二次函数“衡水杯”一等奖

二次函数动脑筋

学校准备在校园里利用围墙的一段和篱笆墙围成一个矩形植物园，如图所示.已知篱笆墙的总长度为100m，设与围墙相邻的一面篱笆墙的长度为(m),那么矩形植物园的面积S（m2）与之间有何关系？探究

由于与围墙相邻的一面墙的长度为xm，则与围墙相对的一面篱笆墙的长度为

m，于是矩形植物园的面积S与x之间有如下关系：（100－2x）即为什么有此式表示了植物园的面积S与围墙相邻的一面墙的长度x之间的关系，而且对于x的每一个取值，S都有唯一确定的值与它对应，即S是x的函数.动脑筋某型号笔记本电脑两年前的销售价为6000元，现降价销售，若每年的平均降价率为x，怎样用x来表示该型号电脑现在的售价y（元）？解：笔记本电脑每次降价后的售价都是降价前的

倍，（1-x）于是我们得到售价y与平均降价率x之间有如下的关系：平均降价率x的取值范围是多少？即此式表示了两年后的售价y与平均降价率x之间的关系，而且对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与它对应，即y是x的函数.

①②①与②有什么共同点？它们与一次函数的表达式有什么不同？说一说结论如果函数的表达式是自变量的二次多项式，那么，这样的函数称为二次函数.它们的一般形式是其中x是自变量，

a、b、c分别是函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项.（a、b、c是常数，a

≠0）注：二次函数的自变量取值范围是全体实数.但在实际问题中，它的自变量取值会有一些限制.想一想1.为什么规定a≠0?当a=0时，，为含有自变量的一次多项式，它不是二次函数.因此a≠0.2.b=0可以吗?当b=0时，,为含有自变量的二次多项式，它是二次函数，缺少了一次项.4.b=0，c=0可以吗?想一想3.c=0可以吗?当c=0时，,为含有自变量的二次多项式，它是二次函数，缺少了常数项.当b=0,c=0时，,为含有自变量的二次多项式，它是二次函数，缺少了一次项和常数项.所以a≠0，b、c可以是全体实数.举例例1下列函数中，哪些是二次函数？若是,分别指出二次项系数,一次项系数和常数项.

(1)

y=3(x－1)²+1

(2)s=3－2t²

(3)y=(x+3)²－x²(4)y=r²是.a=3,b=-6,c=4.是.a=-2,b=0,c=3.不是.是.a=,b=0,c=0.举例例2一块矩形木板，长120cm、宽为80cm，在木板四个角上各截去边长为x(cm)的正方形，求余下面积S(cm2)与x之间的函数表达式.

x分析：本题中的数量关系是木板余下面积=矩形面积-截去面积解：木板余下面积S与剪去正方形边长x有如下函数关系：练习函数y=(m+3)xm2－7m取什么值时,此函数是二次函数?

解：∵y是x的二次函数变：m取什么值时,此函数是一次函数?

∴∴

m=3

∵y是x的一次函数

∴∴

变：m取什么值时,此函数是反比例函数?

∵y是x的反比例函数

∴∴

练习2.写出下列函数的表达式，并指出哪些是二次函数，哪些是一次函数，哪些是反比例函数.（1）正方形的面积S关于它的边长x的函数.（2）圆的周长C关于它的半径r的函数.(3)圆的面积S关于它的半径r的函数.（4）当菱形的面积S一定时，它的一条对角线的

长度y关于另一条对角线的长度