moor-pinrise广义逆矩阵的代数性质

moor-pinrise广义逆矩阵的代数性质

1moo-perse广义逆矩阵的确定该算法在概率统计、数学规划、数值分析、系统控制、博士论、信号理论、数据处理和网络理论等领域得到了广泛应用，并在其他领域得到了广泛应用。矩阵A的Moore-Penrose广义逆是由矩阵A唯一确定的,矩阵A与它的Moore-Penrose广义逆矩阵A+可构成一一对应关系,矩阵在代数方面应用较广,并且己有较多较好的结果。因此,本文探讨一些Moore-Penrose广义逆矩阵的代数性质。在灰色控制系统方面,也会遇到某列数据发生扰动时,系统参数也发生变化。因此,也探讨不相容线性方程组AX=b,特别地当A发生扰动E=(0,…,a,…,0),b发生扰动Δb时,最小范数最小二乘解的扰动估计。2矩阵的欧氏范数定义1对任意矩阵A,满足方程:(1)AXA=A;(2)XAX=X;(3)(AX)*=AX;(4)(XA)*=XA的解X称为矩阵A的Moore-Penrose广义逆,记为A+。定理1设A∈Cm×n,有奇异值分解,其中P∈Cm×n,Q∈Cm×n,并且皆为酉阵,∑=diag(σ1,σ2,…,σr),σi>0,i=1,2,…,r,r=r(A),则定理2设a≠0,b≠0,则(ab*)+=ba*a*ab*b(ab∗)+=ba∗a∗ab∗b。证因为a≠0,b≠0,所以a*a≠0‚b*b≠0‚(ab*)(ba*)(ab*)=a(b*b)(a*a)b*,(ab*)(ba*a*ab*b)(ab*)=aba∗a≠0‚b∗b≠0‚(ab∗)(ba∗)(ab∗)=a(b∗b)(a∗a)b∗,(ab∗)(ba∗a∗ab∗b)(ab∗)=ab*,因此(ab*)+=ba*a*ab*b(ab∗)+=ba∗a∗ab∗b。定义2矩阵A的欧氏范数为‖A‖F=(trA*A)1/2=(∑∑|aij|2)1/2,简记为‖A‖。A的谱范数为‖A‖2=λ1/211/21(A*A)=λ1/211/21(AA*),其中λ1(B)为矩阵B的最大特征值,在数值上等于B的最大奇异值。定理3设A∈Cm×n,r(A+E)=r(A),‖A+‖2·‖E‖2<1,则∥(A+E)+∥2≤∥A+∥21-∥A+∥2⋅∥E∥2∥(A+E)+∥2≤∥A+∥21−∥A+∥2⋅∥E∥2。定理4设A∈Cm×n,B=A+E,则B+-A+=-B+EA++B+B*+E*(Im-AA+)-(In-B+B)E*A+*A+。3u3000d+u性质5若n阶矩阵a有极分解a+a+s的添加性质1若A与B酉相似,则A+与B+也酉相似。证因为A与B酉相似,所以存在n阶酉阵U,使得:B=U*AU。设A有奇异分解:A=Ρ(∑000)Q*由定理1知,A的广义逆,又因为所以。以下验证(2)成立。以下验证(3)成立(BB+)*=(U*AU·U*A+U)*=(U*AA+U)*=UAA+U*BB+=U*AU·U*A+U=U*AA+U由于U是酉阵,所以(3)成立。同理可证(4)成立。所以A+与B+也酉相似。性质2若A为正定实阵,则A+也为正定实阵,且存在可逆阵P,使得:A+=PP′.证因为A正定,所以存在可逆阵P,使得:P′AP=I,因此A=P′-1P-1,A-1=PP′=A+.性质3若A为正定矩阵,λ1为A的特征根,则A+也为正定矩阵,且1λ1为A+的特征根。证明略。性质4若A为实对称阵,则存在正交阵U,使A+=UD+U′。其中D=diag(λ1,λ2…,λn),λi为A的特征根。证因为A对实对称阵,所以存在正交阵U,使得:U′AU=D=diag(λ1,λ2…,λn)所以A=(U-1)′DU-1又因为AA+A=A所以(U-1)′DU-1A+(U-1)′DU-1=(U-1)′DU-1因此A+=UD+U′性质5若n阶矩阵A有极分解A=SU,其中S为半正定矩阵,U为正交矩阵,则A+=U′S+证因为A=SU,AA+A=A,所以SUA+SU=SU,A+=U′S+,以下验证A+=U*S+满足(2)A+AA+=U*S+·SU·U*S+=U*S+SS+=U*S+=A+所以(2)成立。以下验证A+=U*S+满足(3)(AA+)*=SU·U*S+=SS+AA+=SU·U*S+=SS+所以(3)成立。以下验证A+=U*S+满足(4)(A+A)*=(U*S+·SU)*=U*S+SUA+A=U*S+·SU=U*S+SUBB+=U*AU·U*A+U=U*AA+U所以(4)成立。性质6设n阶矩阵,则A+=1∥a∥2AΤ证令,由定理2得(ab*)+=[[a1a2⋮an](0‚⋯‚0‚1‚0‚⋯‚0)]+=A+=1(a1‚⋯‚an)[a1⋮an](0‚⋯‚1‚⋯‚0)[0⋮1⋮0][0⋮1⋮0](a1‚a2‚⋯‚an)=1∥a∥2[0⋯0⋯0⋯⋯⋯a1⋯ai⋯an⋯⋯⋯0⋯0⋯0]=1∥a∥2AΤ.定理设,若r(A+E)=r(A),且‖A+‖2·‖E‖2<1,则不相容线性方程组AX=b的系数矩阵A发生扰动E,b发生扰动Δb时,其最小范数最小二乘解的扰动估计为:‖ΔX‖≤‖a‖·‖xo‖(β+‖A+‖2)+|<a,Y0>|·β2+β‖Δb‖,其中β=∥A+∥21-∥a∥⋅∥A+∥2。证若线性方程组AX=b不相容,则其最小范数最小二乘解为:X0=A+b,若A发生了变化也发生了变化Δb,则以上线性方程组变为:(A+E)(X+ΔX)=b+Δb这时该方程的最小范数最小二乘解为:X0+ΔX=(A+E)+(b+Δb)所以ΔX=(A+E)+(b+Δb)-X0=(A+E)+(b+Δb)-A+b=[(A+E)+-A+]b+(A+E)+Δb利用定理4得ΔX=-(A+E)+·E·A+b+(A+E)+(A+E)*+·E*·(Im-AA+)b-[In-(A+E)+(A+E)]E*·A+*·A+b+(A+E)+Δb=-(A+E)+·E·X0+(A+E)+·(A+E)*+·E*·(b-AX0)-[In-(A+E)+·(A+E)]·E*·A+*·X0+(A+E)+Δb记a*=(a1,a2,…,am),Y*0=(y1,y2,…,ym)=b-AX0,X*0=(x1,x2,…,xm)ΔX=-(A+E)+·EX0+(A+E)+(A+E)*+·E*Y*0-[In-(A+E)+·(A+E)]E*·A+*·X0+(A+E)+Δb两边取欧氏范数以及‖In-(A+E)+(A+E)‖2≤1得:‖ΔX‖≤‖(A+E)+‖2·‖E‖·‖X0‖+‖(A+E)+‖22·‖E*Y*0‖+‖E*‖2·‖A+*‖2·‖X0‖+‖(A+E)+‖2·‖Δb‖=‖E‖·‖X0‖·‖(A+E)+‖2+|<a,Y0>|·‖(A+E)+‖22+‖E‖2·‖A+‖2·‖X0‖+‖(A+E)+‖2·‖Δb‖利用定理3得:∥ΔX∥≤∥X0∥⋅∥a∥⋅∥A+∥21-∥a∥⋅∥A+∥2+|＜a‚Y0＞|⋅∥A+∥22(1-∥a∥⋅∥A+∥2)2+∥a∥⋅∥A+∥2⋅∥X0∥+∥A+∥21-∥a∥⋅∥A+∥2⋅∥Δb∥记β=∥A+∥21-∥a∥⋅∥A+∥2,则上式为‖ΔX‖≤‖a‖·‖X0‖·(β+‖A+‖2)+|<a,Y0>|·β2+β‖Δb‖由上式可知,若A的扰动E=(0,…,a,…,0)的第i列与a与Y0正交,则上式变为:‖ΔX‖≤‖a‖·‖X0‖(β+‖A+‖2)+β‖Δb‖.所以,如果A的扰动E=(0,…,a,…,0)的第i列a的范数较小,b的扰动Δb也较小,且a与Y0正交,则最小范数最小二乘解的扰动也会较小。例设A=[-4.51-7.81-11.31-14.71]‚b=(3.3‚3.5‚3.58‚3.87)Τ‚Δb=(0‚0.01‚0.015‚0.025)ΤE=(a,0),a=(-0.02‚-0.03‚-0.05‚-0.15)Τ以下看A发生扰动E,b发生扰动Δb时最小二乘解的扰动估计。A+=(0.0872780.0305258-0.0296659-0.08813791.085690.542285-0.0340513-0.593921)∥A+∥2=1.35704‚X0=A+b=(-0.0524399‚3.06039)Τ∥X0∥=3.06084‚AX0=(3.29637‚3.46942