高中数学新教材苏教版高一数学平面与平面位置关系

锡慧在线20201.2.4平面与平面的位置关系（2）苏教版必修二数学江苏省名师课堂温故知新2.面面平行的判定定理和性质定理1.平面与平面的位置关系平行相交

∥

∩

=l

a

b

a∩b=Aa∥

b∥

∥

∥

α∩γ=a

∩γ=b

a∥b

为了保护人造卫星，或者观测需要，科学家会把卫星的轨道平面与赤道平面设置成一定的角度。情境引入αβι情境引入使用笔记本电脑时，为便于操作，需将显示屏打开一定的角度．二面角二面角的定义

从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。数学建构二面角的棱二面角的面l

角BAO边边顶点从一点出发的两条射线所组成的图形叫做角。定义构成射线—点—射线

（顶点）表示法∠AOB二面角从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。半平面—直线—半平面

（棱）二面角

—l—

或二面角

—AB—

图形初中所学的角、二面角的对比l

面面棱画二面角⑴平卧式：

l⑵直立式：ABCDl

l记作：-l-

记作：C-AB-D记作：面ABC-AB-面ABD你会表示这些二面角吗?思考：如何刻画两个平面所成角的大小？αβιAOB联想：异面直线所成角、线面所成角降“维”思想：把空间角转化为平面角二面角的平面角的定义3）还有其他条件吗？1）平面角的顶点在哪里？2）平面角的两边分别在哪里？l

ABO当

OA⊥l

，

OB⊥l则∠AOB就是二面角α-l-β的平面角两边都垂直于棱二面角的范围：[0o,180o]．发现：①二面角的两个面重合：0o；②二面角的两个面合成一个平面：180o；二面角的范围αβι例1、在正方体ABCD-A1B1C1D1中，

（1）求二面角D1-AB-D大小；BACDA1B1C1D1解：在正方体ABCD－A1B1C1D1中，

∵AB⊥平面B1BCC1

C1B

⊂平面B1BCC1

∴AB⊥C1B，又AB⊥BC，所以，∠C1BC为二面角D1－AB－D的平面角.在Rt△C1BC中，

∠

C1BC=45°∴二面角D1-AB-D为45°知识应用面D1AB与面ABD分别在哪里？定义：BACDA1B1C1D1例1、在正方体ABCD-A1B1C1D1中，

（2）求二面角A1-AB-D大小；解：在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB⊥B1B且AB⊥BC，所以，∠B1BC为二面角A1－AB－D的平面角.∠B1BC=90°所以二面角A1-AB-D为90°二面角A1-AB-D为直二面角BACDA1B1C1D1O解：连AC交BD于点O，连OC1，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，底面正方形ABCD对角线垂直且平分，所以CO⊥BD.又C1D＝C1B，所以C1O⊥BD.因此，∠C1OC即为二面角C1－BD－C的平面角.例1、在正方体ABCD-A1B1C1D1中，（3）求二面角C1-BD-C的正切值.BACDA1B1C1D1O解：连AC交BD于点O，连OC1，

CO⊥BD、C1O⊥BD.∠C1OC即为二面角C1－BD－C的平面角.设正方体的棱长为a，在Rt△

CC1O中，

∴C1C=a，OC=，∴tan∠C1OC=

，

即二面角C1-BD-C的正切值为.例1、在正方体ABCD-A1B1C1D1中，（3）求二面角C1-BD-C的正切值.作图证明计算反思感悟(1)求二面角大小的步骤简称为“一作二证三计算”.作作出二面角的平面角证证明所作的角满足定义，即为所求二面角的平面角算将作出的角放在三角形中，计算出平面角的大小反思感悟(2)作二面角平面角的方法①定义法本质：与棱垂直的平面分别和两个半平面相交，得到两条交线，这两条交线所成的角。②垂线法AO

lD┐┐一般地，如果两个平面所成的二面角是直二面角，那么这两个平面互相垂直。反思感悟(3)二面角的平面角是90°的二面角叫直二面角．面面垂直定义：思考：为什么教室的门转到任何位置时，门所在平面都与地面垂直？面面垂直面面垂直定义之后继续研究什么呢？如果一个平面经过了另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。猜想

ABCD如果一个平面经过了另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。猜想

ABCD已知：AB⊥β，

AB⊂α求证：α⊥β.[证明]：设α∩β=CD，∵AB⊥β，CD⊂β，∴AB⊥CD．在平面β内过点B作直线BE⊥CD，则∠ABE是二面角α-CD-β的平面角，而AB⊥BE，故α-CD-β是直二面角．∴α⊥β。面面垂直线面垂直E

两个平面垂直的判定定理：线线垂直线面垂直面面垂直如果一个平面经过了另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.证明面面垂直的本质和关键是什么？本质：线面垂直面面垂直关键：找垂直于平面的直线用符号表示为:αβlABCDA1B1C1D1例2．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，求证：平面A1C1CA⊥平面A1BD

.面面垂直线面垂直线线垂直分析：平面A1C1CA⊥平面A1BD

BD⊥平面A1C1CABD⊥ACBD⊥A1AA1A⊥平面ABCD

ABCDA1B1C1D1例2．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，求证：平面A1C1CA⊥平面A1BD

.平面A1C1CA⊥平面A1BD

BD⊥平面A1C1CABD⊥ACBD⊥A1AA1A⊥平面ABCD

[证明]：在正方体ABCD－A1B1C1D1中，

∵A1A⊥面ABCD,BD⊂面ABCD∴A1A⊥BD．在正方形ABCD中，∴AC⊥BD且A1A∩AC=A，

A1A⊂面A1C1CA，AC⊂面A1C1CA

∴BD⊥面A1C1CA，BD⊂面A1BD

∴平面A1C1CA⊥平面A1BD

(1)面面垂直的判定定理是证明面面垂直的常用方法，即要证面面垂直，只需转证线面垂直，关键是在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直.(2)面面垂直的定义也是证明面面垂直的基本方法，只需要证明两个平面构成的二面角为直二面角.反思感悟例3、已知PA⊥平面ABCD，ABCD为矩形，PA=AD，M、N分别是AB、PC的中点，求证：（1）MN//平面PAD；（2）平面PMC

⊥平面PDCPABCDMNQMN//平面PAD；可证：MN//AQ平面PMC

⊥平面PDCMN

⊥平面PDCAQ

⊥平面PDC(MN//AQ)分析：中点例3、已知PA⊥平面ABCD，ABCD为矩形，PA=AD，M、N分别是AB、PC的中点，求证：（1）MN//平面PAD；（2）平面PMC

⊥平面PDC[证明]：∵PA⊥平面ABCD，CD⊂面ABCD∴PA⊥CD．在矩形ABCD中，AD⊥CDPA∩AD=A,PA⊂面PAD,AD⊂面PAD,∴

CD⊥面PAD,AQ⊂面PAD∴CD⊥AQ在△PAD中，PA=AD，点Q为PD中点∴AQ⊥PD，CD∩PD=P，PD⊂面PCD,CD⊂