《经济数学》413-5（雷安平）教案 第13课 不定积分

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课题不定积分课时2课时（90min）教学目标知识技能目标：（1）掌握原函数和不定积分的概念（2）掌握不定积分的几何意义（3）掌握不定积分的性质（4）掌握基本积分公式，及其应用思政育人目标：通过学习不定积分，激发学生学习数学的兴趣；引导学生养成独立思考和深度思考的良好习惯；树立学生实事求是、一丝不苟的科学精神。教学重难点教学重点：原函数和不定积分的概念教学难点：基本积分公式，及其应用教学方法讲授法、问答法、讨论法、演示法、实践法教学用具电脑、投影仪、多媒体课件、教材教学设计第1节课：课堂测验（10min）第2节课：课堂测验（15min）课堂小结（3min）教学过程主要教学内容及步骤设计意图第一节课考勤

（2min）【教师】使用文旌课堂APP进行签到【学生】按照老师要求签到培养学生的组织纪律性，掌握学生的出勤情况知识讲解

（33min）【教师】讲解原函数和不定积分的概念、不定积分的几何意义一、原函数和不定积分的概念在第三章中，我们通过变速直线运动的瞬时速度引出了导数的概念，即若已知物体运动的位置函数，则的导数就是时刻的瞬时速度，．但是在实际中常常会遇到相反的问题．针对这一运动过程，我们反过来思考可以知道，当物体的瞬时速度时，位置函数就为．此时，称位置函数为速度函数的一个原函数．定义5-1设是定义在区间上的已知函数，如果存在一个函数，使得在上的任意一点x有或，则称函数是在该区间上的一个原函数．例如，在区间内，，所以，是在内的一个原函数；另外，，所以，也是在内的一个原函数．同理可以知道，是在内的原函数．由以上的例子可以看出，如果一个函数的原函数存在，那么必有无穷多个原函数．这些原函数之间具有什么样的关系？如何寻求所有的原函数呢？给出如下定理．定理5-1如果函数在区间上有原函数，则也是在区间上的原函数，并且的任一原函数均可表示成的形式．为表示全体原函数，给出下面的定义．定义5-2在区间内，函数的全体原函数称为在区间上的不定积分，记为．其中，称为积分号，称为被积函数，称为被积表达式，称为被积变量，称为积分常数．按此定义，若，则．例1求．解由于，所以是的一个原函数，因此．例2通过各种生产技术试验，制造商发现产品的边际成本是由函数给出的，式中是产品的单位数量．已知生产的固定成本为9千元，求生产成本．解生产成本的导数是边际成本，即．因为，所以，其中是任意常数．由固定成本的定义，知，解得．于是得到满足条件的生产成本．例3求函数的不定积分．解当时，，所以．当时，，所以．上述两种情形可以写成．二、不定积分的几何意义当积分常数取不同值时，不定积分表示的不是一个函数，而是一族函数．从几何上看，它们代表一族曲线，称为函数的积分曲线族，如图5-1所示．图5-1积分曲线族具有以下两个显著的特点：（1）（2）对应同一横坐标a的点，其所有切线互相平行．例4设曲线过点且曲线上任意点处切线的斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程．解设所求曲线方程为，由题意知，所以是的一个原函数，，即的积分曲线族为．将代入，得．故所求曲线方程为．【学生】掌握原函数和不定积分的概念、不定积分的几何意义学习原函数和不定积分的概念，以及不定积分的几何意义，实现教学做一体化课堂测验

（10min）【教师】教师在文旌课堂APP或其他学习平台中发布测试的题目，并让学生进行测试【学生】做测试题目【教师】公布题目正确答案，并演示解题步骤【学生】核对自己的答题情况，对比答题思路，巩固答题技巧通过测试，了解学生对知识点的掌握情况，加深学生对本节课知识的印象第二节课知识讲解

（25min）【教师】讲解不定积分的性质和基本积分公式三、不定积分的性质性质1或．性质2或．这两个性质说明：先积分后微分，形式不变；先微分后积分，相差一常数．由此充分说明了积分运算与微分运算互为逆运算．性质3．性质4．性质4可以推广到任意有限多个函数代数和（差）的情形．四、基本积分公式在导数知识的基础上，我们可以利用积分运算与微分运算互为逆运算的性质，得到以下一些常用的积分公式．（1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）；（7）； （8）；（9）； （10）；（11）； （12）；（13）．注：以上13个公式为积分常用公式，请熟记．例5求．解．例6求．解本题不能直接运用基本积分公式．可由公式得．例7求．解．例8求．解本题不能直接应用基本积分表，但可以先化简被积函数：【学生】掌握不定积分的性质和基本积分公式学习不定积分的性质和基本积分公式，及其应用，边做边讲，及时巩固练习，实现教学做一体化课堂测验

（15min）【教师】教师在文旌课堂APP或其他学习平台中发布测试的题目，并让学生进行测试【学生】做测试题目【教师】公布题目正确答案，并演示解题步骤【学生】核对自己的答题情况，对比答题思路，巩固答题技巧通过测试，了解学生对知识点的掌握情况，加深学生对本节课知识的印象课堂小结

（3min）【教师】简要总结本节课的要点本节课上大家掌握了原函数和不定积分的概念、不定积分的性质和几何意义及基本积分公式，内容较多，课后要多加练习，巩固知识。【学生】总结回顾知识点总结知识点，巩固印象作业布置（2min）【教师】布置课后作业：完成课后习题