高考数学三轮冲刺卷：数列的性质（含答案）

高考数学三轮冲刺卷：数列的性质一、选择题（共20小题；）1.已知an是等比数列，则“a2<a A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件2.已知数列an中，a1=1，an+1 A.−1 B.1 C.2 D.03.已知数列an满足：a1>0，an+1 A.递增数列 B.递减数列 C.摆动数列 D.无法确定4.已知数列an满足a1=2，an+1 A.2 B.−3 C.−125.已知等比数列an是一个公比为q的递增数列，若a5=a， A.a1>1 B.a16.设等差数列an满足：3a7=5a13，cos2a4− A.100π B.54π C.777.一个机器猫每秒钟前进或后退1步，程序设计人员让机器猫以每前进3步后再后退2步的规律移动；如果将此机器猫放在数轴的原点上，面向正的方向，以1步的距离为1个单位长，令Pn表示第n秒时机器猫所在的位置的坐标，且P0 A.P3=3 C.P101=218.在等比数列an中，已知a1+a A.2n−12 B.139.设等差数列an的公差为d．若数列2a A.d<0 B.d>0 C.a1d<010.设an是公差为d的等差数列，Sn为其前n项和，则“d>0”是“S A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件11.已知数列an的通项公式为an=4 A.有最大项，没有最小项 B.有最小项，没有最大项 C.既有最大项又有最小项 D.既没有最大项也没有最小项12.在各项都为正数的数列an中，首项a1=2，且点an2,an−12在直线 A.3n−1 B.1−−3n13.已知an是等比数列，Sn为其前n项和，那么“a2>0 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件14.已知数列an满足an+1=12+ A.1509 B.3018 C.1512 D.201615.若数列an是正项递增等比数列，Tn表示其前n项的积，且T8=T4 A.5 B.6 C.7 D.816.在数列an中，a1=−2，an+1 A.−2 B.−13 C.117.在数列an中，a1=1，a2=5，an+2 A.1 B.−1 C.2 D.018.数列an满足a1=2，an=an+1−1 A.−3 B.1 C.2 D.119.在数列an中，a1=−14， A.−14 B.4520.已知数列an的通项公式为an=−2n A.107 B.108 C.10818二、填空题（共5小题；）21.在数列an中，a1=2,an+an+1=1n∈N∗22.设数列an的前n项和为Sn，且∀n∈N∗，an+1>an，23.已知等差数列an的前n项和为Sn，且a2=6，a3+a6=27，设T24.如图，过抛物线y2=2pxp>0焦点F的直线交抛物线于A，B两点，O为坐标原点，C为抛物线准线与x轴的交点，且∠CFA=135∘，则 25.五位同学围成一圈依序循环报数，规定：①第一位同学首次报出的数为1．第二位同学首次报出的数也为1，之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出的数之和；②若报出的是为3的倍数，则报该数的同学需拍手一次，当第30个数被报出时，五位同学拍手的总次数为

．三、解答题（共5小题；）26.已知数列an为等差数列，a6=14（1）求数列an的通项公式和前n（2）若am，am+5，am+2527.判断下列函数是否存在零点．若存在，求出零点．（1）fx（2）fx28.若数列an=2n−929.已知数列an与bn满足an+1（1）若bn=3n+5，且a1（2）设an的第n0项是最大项，即an0≥30.已知实数xi∈−6,10，i=110xi=50答案1.B 【解析】假设等比数列an的首项a1=−2，公比q=−2，则aa2<a若数列an是递增数列，由定义可知，a故“a2<a2.A 3.B 【解析】因为a1>0，an+1an=14.C 【解析】由a1=2及递推公式，得a2=−3，a3=−12，a4=15.C 6.C 【解析】因为3a所以3a1+6d因为cos2所以cosa所以a4−a因为公差d∈−2,0所以d=−π3，由an=7π所以S22或S21最大，最大值为7.D 【解析】易知A、B正确，又机器猫每5秒钟实际向前进一步，故P8.D 【解析】设等比数列an的前n项和为Sn，则Sn=2n−1．易知等比数列an的公比q=2，首项9.C 【解析】因为数列2aa1所以a110.D 11.C 12.A 【解析】由点an2,an−12在直线又数列an各项均为正数，且a1=2，所以an+3所以数列an是首项a1=2，公比q=3的等比数列，其前n13.B 【解析】若a2>0，可取数列an为0，1，2，−3，−4，⋯，则可得数列Sn为0，1，3，0，−4，⋯，显然数列Sn不是递增数列，即“a2>0”不是“数列Sn为递增数列”的充分条件；若数列Sn为递增数列，则有Sn+1>Sn，所以S14.C 【解析】因为a1=1所以a2从而a3=12，可得an故数列的前2016项的和S201615.B 【解析】由T8得a1所以a5故a5因为数列an所以a5<a6<1<16.A 【解析】数列an中，a1=−2当n=1时，a2当n=2时，a3当n=3时，a4当n=4时，a5故数列的周期为4，所以a202117.B 【解析】因为在数列an中，a1=1，a2=5所以a3=a2−a1=4，同理可得a4=−1，a5=−5，18.B 【解析】由an=a因为a1=2，所以a2=−3，a3=−1故数列an具有周期性，周期为4，因为a1a19.C 20.B 【解析】an=−2n2+29n+3=−2n−294221.322.n−6n∈【解析】∀n∈N∗，an+1∀n∈N∗，Sn只要前6项均为负数，或前5项为负数，第6项为0，即可，所以，满足条件的数列an的一个通项公式a23.3【解析】设等差数列an的公差为d由题意得a1解得a1=3，所以an所以Sn所以Tn所以Tn+1所以当n≥3时，Tn>T所以Tn的最大值为3若对于一切正整数n，总有Tn≤t成立，则实数t的取值范围是24.225.7【解析】所报的数依次为1,1,2,3,5,8,13,21,34⋯，他们被3除的余数分别为1,1,2,0,2,2,1,0,1⋯，这个余数组成的数列每4个数出现一个0，即原数可以被3整除，然后算下前30个数有几个可以被3整除即可．26.（1）设数列an的公差为d因为a6=14，所以a1解得a1因为an所以所求通项公式为an因为Sn所以所求前n项和公式为Sn

（2）因为am，am+5，所以am+5所以3m+112解得m=3．27.（1）由于fx因此方程fx=0的两根分别为−3，故函数fx=−x2+2x+15

（2）由于fx令fx=0，得x=1或故函数fx=x4−128.an+1当1≤n≤5时，an+1−a当n≥6时，an+1−a又因为a5所以数列an的最大项为a29.（1）因为an+1bn所以an+1所以an是等差数列，首项为a1=1，公差为6

（2）由an+1得an+1所以anan即an因为an0≥所以2b即bn所以bn的第n30.设ai=xi+6，则a于是原问题转化为当i=110ai当ai中有不少于两个