCDEF>1.0591=p练习：试计算美式看涨期权的价格，并比较美式看涨期权与欧式看涨期权间的关系。二、两期二叉树模型与delta动态保值Delta(D)

由单步二叉树的套利定价法知：Delta(D)为期权价值变化与股票价值变化的比值，对于单步二叉树：思考：当二叉树步数增加时，delta是否会变化？表示了看涨期权获得完全保值时，所需要的股票的数量。二、两期二叉树模型与delta动态保值201.2823221824.23.219.80.016.20.02.02570.0ABCDEFB点处的delta值：考虑两期二叉树A点处的delta值：结论：不同时期不同股价获得完全保值需要的股票数量是不同的，因此，现实的套期保值策略是一个动态调整的过程。二、两期二叉树模型与delta动态保值总结：欧式期权的二期定价：二、两期二叉树模型与delta动态保值总结：美式期权的二期定价SSuSdSu2Sd2SudSu3Su4Su2dSud2Sd3Sd4Sud3Su3dSu2d2股票价格的多期二叉树模型类似地可以通过倒推方式计算期权的价值例3：假设标的资产为不付红利股票,其当前市场价为100元,无风险连续复利为5%，u=1.1,d=0.9,二叉树步长为1年，试计算该股票3年期的，协议价格为105元的欧式看涨期权的价值。三步二叉树模型下期权的定价34110901219981100133.1108.989.172.9Pu=0.76,Pd=0.243515.852.0221.122.81011.8728.13.900欧式看涨期权价值为11.87总结：欧式期权的多期定价：美式期权的多期定价：主要内容第二节：二叉树模型

5.2.1.二叉树模型简介

5.2.2.更符合实际的二叉树模型

5.2.3.奇异期权的二叉树定价SuSdSP1-P5.更实际的二叉树若到期时只有两种状态，可用单步二叉树模拟：若到期时只有三种状态，可用两步二叉树模拟：SSuSdSu2SudSd2ABCDEFGirsanov’sTheoremVolatilityisthesameintherealworldandtherisk-neutralworldWecanthereforemeasurevolatilityintherealworldanduseittobuildatreefortheanassetintherisk-neutralworldOptions,Futures,andOtherDerivatives,8thEdition,Copyright©JohnC.Hull201240若到期时有n+1种状态，可用n步二叉树模拟：SSuSdSd2SudSun-1SunSdn-1SdnSudn-1Sun-1dSu2AssetsOtherthanNon-DividendPayingStocksForoptionsonstockindices,currenciesandfuturesthebasicprocedureforconstructingthetreeisthesameexceptforthecalculationofpOptions,Futures,andOtherDerivatives,8thEdition,Copyright©JohnC.Hull201242TheProbabilityofanUpMoveOptions,Futures,andOtherDerivatives,8thEdition,Copyright©JohnC.Hull201243附：二叉树的应用二叉树可以用于：1)期权定价：欧式、美式期权、路径依赖期权;2)含权债券定价：可转债；3)信用风险度量：如公司债定价，CDS定价等；主要内容第三节：二叉树模型

5.2.1.二叉树模型简介

5.2.2.更符合实际的二叉树模型

5.2.3.奇异期权的二叉树定价一、障碍期权的二叉树模型障碍期权是路径依赖期权，它们的回报，以及它们的价值要受到资产到期前遵循的路径的影响。但是障碍期权的路径依赖的性质是较弱的，因为我们只需要知道这个障碍是否被触发，而并不需要关于路径的其他任何信息

1.障碍期权的性质敲出障碍当标的资产价格达到敲出障碍水平时，期权合约作废，因此边界条件为

当时如果合约中有部分折扣规定的话，边界条件可以修改为：敲入障碍敲入期权在没有到达障碍水平时，有对于敲入期权来说，其价值在于到达障碍的可能性。如果是一个向上敲入期