高等数学数一微积分第七章

7章12%，3:1:4。考过—数项概念(一)数项级数的概念与性质(四)任意项级数及其绝对收敛二(一)函数项级数的有关概念★(二)幂级数的有关概念(三)幂级数的性质(四)函数展开成幂级数三傅里叶级数(一)周期为 的傅里叶级2l★(三)[0,l]— 定义设ununu1u2unnn项unSnukk为级数的部分和；各项为非负(un0)的级数un称级数它为任意项级数. 定义若数项级数un的部分和数列Sn有极限，则称级数un limSnA称为此级数的和，并写成unA.当limSn不存在时，则称级数un

q

aqn(a

a

时，几何级数 收敛，和 ;q1，几何级数发散

1 （1）k为非零常数，则级数un与kun有相同的敛散性 （2）unvn都收敛，其和分别为AB，则(unv (unvn)AB①（1（2） ②若unvn发散，则(unvn必发散 ③若un,vn都发散，则(unvn)可能发散也可能收敛 不变级数收敛的必要条件：如果

收敛，则limu

，当1r1r1p1p1p1n1n 定理设Sn是正项级数un的部分和数列，则正项级数un 列Sn有界拨 p1p级数np收敛;p1p级数np发散.p1p 调和级数 定理（正项级数比较判别法的非极限形式）设unvn unvn(nN0 若vn收敛，则un收敛 若un发散，则vn发散 定理（正项级数比较判别法的极限形式）设unvn 如 ，且vn收敛，则必有un收敛limnl(0ln

（2如 ，且vn发散，则必有un发散limnl(0ln

n1 定理设

nnn

或 ，则级数n（1）1时，收敛1或时，发散1时，敛散性不确定名师 （2）若

u，其他文字叙述、结论均不改动，即为根值判别法 若级数的各项是正项与负项交错出现，即形 (1)n1un(un0)

n

定理若交错级数(1)n1un(un0 （2）limun0则交错级数(1)n1un(un0Su1SSnSSnun1 定 若级数un收敛，则称级数un绝对收敛;若级数un不收敛，但级 un收敛，则称级数un条件收敛 定理若级数

收敛，则级数un收敛，即绝对收敛的级数一定收敛二 定义设函数un(x)(n1,2,3,)un(x)(n1,2,3Dun(x)u1(x)u2(x)D上的一个函数项级数，un(x称为通项，Sn(x)uk(x称为部分和函数k定义 un(x0)u(xD定义 un(x0) u(x的一个收敛点，否则称之为发散点u(x

n

n

称为该级数的收敛域定义设函数项级数un(xI,xIS(x S(x)un(x成立.IS(x称为级数un(x的和函数 设a(n0,1,2,是一个实数列，则称形如a(xx)nx 幂级数定理（阿贝尔定理）对幂级数

a(xx)n有如下的结论

a(xx)n都绝对收敛

x

x1

的一切的x

a(xx)n都发散

x

的一切的x发散发散绝对收敛.（2）x如果幂级数a(xx)nxxR0;如果幂级数a绝对收敛.（2）x

在(R定义R为幂级数

a(xx)n的收敛半径，称开区间(xRxR 数

a(xx)n的收敛区间 求幂级数

a(xx)nR的方法有（aa0 R R （1）幂级数

a(xx)nS(xI上连续 S'(x)a(xx)n'a(xx)n'na(xx

S(x)dxx

a(x nn x n x

x0)0 0

0 0a(xx dx0

a(xx

x0

n0n拨 f(xIxI，若存在幂级数a(xx)n f(x)

a(xx)nxI 定理f(xIx0处的幂级数f(x)

a(xx)n,xI

f(n)(x00

(n0,1,2,)定义f(xx0 0 f(n)(x f'(x f(n) 0 0(xx)nf(x) (xx) x f(xx0点的泰勒级数.当x00时，称幂级数

f(n)

xn

f(0)

f'

f(n)

xnf(xxf(xx0点的某邻域内有任意阶导数，就有级数f(n(x(xx)n! 0f(x是不确定的定理（函数展开成泰勒级数的充要条件）f(xx0II上收敛到f(x)的充分必要条件是：f(x)x0处的泰勒公式nf(k)(xf(x) 0(xx)kRk k Rn(xIxI，都有limRn(x0 e ,x(, (2n sinx ,x( (2n cosx

x2n,x(,,,

1

(1)(2)(n1)xn,x(1,1) 1 xn,1 三 周期为2的傅里叶级设函数f(x是周期为2π的周期函数，且在区间π,πa1πf(x)cos πb1πf(x)sin f

π

a0

cosnxbsin f 的傅里叶系数，称三角级2

以2π为期的傅里叶级数.记 .如果，级数收敛到函数本身定理（狄利克雷收敛定理）f(x是周期为2π的周期函数，在区间ππ a02f(x)的以2π2

(ancosnxbnsinnx)为(S(x是以2πS(x)

f(x0)f(x0)

,,f(0)f( x 定义f(x是周期为2l的周期函数，且在区间lla1lf(x)cosnπx

lb1

lf(x)sinnπx l f

a0(acosnπxbsinnπx

f2 的傅里叶系数，称三角级 2

以2l周期为2l周期为2l的傅里叶级数的收敛性结论与周期为2的傅里叶级数类似 f(x是以2l为周期的可积偶函数，则其以2lf(x)~a0acos2

n1 其中a

f(x)

l f(x为以2l为周期的可积奇函数，则其以2l2

f(x)

sinl其中b

f(x)

l 定义在0,l上的函数可以有多种方式展开成三角级数，但常用的方式只有三种，即周f(x)~bn

nxl其中b2lf(xsin

l lf(x)~ la2lf(xcos

an 22 l f(f(x) 2n2

cos2nx

,a2lf(x)cos2nπx (n0,1,2,),b2lf(x)sin2nπx l l 题型一数项级数敛散性的判定1．[04，二(9)|4分]设an为正项级数，下列结论中正确的是 limnan＝0，则级数an λ，使得limnan＝λ，则级数an 若级数a收敛，则limn2an

若级数anλ，使得limnan 本题主要考查正项级数的比较判别法及调和级数的敛散性．对于级数敛散性的判【详解】应选 【得分率】 ，则limnan＝0，但 an 发散，排除 n1nlnan＝1，则级数

a收敛，但lim

＝∞，排除(C),故应选【评注】 因为limnan＝

正项级数un1[02，二(2)|3]设

0(n＝123)且limn1，则级数n n1

1

u

n1(A)发散(B)(C)条件收敛(D)n【分析】un＝n(n＝1，2，…)，满足题设条件lim1n n1 1 n1 1 n12n ＝ nn1＝ n1

n(n1) 2n 2n 2n n(n1)n(n1)~n(当n→∞)，因n发散，所以n n1 1 n1 1 条件收敛．因此对一般的μn，级 不选 n un1也不选【详解】应选 【得分率】

n1，知lim1lim1n0n n nn n1 1 n1uSn u1

uu(1) uu ＝u(1) u2 n n1 1可见有limSn＝u，因此原级数收敛，排除(A)，(D) n1 1 1 ＝ n1 n1 n11因为

＝ 1，所以

1均发散，从而 nn

nn1 1

n1 n1 n1 un1发散，故级数

条件收敛，应选

n1 【评注】(1)u(u u(u注：2、34适用于{un}不单调减少或判定单调很困难的交错级数1．[00，二(3)|3分]设级数un收敛，则必收敛的级数为 n nn

(C)u2n1u2n

【分析】题中未设un【详解】应选 【得分率】 n n

收敛，但

n＝nlnn发散，可排除 n 收敛，但un＝n发散，可排除 n1

1 n收敛，但u2n1u2n＝2n ≥ 发散，可排除 n1 2n n12．[06，二(9)|4分]若级数an收敛，则级数

收敛(B(1)nanan2(C)anan1收敛(D) 收2 【分析】【详解】应选 【得分率】 an2解：由an收敛知an1收敛，所以级数 收敛，故应选2 nnan＝(－1)n1，则可排除选项(C)，故(D)【评注】本题考查由一个抽象的数项级数收敛，判断另一与此有关的数项级数]＝1，2，…，),则下列结论正确的是 (A)若u1>u2，则{un}必收 (B)若u1>u2，则{un}必发(C)若u1<u2，则{un}必收 (D)若u1<u2，则{un}必发【分析】【详解】应选 【得分率】解：f(x)＝x2,f(x)在(0，＋∞)f″(x)>0，u1<u2，但x发散，排除(C);f(x)＝1f(x)在(0，＋∞)f″(x)>0，u1>u2xn{un}＝{1}收敛，排除(B);f(x)＝－lnxf(x)在(0，＋∞)fn(x)>0，u1>u2，但{un}＝{－lnn}发散，排除(A).故应选【评注】4．[09，一(4)|4分]设有两个数列{an}，{bn}，若liman＝0，则 (A)当bnanbn收敛(B)当bnanbn (C)当

bn

a2b2收敛(D)当n

bn

n【分析】讨论抽象的数项级数的敛散性，作为应试，举例排斥法不失为一个好方法，【详解】应选 【得分率】＝；＝解法1：举反例：(A)取an＝bn＝(－1)n1；(B)取an＝b (D)取an＝b＝；＝n n故答案为又因为

收敛，可得lim

n

，则由正项级数的比较判别法可知

n 【评注】本题考查由一个抽象数项级数的敛散性判断另一与此有关的数项级数1mln2(1 n1mln2(1 n(A)仅与m的取值有 (B)仅与n有(C)与m，n取值都有 (D)与m，n取值都无1

dx的收敛性 【分析】x＝0、

【详解】应选 【得分率】1mln21mln2(1 nmln2(1n

dx＝022

dx＋22

dx x

~

n，显

I2，m ＝ 21(1x)22＝lim [ln(1x)]m[(1x)(1x)2＝ 2m(1x) 22＝lim (1x)2＝2＝m(1敛的，因此应选m，n取值的关系，直un是否收敛（若收敛，则为条件收敛 判断级数 讨论级数

n2nn

题型二数项级数敛散性的证明01．[99，九|7分]an4tannxdx0求

anan2

试证：对任意的常数λ>0，级数ann1本题主要考查计算通项中含有某定积分的数项级数的和，并且判定某数项级【详解】【得分率】1

1

n

＝4n

tanx)dx

4n

xsec

n n n(n n n(n

aiai2＝i(i1)1

，有limSn

n因此

anan2 n tanx＝t1

1 2dt<tdt＝n＋ an

1λ＋1>1知1 从而an也收敛 n1【评注】].

α＞1

x 【分析】由于考题的第二部分要求证明当α＞1

nn

x【详解】【得分率】方程xn＋nx－1＝0存在正实数根xn∈(0，1)． －1＝0存在唯一正实数根 1 由xn＋nx－1＝0与xn＞0知0＜xn＝ n＜ 1故当α＞1时，0＜x＜ n n而正项级数α＞1时，级数xnn 1 1a＝2

1an

an 级数n1

1

n13n(2)n【详解】【得分率】 2n13解：因为

＝

n 313313 (n x＝3时，因为3n＋（－2）n·n＞2n，且nx＝3

3n(2)nn

3n(2)n

，且 nn 1都收敛.x＝－3n13n(2)n2．[08，二(11)|4分]已知幂级数

(x2)nx＝0x＝－4数

(x3)n的收敛域 【分析】本题考查关于幂级数收敛域特征的阿贝尔定理.由题中条件可知，该幂级数收敛区间的对称点为x＝－2，再结合已知条件进行推导．【详解】应填 【得分率】解：幂级数

(x2)nx＝－2x＝0 亦即antn2，收敛域为(－2，2].则an(x3)n2 －2＜x－3≤21＜x≤5，即幂级数

(x3)n的收敛域为(1，5]...阿贝尔定理【评注】n［11，一（2）|4分］设数列{an}liman0Snak(n1,2,n k则幂级数

(x1)n的收敛域为(A)(－1,1］ (D)解：因为{an}单调减少且liman0an0根据部分和数列无界，所以级数a发散，可知akx=1发散；x=－1kk

k

求幂级数

4n24n3 2n【分析】【详解】(Ⅰ)R

4(n4(n1)24(n1)3x2(4n24n32nlim4(n1)24(n1)32n1x

4n24n

S(x)

4n24n32n

(2n1)22x2n[(2n2n

2 2n1S(xx2n11SS(x 1(|x| xS(x所以xS(x) 2x2n21所以x[xS(x)]dx dxx dx 01 01 1x11 xSxS(x|x 11xS2(x111当1当x≠0时，S2(x) x11x＝01x1ln1x,x(1,0) 1【评注】尽量将其转化为形 nn

1.求收敛半径可使用比值法（或根值法）：设limn1l（或lim|a|l）nR 1l;l

a21.设幂级数anx和bn

3与3，则幂级数2n

(A)5(B)

55

3 3

n1（一）求幂级数的和函数

题型四求幂级数的和

＋

＋x9 3！6！ (2)利用(1)的结果求幂级数(3n)!【分析】(1)y′，y″y′(0)＝0的解．【详解】【得分率】 )!

x2＋x5

＋x8

＋…＋

＋…，y″(x)＝x

x4

x7＋…＋

y″＋y′＋y＝1＋x＋x2＋x32！ (2)由于(1)及y(0)＝1，y′(0)＝0n＝0

的和函数即是方程根为λ e 1e

2

cos xC2sin x)

＝3，即 33∞所以，幂级数∞

x1ex.n＝0 2．[05，三(16)|12分]求幂级数

n1 n(2n【分析】先求收敛半径，进而可确定收敛区间.【详解】【得分率】(1)n[1 解：因为 (n1)(2n ＝limn(2n1)[(n1)(2n1)1] (1)n1[1 x(n1)(2n1)[n(2n1)n(2n 记S(x)2n(2n1)

2n

S(x)

(1)n1x2n2 1

由于S(0)＝0，x

x所以S(x)

S(t)dt

arctanx 01tS(x)xS(t)dtxarctantdtxarctanx1ln(1x2) 2 n1 2又

1x2 f(x)＝2S(x)＋1＋x2＝2xarctanx－ln(1＋x)【评注】本题求收敛区间是基本题型，应注意收敛区间一般是开区间.

或nxn1nn3．[07，三(20)|10分]设幂级数

2n1

【分析本题主要考查幂级数的运算以及利用重要的初等函数展开式求幂级数的和函【详解】【得分率】 解：(Ⅰ)y(x)＝axny′＝naxn1，y″＝n(n1)axn2n

即[(n2)(n1)an22nan4an]xn故有(n2)(n1)an22nan4an2即an2n1an1 ＝x1 ＝x

2an1

axn＝ x2n1＝

1

1(x2)n＝xex2n

n0

n04．[10，三(18)|10分]求幂级数

2n【详解】【得分率】解：因为lim

x2x2＜1，即－1＜x＜1n

(2n(2n(2nx＝±1时，级数为

2n1

又

2n

＝

2n

x2n1f(x)＝

2n

f(x

(1)n1x2n2 1xf(0)＝0f(x)＝f(t)dtf(0)＝arctanx，从而幂级数的收敛域为x0求幂级数和函数的基本方法求幂级数和函数的基本方法（二）用幂级数求数项级数的和1．[09，三(16)|9分]anyxnyxn1(n＝1，2，…)记 S1anS2a2n1S1S2 【分析】an(n＝1，2，…)S1anS2a2n1【详解】【得分率】解：yxnyxn1x＝0x＝1，所以a1(xnxn1)dx xn1 xn2 ， n n nN N从而

＝

＝lim11

1 nnlim1

N N N N2 ＝N N2 S

1

2n1＝

＝lim ＝2－3＋4－5＋

n1 2n N 2N1

ln(1＋x)＝x－2x n x＝1得 【评注】求数项级数an之和的方法之一是利用幂级数的和函数.1.an的特点，构造幂级数anxk(n（k(n)n-1，n，n+1，2n-1，2n，2n+1形中的一种alimS(x) axk(n)的构造应选取易求出和函数的幂级数1.求幂级数

n(2n题型五将函数展开成幂级数1．[06，三(17)|12分]f(x

xx2x的幂级数【分析】【详解】【得分率】 f(x2xx2(2x)(1x2x1x 1 1

1 xA＝3，B＝－3f(xx

x1x3 1x3 x而 (1)nxn，x∈(－1，1)， 1 1 n022 1 故f(x) ＝ (x) 2x

3 3

n02 3n0 2n 勒级数的定义直接展开，而没有证明limRn(x0，这是不完整的，因为limRn(x0是 1 1或（二）

(1)n

n11f(x)用直接法展开显然不可能，而arctanx没有现成的展开式，所以还得arctanx展开．【详解】【得分率】

1

(1)nx2n x n2n (1)n故arctanx dt01t2dt0(1) dt2n (1)n (1)n1

f(x)＝1

n12n＝1

12n1

2n1＝1

14n2, π因此14n2＝2[f(1)－1]＝4【评注】本题将函数展开成的幂级数(或称展开成麦克劳林级数)，并讨论收敛区1 形、求导或积分等，转化为可利用已知幂级数展开的情形.本题可先求导，再利用函数的幂级数展开1＝1＋x＋x2＋…＋xnx【详解】【得分率】解：因为f′(x)＝－ nn＝ (1)4π

,x(1,1)2x

xf

f(x)＝f(0)

f(t)dt

－2(1)n4nt4 (1)n4n

＝4－2

2n

1因为级数2n1收敛，函数f(x)在x＝2处连续，所以 (1)n4n2n1 f(x)＝4－2

2n

1 ＝－ (1)n4n1 ＝－ f()＝－22n 4 2n

12 22 2