高考数学三轮冲刺卷：利用导数研究函数的图象与性质（含答案）

高考数学三轮冲刺卷：利用导数研究函数的图象与性质一、选择题（共20小题；）1.已知函数y=xfʹx的图象如图所示（其中fʹx是函数fx的导函数），则函数y=f A.11 B.11 C.11 D.112.已知函数y=xfʹx的图象如下图所示，则函数y=fx A. B. C. D.3.已知fx=12x2−cos A. B. C. D.4.已知y=xfʹx的图象如图所示（其中fʹx是函数fx的导数），下面四个图象中，y=f A. B. C. D.5.已知y=fx为R上的连续可导函数，且xfʹx+fx A.0 B.1 C.0或1 D.无数个6.函数y=ex A. B. C. D.7.设函数fx=x3−4x+a0<a<2有三个零点x1， A.x1>−1 B.x2<08.已知fx=14x2+cos A. B. C. D.9.已知函数y=x3−3x+c的图象与x轴恰有两个公共点，则 A.−2 或 2 B.−9 或 310.设函数fx=ax2+bx+ca,b,c∈R，若 A. B. C. D.11.设f0x=sinx，f1x=f0′x A.sinx B.−sinx C.12.如图，点A2,1，B3,0，Ex,0x≥0，过点E作OB的垂线l．记△AOB在直线l左侧部分的面积为S，则函数 A. B. C. D.13.若三次函数fx=x3+bx2+cx+d有极值点x1，x2且f A.6 B.5 C.4 D.314.已知定义在0,+∞上的函数fx的导函数为fʹx，fx>0且fe=1，若对任意x∈ A.x0<x<1 B. C.xx>e15.已知函数fx=ax3 A.−2 B.32−216.已知函数y=fx的部分图象如图，则fx的解析式可能是 A.fx=x+ C.fx=x−17.已知函数fx=ax3−3x2+1，若f A.2,+∞ B.1,+∞ C.−∞,−2 D.−∞,−118.设x,y∈R定义x⊗y=xa−y（a∈R且a为常数），若fx=ex，ℎ ①gx ②若函数y=kx与函数y=∣ℎx∣的图象有两个交点，则 ③若Fx在R上是减函数，则实数a的取值范围是−∞,−2 ④若a=−3，则在Fx A.①③④ B.②③④ C.②③ D.②④19.已知函数fx=2∣x∣−x2，gx=exx+2（其中 A.0,1 B.0,2e−120.已知函数fx=ln2xx，若关于x的不等式 A.13, C.−ln2,−二、填空题（共5小题；）21.方程2lnx=x的实根个数为22.已知函数fx=e ①函数fx的单调递减区间为−∞,0 ②若函数Fx=fx ③若k∈1,e∪e,+∞，则∃b∈R，使得函数fx−b=0恰有2个零点x1，x 其中，所有正确结论的序号是

．23.设函数fx满足fx=f3x，且当x∈1,3时，fx=lnx．若在区间1,9内，存在3个不同的实数x1，x24.已知函数fx=lnx,x>0exx+1,25.定义在R上的偶函数fx满足fx+8e=fx，当x∈0,4e时，fx=三、解答题（共5小题；）26.已知函数fx（1）证明：对任意a∈R，函数fx的导函数（2）若a<0，gx=fx27.已知函数fx（1）求函数fx（2）若关于x的方程fx+x2−3x−a=028.已知函数fx=ex+1−kx−2k（1）讨论函数fx（2）当函数fx有两个零点x1，x229.已知函数fx（1）求a的取值范围．（2）设x1，x2是fx30.已知函数fx=x（1）若曲线y=fx与曲线y=gx在它们的交点处具有公共切线，求（2）若存在实数b使不等式fx<gx的解集为−∞,b（3）若方程fx=gx有三个不同的解x答案1.C 【解析】根据题中图象，得当x<−1时，fʹx>0，所以当−1<x<0时，fʹx<0，所以当0<x<1时，fʹx<0，所以当x>1时，fʹx>0，所以2.C 3.A 【解析】依题意fʹx=x+sin则ℎʹx由于fʹ0由于ℎʹ0=1+1=2>0，故fʹx4.C 【解析】当0<x<1时，xfʹx所以fʹx<0，故y=fx当x>1时，xfʹx所以fʹx>0，故y=fx5.A 【解析】因为gx=xfx所以gx在0,+∞因为g0=1，y=fx所以gx为0,+∞上的连续可导函数，g所以gx在0,+∞6.A 【解析】yʹ=e令yʹ=0得x=−1所以当x<−12时，当x>−12时，所以y=ex2x−1在−∞,−因为当x=0时，y=e所以函数图象与y轴交于点0,−1；令y=ex2x−1所以fx只有1个零点x=当x<12时，当x>12时，综上，函数图象为A．7.D 【解析】fʹx=3x2−4，令fʹ所以fx在−∞,−233上单调递增，在所以fx在−∞,−233，所以x1因为f−233>0，f所以0<x因为f2所以x38.A 9.A 【解析】记fx=x3−3x+c，则有fʹx=3x2−3．当x<−1或x>1时，fʹx>0；当−1<x<1时，fʹx<0，因此函数fx在−∞,−1,1,+∞上分别是增函数，在−1,110.D 【解析】设ℎx=fx由x=−1为函数y=fx可得a=c，所以fx=ax2+bx+a那么x1⋅x11.A 12.D 【解析】函数的定义域为0,+∞，当x∈0,2时，在单位长度变化量Δx内面积变化量ΔS大于0且越来越大，即斜率fʹx在0,2内大于0且越来越大，因此，函数当x∈2,3时，在单位长度变化量Δx内面积变化量ΔS大于0且越来越小，即斜率fʹx在2,3内大于0且越来越小，因此，函数当x∈3,+∞时，在单位长度变化量Δx内面积变化量ΔS为0，即斜率fʹx在3,+∞内为常数0，此时，函数图象为平行于13.D 【解析】由题意可得函数gx=3x2+2bx+c其中x1gfx=0则：f①若x1<x2，当fx当fx=x此时共有三个不同的实数根x1，x2，②若x1>x2，当fx当fx=x此时共有三个不同的实数根x1，x2，③若x1=x综上可得，方程gfx=014.C 【解析】由题可知：x∈0,+∞，f所以1fx<令Fx=fx又对任意x∈0,+∞，xfʹ所以Fʹx>0，可知函数Fx又fe=1，所以所以fxlnx−1>0即F即不等式1fx<15.D 【解析】fʹx=3ax2−6x=3axx−2a，令fʹx=0，解得x=0，x=2a，故函数在−∞,0和2a,+∞上单调递增，在0,2而loga当且仅当log2a=2−2，log16.C 【解析】由图象可知，函数fx在R对A项，由于定义域不是R，则A错误；对B项，当x∈0,π时，fʹx>0⇒0<x<2则函数fx在0,对C项，fʹx=1−cosx≥0，则函数又fx=−x+2sin对D项，f−x则函数fx17.C 18.C 【解析】①因为x⊗y=xa−y，fx=所以Fx则Fʹx当2x2+4x−a=0的Δ>0时，g②因为ℎx=lnx，若函数则y=kx与函数y=lnxx>1切线斜率为1e，故②③若Fx在减函数，则Fʹx≤0即−e因为−e所以2x所以Δ=16−8−a所以a≤−2，即实数a的取值范围是−∞,−2，故③正确；④当a=−3时，Fx设Px1,y1因为Fʹx所以Fʹx所以Fʹx所以Fx的曲线上不存在两点，使得过这两点的切线互相垂直．故④故真命题序号为：②③．19.B 【解析】作出fx的图象如图1gʹx=x+1ex令gʹx<0，得−2<x<−1或所以gx在−1,+∞上单调递增，在−∞,−2，−2,−1作出gx的大致图象如图2令t=gx①显然当k>1时，ℎx②当k=1时，即ft=1，则t=−1或1，即此时ℎx有3③当0<k<1时，ft=k有4个根，不妨设−2<t1<−1<t2<0<t3<1<t4<2，此时所以t3所以0<t3<④当k=0时，此时ℎx有3⑤当k<0时，ft=k有2个根，不妨设t5所以t5=gx有1个根，t6=gx有综上所述，0<k<220.C 【解析】fʹx=1−ln2x所以当0<x<e2时，fʹx当x>e2时，fʹx由当x<12时，fx<0，当作出fx（1）若a=0，即f2（2）若a>0，则fx<−a或由图象可知fx（3）若a<0，则fx<0或由图象可知fx<0无整数解，故因为f1=f2=ln所以fx>−a的两个整数解必为x=1，又f3所以ln63≤−a<21.0【解析】令fx=2lnx−x，则fʹx=2x−1，当0<x<2时，fʹ所以fxmax=f22.①③【解析】当x≥0时，fx当x<0时，fx所以函数fx的单调递减区间为−∞,0；即①由图可知y=kx分别与y=exx≥0以及y=设y=kx与y=exx≥0因为yʹ=e所以ex因为ex所以x0=1，同理可得y=kx与y=e−xx<0相切时，k=−由图可知x1+x2=0，x故答案为：①③．23.ln【解析】因为fx=f3x，所以fx=fx3，当x∈3,9时，图象上的点9,ln3与原点的连线的斜率为ln39；当过原点的直线与曲线fx所以由图可知，满足题意得实数t的取值范围为ln324.−【解析】当x>0时，函数fx当x≤0时，fx=exx+1且x<−2时，fʹx<0，−2<x≤0时，故当x≤0时，fx在−∞,−2上单调递减，在−2,0fx在x=−2处取极小值，极小值为f作出函数fx函数Fx=fx等价于函数fx与y=c的图象有且仅有3由图可知，−e25.4【解析】由fx+8e=fx可知函数f由x∈0,4e时，fx=令gx=0，则fx=ln当x∈0,4e时，f令lnxʹ=1x=e，解得函数y=lnx在点1e,−1处的切线方程为即函数y=lnx与fx=e12e<6<20由图可知，两个函数有A，B，C，D四个公共点，故gx有426.（1）函数fx=xx则fʹx=3x2−a−因为对任意a∈R，都有3−x2因此，对任意a∈R，导函数fʹ

（2）gx=x令ℎx=27x因为a<0，所以ℎʹx>0，所以ℎx因为ℎ13=27×所以一定存在x0∈0,所以在0,x0上，ℎx<0，在x0,+∞上，ℎx>0，所以gx又gx0=x03−a所以gx0>0，即gxmin27.（1）因为函数fx=2ln则fʹx因为x>1，则使fʹx>0的x的取值范围为故函数fx的单调递增区间为1,2

（2）方法一：因为fx所以fx令gx因为gʹx=1−2由gʹx>0，得x>3，由gʹx所以gx在区间2,3内单调递减，在区间3,4故fx+x2−3x−a=0在区间2,4解得：2ln综上所述，a的取值范围是2ln方法二：因为fx所以fx+x令ℎx因为ℎʹx=2由ℎʹx>0得，1<x<3；由ℎʹx所以ℎx在区间2,3内单调递增，在区间3,4因为ℎ2=−3，ℎ3又ℎ2故fx+x2−3x−a=0即2ln综上所述，a的取值范围是2ln28.（1）易得fʹx当k>0时，令fʹx=0，得可得当x∈−∞,lnk−1当x∈lnk−1,+∞时，所以函数fx在区间−∞,lnk−1当k≤0时，fʹx=ex+1−k>0

（2）当k≤0时，由（1）知函数fx在R所以k>0，由题意知ex1+1所以x1+2>0，x2不妨设x1>x2，令由x1+2x2+2所以x1欲证x1+x2>−2令gt=t+1令ℎt=lnt+1所以gʹt所以gt在区间1,+∞所以当t>1时，gt>g129.（1）a的取值范围为0,+∞．

（2）求导得fʹx=x−1ex所以函数fx的极小值点为x=1结合要证结论x1+x2<2，即证x2<2−x1．若2−于是通过上述观察分析即可构造辅助函数Fx=f2−x−fx求导得Fʹx=1−xex−e−x+2．即于是Fx>F1=0，则由x1，x2是fx所