《经济数学》413-5（雷安平）教案 第6课 导数的概念

第课导数的概念PAGE第课导数的概念PAGE126导数的概念第课PAGE导数的概念第课PAGE116

课题导数的概念课时2课时（90min）教学目标知识技能目标：（1）掌握导数的概念（2）掌握导数的几何意义及与导数有关的实际问题（3）掌握可导与连续的关系思政育人目标：将导数与实际问题联系起来，让学生体会数学知识之间、数学与其他学科之间、数学与生活之间的联系，运用数学的思维方式进行思考，增强发现问题和提出问题的能力、分析问题和解决问题的能力。教学重难点教学重点：导数的概念教学难点：导数的几何意义及与导数有关的实际问题教学方法讲授法、问答法、讨论法、演示法、实践法教学用具电脑、投影仪、多媒体课件、教材教学设计第1节课：课堂测验（10min）第2节课：课堂测验（15min）课堂小结（3min）教学过程主要教学内容及步骤设计意图第一节课考勤

（2min）【教师】使用文旌课堂APP进行签到【学生】按照老师要求签到培养学生的组织纪律性，掌握学生的出勤情况引例导入（10min）【教师】讲解引例设一物体做变速直线运动，则以它的运动直线为数轴．在物体运动的过程中，对于每一时刻t，物体的相应位置可以用数轴上的一个坐标s来表示，即s与t之间存在函数关系：，这个函数习惯上称为位置函数，现在我们来考察该物体在时刻的瞬时速度．图3-1图3-1如图3-1所示，设在时刻物体的位置为．当自变量t获得增量时，物体的位置函数s相应地有增量，即图3-1．于是，比值就是物体在到这段时间内的平均速度，记作，即．从整体来看，变速运动的速度是变化的；但从局部来看，在一段很短的时间内，运动速度变化不大，可以近似地看作是匀速的．因此，当很小时，可作为物体在时刻瞬时速度的近似值．很明显，越小，就越接近物体在时刻的瞬时速度．当无限小时，就无限接近于物体在时刻的瞬时速度，即．【学生】聆听、思考、理解、记录知识讲解

（23min）【教师】讲解导数的概念一、平面曲线的切线斜率定义3-1在曲线L上点附近，再取一点P，作割线，当点P沿曲线L移动而趋向于时，割线的极限位置就定义为曲线L在点处的切线．．，那么割线的斜率为．图3-2当时，P沿曲线L趋于，割线的极限位置存在，即点处的切线存在，从而得到切线的斜率．由此可见，曲线在点处的纵坐标y的增量与横坐标x的增量之比当时的极限即为曲线在该点处的切线的斜率．二、导数的概念定义3-2设函数在点的某个邻域内有定义，当自变量在点处有增量时，函数取得相应的增量．如果当时，的极限存在，即，则称此极限值为函数在点处的导数，并称函数在点处可导，记作或或．若此极限值不存在，则称函数在点处不可导．特殊地，若，我们说函数在点处的导数为，记作．．由该定义可看出，反映的是自变量从改变到时，函数的平均变化速度，称为函数的平均变化率．而反映的是函数在点处的变化速度，称为函数在点的变化率．如果函数在内可导，那么对应于中的每一个确定的x值，都有一个确定的导数值，这样就确定了一个新的函数，称为函数的导函数，记作或或或．在不致发生混淆的情况下，导函数也简称导数．显然，函数在点处的导数就是导函数在点处的函数值，即．注意：与的区别在于表示函数在点的导数，即函数在一点的导数；而表示点处函数值的导数，即一个常数的导数，结果为零．基于此，要求出函数在一个点处的导数，应先求出函数的导函数，再把点的值代入即得导数值．由导数的定义可知，求函数的导数可按如下三个步骤进行：（1）求函数的改变量：；（2）求比值：；（3）求极限：．【学生】掌握导数的概念学习导数的概念，及时巩固练习，实现教学做一体化课堂测验

（10min）【教师】教师在文旌课堂APP或其他学习平台中发布测试的题目，并让学生进行测试【学生】做测试题目【教师】公布题目正确答案，并演示解题步骤【学生】核对自己的答题情况，对比答题思路，巩固答题技巧通过测试，了解学生对知识点的掌握情况，加深学生对本节课知识的印象第二节课知识讲解

（25min）【教师】讲解求导的例子、导数的几何意义、与导数有关的实际问题及可导与连续的关系一、求导举例例1求函数在任意点处的导数．解在x处给自变量一个增量，则相应的函数增量为．于是，，即．一般地，对于幂函数的导数，有如下公式：．例2求函数的导数．解因为，所以，即．特别地，当时，．例3求函数的导数．解（1）求增量．因为，即不论取什么值，的值总等于，所以．（2）算比值．．（3）取极限．．这就是说，常数函数的导数等于0，即．例4求函数的导数．解（1）求增量．因，所以．（2）算比值．．（3）取极限．，即．用类似的方法，可求得．例5求对数函数的导数．解（1）求增量．．（2）算比值．．（3）取极限．，即．例6求证：．证设，则．令，则，且时，有，于是．按求导步骤求出的下列基本初等函数的导数，可作为公式直接使用．（1）； （2）；（3）； （4）；（5）；（6）；（7）； （8）；（9）； （10）；（11）； （12）；（13）； （14）；（15）； （16）．二、导数的几何意义及与导数有关的实际问题（1）函数在点处的导数是曲线在点处的切线的斜率，即（），这就是导数的几何意义．曲线在点处的切线方程为．曲线在点处的法线方程为．特别地，若则，则法线垂直于轴，法线方程为．若则，则切线垂直于轴，切线方程为．（2）变速直线运动的速度是路程对时间的导数：．（3）在经济管理中，收益函数对销售量的导数称为边际收益．（4）利润函数对产量的导数称为边际利润．（5）在电工学中，电量对时间的导数称为电流．（6）在化学反应中，物质A的浓度对时间的导数称为反应速率．一般为了使反应速率为正值，如果物质A是反应物，则前加负号，即；物质A是产物，则速率就是．（7）在干燥物体的时候，单位干燥面积上汽化水分量对时间的导数称为干燥速率．（8）某种传染病传播的人数量对时间的导数称为传染病的传播速度．例7求曲线在点处的切线方程和法线方程．解因为，所以切线方程为，即；法线方程为，即．三、可导与连续的关系定理3-1若函数在点处可导，则函数在处连续．注意：此定理的逆命题不成立，即连续不一定可导．例如，函数在区间内处处连续，但它在处不可导．因在处，即曲线在原点有垂直于轴的切线，而该切线没有斜率，故导数不存在．那么，如果函数在点处可导，即存在，则．例8试证函数在处连续，但在该点不可导．证因为，所以，即在处连续．又因为，所以，在点处的右导数是，而左导数是．左、右导数不相等，故函数在该点不可导．由此可见，函数连续是可导的必要条件而不是充分条件．为方便理解，分别称极限为函数在处的右导数和左导数，分别用和来表示．显然，函数在点处可导的充要条件是：函数在点处的右导数和左导数存在且相等．【学生】掌握求导的例子、导数的几何意义、与导数有关的实际问题及可导与连续的关系学习求导的例子、导数的几何意义、与导数有关的实际问题及可导与连续的关系，边做边讲，及时巩固练习，实现教学做一体化课堂测验

（15min）【教师】教师在文旌课堂APP或其他学习平台中发布测试的题目，并让学生进行测试【学生】做测试题目【教师】公布题目正确答案，并演示解题步骤【学生】核对自己的答题情况，对比答题思路，巩固答题技巧通过测试，了解学生对知识点的掌握情况，加深学生对本节课知识的印象课堂小结

（3min）【教师】简要总结本节课的要点本节课上大家掌握了导数的概念、导数的几何意义、与导数有关的实际问题及可导与连续的关系，内容较多，课后要多加练习，巩固知识。【学生】总结回顾