关于连续谱本征函数归一化的讨论

关于连续谱本征函数归一化的讨论

1力学理论体系的基本假设在一些力学教材中，“连续谱的征函数不能归一化”，并且将其归一化为函数的“归一化”。因此，学生们认为，连续谱的函数的“归一化”不是真正的归一化，至少与孤立谱的函数的归一化存在根本性差异。这种理解是不合适的，上述描述也是不合适的。量子力学理论体系是在几个基本假定的基础上建立起来的.将有关的基本假定概述如下:量子力学体系的状态由一个波函数描写.力学量用厄密算符表示.力学量算符ˆF的本征函数组成一个完备系,且可以构成一个正交归一的完备系.量子力学体系的任一状态波函数Ψ均可按上述的正交归一完备函数系展开.当体系处于Ψ态时,测量力学量F得到的结果必为F的某个本征值,得到此结果的概率(或概率密度)为上述展开式中相应本征函数的系数的模平方.总的概率当然应该等于1,于是就要求把本征函数和状态波函数归一化,这就是归一化的物理意义.无论力学量的本征值组成分立谱还是连续谱,本征函数和状态波函数都应该是归一化的,也是可以归一化的,其物理意义是一样的,都表示测量力学量得到所有各种可能的结果的总概率等于1,只是数学表达的形式有所不同.2拉格朗日乘子法归一化的波函数法为简单起见,以下我们只讨论一维的情况(读者可以很容易地把下文中的公式推广到三维的情况去),并且以动量算符ˆp的本征函数作为连续谱本征函数的例子进行讨论.对于分立谱的情况,令λn(n=1,2,3,\:)为力学量F的本征值,φn(x)为相应的本征函数,满足如下的正交归一条件:∫φ*m(x)φn(x)dx=δmn.(1)任一归一化的状态波函数ψ(x)可以按{φn(x)}展开,得ψ(x)=∑ncnφn(x),(2)式中cn=∫φ*n(x)ψ(x)dx.(3)对处于ψ(x)态的体系测量力学量F,测得λn的概率是|cn|2.总的概率等于1,即∑n|cn|2=1.(4)动量算符的本征值就是动量p,组成连续谱,相应的本征函数为φp(x)=1√2πℏeiℏpx,(5)满足如下的正交归一条件:∫φ*p′(x)φp(x)dx=δ(p-p′).(6)任一归一化的状态波函数ψ(x)可以按{φp(x)}展开,得ψ(x)=∫c(p)φp(x)dp,(7)式中c(p)=∫φ*p(x)ψ(x)dx.(8)对处于ψ(x)态的粒子测量动量,测得的结果在p→p+dp范围内的概率为|c(p)|2dp,即|c(p)|2是概率密度(单位动量间隔范围内的概率).总的概率等于1,即∫|c(p)|2dp=1.(9)(4)式或(9)式成立的充分必要条件是∫ψ*(x)ψ(x)dx=∫|ψ(x′)|2dx′=1.(10)事实上,坐标x也是一个力学量,它的本征值就是坐标值,相应于本征值x′的本征函数为δ(x-x′),将ψ(x)按x的本征函数展开,得ψ(x)=∫ψ(x′)δ(x-x′)dx′.(11)由此可见,测量粒子位置(坐标)测得的值在x′→x′+dx′范围内的概率是|ψ(x′)|2dx′,即|ψ(x′)|2是概率密度.所以(10)式表示测量粒子位置的所有可能的结果的总概率等于1,它与(4)式或(9)式的物理意义是一致的.在一般的量子力学教科书中,把(10)式称为归一化,对于(4)或(9)式则没有明确地说明它们也是归一化的表示.由以上的说明可知,(4)或(9)式与(10)式互为充要条件,同样可以作为波函数归一化的表示.有的学生问,当p=p′时,(6)式的积分不等于1,而等于∞,为什么称其为正交归一条件?因为(6)式是保证(9)式成立,即保证总概率等于1的充要条件,所以称其为正交归一条件.由于不确定原理,实际体系的动量p总是具有一定的不确定度Δp,也就是说,测量体系的动量得到的结果总是有一个连续分布的谱(尽管谱的宽度也许很窄).这样,实际的状态波函数ψ(x)及其动量概率幅(即动量表象中的波函数)c(p)是平方可积的,归一化条件(9)及(10)式总是可以满足的.3x归一化问题在量子力学中,有时会处理一些理想化的情况.比如,动量的不确定度Δp非常小,以致可以视为零,于是体系的动量具有确定值(比如说,p=p0),则体系的波函数为ψ(x)∝eiℏp0x,ψ(x)=Ceiℏp0x.(12)这个波函数能否归一化?怎样归一化?在所有的量子力学教科书中都没有讨论这个问题.因此在遇到这一类理想化的问题时经常出现一些混乱.例如,在文献的第三章有这样一道习题:3.6设t=0时,粒子的状态为ψ(x)=A[sin2kx+12coskx],(13)求此时粒子的平均动量和平均动能.在我们见到的所有的习题解中,给出的解答都有错误.例如,有一本习题解是这样解答这道题的:将ψ(x)用动量本征函数展开(按本文的(7)式展开)可得到出现不同动量的几率c(p)(按本文的(8)式),c(p)=∫1√2πℏe-iℏpxψ(x)dx=A√2πℏ[12δ(p)-14δ(p-2ℏk)-14δ(p+2ℏk)+14δ(p-ℏk)+14δ(p+ℏk)],(14)求出归一化因子A:∑|c(p)|2=1,(15)A2(2πℏ)[14+116+116+116+116]=1,(16)所以得到A=1√πℏ.(17)这里,在从(14)式推导到(16)式的过程中,式中的δ函数莫名其妙地不见了,这当然是错误的.现在我们回到(12)式这个波函数ψ(x)的归一化问题,利用δ函数可以在形式上把ψ(x)归一化.把ψ(x)按动量本征函数展开,得到(7)式,(7)式中的c(p)是动量概率幅,也是动量表象中的波函数.|c(p)|2是动量概率密度.现在动量p具有确定值(p=p0),所以当p≠p0时,|c(p)|2=0;当p=p0时,|c(p)|2=∞.并且总的概率应该等于1,也就是说,(9)式应该被满足.所以有|c(p)|2=δ(p-p0).(18)此外,c(p)还应该是在动量表象中属于本征值p0的动量本征函数.在很多量子力学教科书中说明了c(p)∝δ(p-p0).(19)由(18)和(19)式,我们得到归一化的c(p)为:c(p)=1√δ(0)δ(p-p0).(20)把(20)式代入(7)式,得到归一化的ψ(x)为:ψ(x)=1√2πℏδ(0)eiℏp0x.(21)很容易验证,由(21)和(20)式给出的波函数分别满足归一化条件(10)和(9)式.上面已经说明了归一化的c(p)的物理意义,以下说明归一化的ψ(x)的物理意义.(21)式给出的ψ(x)就是动量具有确定值的自由粒子的波函数,也是一个动量本征函数.把波函数的时间部分也写出来,ψ(x,t)∝eiℏ(p0x-E0t),这是一个弥漫在整个空间的平面单色波.粒子在整个空间出现的概率当然应该等于1,即∫|ψ(x)|2dx=1,那么在空间每一处的概率密度必等于零,即|ψ(x)|2=0.只有(21)式这样形式的波函数才能同时满足这两个式子.我们把上述讨论推广到更一般的一类理想化的问题:假设对处于ψ(x)态的体系测量动量,测得的结果是若干个分立的值pi(i=1,2,3,\:),测得这些值的概率各有一定的值,总概率应该等于1.波函数ψ(x)应该是ψ(x)=∑iciφpi(x),(22)其中,φpi(x)由(5)式给出.对处于ψ(x)态的体系测量动量,测得pi值的概率与|ci|2成正比.ψ(x)没有归一化,归一化的波函数为:Ψ(x)=Κ√δ(0)∑iciφpi(x)=Κ√2πℏδ(0)∑icieiℏpix,(23)其中Κ=(∑i|ci|2)-1/2.(24)归一化的c(p)为:c(p)=Κ√δ(0)∑iciδ(p-pi).(25)有了上述公式,就很容易解答上文中的习题3.6,先把波函数(13)式作一变换:ψ(x)=A[sin2kx+12coskx]=A√2πℏ[12φp1(x)-14φp2(x)-14φp3(x)+14φp4(x)+14φp5(x)],(26)其中,φpi(x)(i=1,2,3,4,5)由(5)式给出,p1=0,p2=2ħk,p3=-2ħk,p4=ħk,p5=-ħk.再按(23)式把波函数归一化,得到Ψ(x)=1√2δ(0)[φp1(x)-12φp2(x)-12φp3(x)+12φp4(x)+12φp5(x)].(27)利用力学量平均值的公式:ˉF=∫Ψ*(x)ˆFΨ(x)dx,(28)平均动量为ˉp=∫Ψ*(x)ˆpΨ(x)dx=∫Ψ*(x)(-iℏ)dΨ(x)dxdx=12δ(0)∫[φ*p1(x)-12φ*p2(x)-12φ*p3(x)+12φ*p4(x)+12φ*p5(x)]⋅[p1φp1(x)-12p2φp2(x)-12p3φp3(x)+12p4φp4(x)+12p5φp5(x)]dx=0.(29)动能算符为ˆΤ=ˆp22m=-ℏ22md2dx2,(30)平均动能为ˉΤ=∫Ψ*(x)ˆΤΨ(x)dx=∫Ψ*(x)(-ℏ22m)d2Ψ(x)dx2dx=12δ(0)∫[φ*p1(x)-12φ*p2(x)-12φ*p3(x)+12φ*p4(x)+12φ*p5(x)]⋅[p212mφp1(x)-p224mφp2(x)-p234mφp3(x)+p244mφp4(x)+p254mφp5(x)]dx.=12δ(0)[p212mδ(0)+p228mδ(0)+p238mδ(0)+p248mδ(0)+p258mδ(0)+0+⋯⋯+0]=14m[p21+14p22+14p23+14p24+14p25]=5ℏ2k28m.(31)也可以利用对于非归一化波函数的力学量平均值公式:ˉF=∫Ψ*(x)ˆFΨ(x)dx∫Ψ*(x)Ψ(x)dx(32)来计算.把(26)式代入(32)式,在分子和分母中都将出现这样的积分:∫φpi*(x)φpj(x)dx=δ(pi-pj).(33)当pi≠pj时,(33)式等于0;当pi=pj时,(33)式等于δ(0),消去分子和分母中的δ(0)便得到正确的结果.如果想要避免应用δ函数,还可以这样来计算:把非归一化波函数(26)式改写为:ψ(x)=c1φp1(x)+c2φp2(x)+c3φp3(x)+c4φp4(x)+c5φp5(x),(34)其中φpi(x)(i=1,2,3,4,5)是动量本征函数,也是动能本征函数.虽然动量和动能本征值组成连续谱,但是在目前情况下,测量动量或动能只得到五个分立的可能值,所以应该按照分立谱情况下的公式来计算平均动量和平均动能:p¯=∑i=15|ci|2pi∑i=15|ci|2=0,Τ¯=∑i=15|ci|2Τi∑i=15|ci|2=∑i=15|ci|2pi22m∑i=15|ci|2.(35)同样可以得到正确的结果.4nx的归一化条件最后我们给出最一般情况下的公式.力学量算符F^的部分本征值λn(n=1,2,3,\:)组成分立谱,相应的本征函数为φn(x);部分本征值λ组成连续谱,取值范围从λs(可以是-∞或有限值)到λf(可以是有限值或+∞),相应的本征函数为φλ(x).φn(x)和φλ(x)满足下列正交归一条件:∫φm*(x)φn(x)dx=δmn,(36)∫φλ′*(x)φλ(x)dx=δ(λ-λ′),(37)∫φn*(x)φλ(x)dx=0,(38)∫φλ*(x)φn(x)dx=0.(39){φn(x),φλ(x)}组成完备系,归一化的波函数ψ(x)可以按这个完备系展开,展式为ψ(x)=∑ncnφn(x)+∫λsλfc(λ)φλ(x)dλ,(40)其中cn=∫φn*(x)ψ(x)dx,(41)c(λ)=∫φλ*(x)ψ(x)dx.(42)对处于ψ(x)态的体系测量力学量F,测得λn的概率是|cn|2,测得的结果在λ→λ+dλ(λs<λ<λf)范围内的概率是|cλ|2dλ.总概率应该等于1,即∑n|cn|2+∫λsλf|c(λ)|2dλ=1,(43)这也就是归一化条件