高考数学三轮冲刺卷：均值不等式的应用（含答案）

高考数学三轮冲刺卷：均值不等式的应用一、选择题（共20小题；）1.设正实数a，b满足a+λb=2（其中λ为正常数）．若ab的最大值为3，则λ=   A.3 B.32 C.232.若正数a，b满足1a+1b A.3 B.4 C.5 D.63.已知正数x，y满足x+y=1，则1x+ A.2 B.92 C.1434.已知m，n是正实数，且m+n=1，则1m+ A.3+2 B.3+22 C.95.若0<a<b且a+b=1，则下列四个数中最大的是   A.12 B.a2+b6.若a,b∈R，且ab>0，则下列不等式成立的是 A.a2+b2>2ab B.7.已知正实数a，b满足1a+2b A.2 B.2 C.22 D.8.在下列各函数中，最小值等于2的函数是   A.y=x+1x C.y=x29.设正数m，n满足4m+9n A.26 B.25 C.16 D.910.已知fc=c−ac−b，其中a+b=1−c且c≥0，a≥0，b≥0 A.−18,1 B.0,1 C.11.已知实数a>0，b>0，1a+1+1b+1 A.32 B.22 C.312.若两个正实数x，y满足1x+4y=1，且存在这样的x，y使不等式 A.m−1<m<4 B. C.mm<−4或13.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，b2=a2+12c A.2 B.22 C.2314.已知a>0，b>0，且满足a3+b4 A.2 B.3 C.4 D.615.设a>b>c，n∈N，且1a−b+8 A.2 B.3 C.4 D.516.当0<m<12时，若1m+ A.−2,0∪0,4 C.−4,2 D.−2,417.圆C:x2+y A.x−32+ C.x+32+18.若动点A，B分别在直线l1:x+y−7=0和l2:x+y−5=0上移动，则AB A.32 B.22 C.319.若正数x，y满足2x2−xy+2y A.−23,2 B.0,2 C.20.一矩形的一边在x轴上，另两个顶点在函数y=2x1+x2x>0 A.π B.π3 C.π4二、填空题（共5小题；）21.已知x>0，y>0，且2x+8y−xy=0，则xy的最小值为

．22.已知a>0，b>0，若不等式2a+1b≥23.函数y=logax+3−1a>0,且 a≠1的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1=0上，其中24.已知x>0，y>0，且2x+8y−xy=0，则x+y的最小值为

．25.已知函数fx=−1x,x<0xx2+1,x≥0，若函数g三、解答题（共5小题；）26.已知a>0，b>0，a3+b27.已知a>0，求证：a+a28.已知a>0，b>0，a3+b29.已知a,b,c>0，求证：a230.请回答：（1）求y=x（2）求y=x（3）求y=−x+1答案1.D 【解析】由题意得ab=1λ×a×所以1λ=3，即2.B 3.B 4.B 【解析】1m当且仅当2mn=nm，即故选B．5.B 6.D 7.C 8.D 【解析】对于选项A：当x<0时，A显然不满足条件；选项B：y=cosx+1当0<x<π2时，对于C：不能保证x2对于D：因为ex>0，所以故只有D满足条件．9.B 10.A 【解析】fc因为a+b=1−c，所以fc而ab≤a+b24所以2c因为a≥0，b≥0，所以1−c≥0，所以c≤1，又c≥0，所以0≤c≤1，所以fc≤1，而所以2c2−c+ab≥−11.B 12.C 【解析】因为不等式x+y所以x+y因为x>0，y>0，且1x所以x+y当且仅当4xy=y4x，即x=2，所以x+y4min=4，故解得m<−4或m>1，所以实数m的取值范围是mm<−4故选C．13.D 【解析】如图，根据题意可知AD=BD=c2，而同理cos∠CDB=4+c24−a22c，而∠CDB+∠ADC=π，于是cos∠CDB+cos∠ADC=0，即8+c22−a2−b2=0，又因为b14.B 【解析】∵a>0，b>0，且满足a3∴1≥2a3⋅b4，化为：ab≤3，当且仅当a=3215.B 16.D 17.B 【解析】圆C:x2+所以圆心C的坐标为−1,2，半径为3．设点C−1,2关于直线x−y−1=0对称的点的坐标为a,b所以b−2a+1解得a=3,b=−2,故所求的圆的方程为x−32故选B．18.A 【解析】依题意知动线段AB的中点M的轨迹为与直线l1:x+y−7=0和则M到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离，设点M的轨迹方程为x+y+m=0，根据平行线间的距离公式得m+72即点M的轨迹方程为x+y−6=0，根据点到直线的距离公式，得M到原点的距离的最小值为∣−6∣219.D 【解析】设x+y=u，则2x+y2−5xy=x+y+1即3u2−4u−4≤0又注意到xy>0，得2u2−u−1>0，解得u>1或u<−20.A 【解析】旋转后所得几何体为圆柱，如图所示．设矩形的一条边所在直线为y=aa>0，Cx1联立y=a与y=2x1+x由此可得x1+x所以∣x即圆柱的高为2a1−a所以其体积为πa当且仅当a2=1−a2，即21.64【解析】因为2x+8y−xy=0，所以xy=2x+8y≥22x⋅8y所以xy≥64，当且仅当x=16，y=4时取等号，所以xy的最小值为64．22.9【解析】原式变形为m≤4a+2ba+而5+2ba+2ab≥5+24=9，当且仅当23.8【解析】函数恒过−2,−1，代入直线方程得2m+n=1，又mn>0，所以m>0，n>0，故1n24.1825.5【解析】函数fx函数gx=fx−t有三个不同的零点x1，x即方程fx=t有三个不同的实数根x1，x2，当x>0时，fx因为x+1所以fx≤1当y=12时，x1此时−1由函数的图象可知x1<−2；可得：0<−1x1<1则−1x126.因为a+b3所以a+b3≤8，因此27.1+a2≥2a28.因为a+b3所以a+b3因此a+b≤2．29.因为a,b,c>0，所以利用基本不等式可得a2b+b≥2a，b所以a2故a2当且仅当a=b=c时，等号成立．30.（1）当